2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--3.1.2　函数的表示法（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
3.1.2　函数的表示法
基础过关练
题组一　函数的表示法及其应用
1.(教材习题改编)函数y=的图象大致是(　　)
　　　　
　　　　
2.(2024天津河西期中)小明同学乘高铁去旅游.早上他乘坐出租车从家里出发,离开家不久,发现身份证忘在家里,于是返回家中取身份证,然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站,令x(单位:分钟)表示离开家的时间,y(单位:千米)表示离开家的距离,其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计,下列图象中与上述事件吻合最好的是(　　)
　　　　　　
3.(2024福建莆田五中期中)已知函数y=f(x)的对应关系如表,函数y=g(x)的图象为如图所示的曲线ABC,则g(f(3))的值为　　　　.
x 1 2 3
y=f(x) 2 3 2
题组二　函数的解析式
4.(2024湖北咸宁期中)若函数f(x+1)=x2-5,则f(x)=(　　)
A.x2+2x-6　　　　B.x2+2x-4　　
C.x2-2x-6　　　　D.x2-2x-4
5.(2024河北秦皇岛期中)函数f(2x+1)=x2-3x+1,则f(3)=(　　)
A.-1　　B.1　　C.-2　　D.2
6.(2024安徽淮南月考)已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0=　　　　.
7.已知f(x)是一次函数,2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)=　　　　.
8.(2024重庆育才中学检测)(1)已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求函数f(x)的解析式;
(2)(易错题)已知f(+1)=x+2,求函数f(x)的解析式.
题组三　分段函数问题
9.(2024重庆名校联盟期中)已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
10.(教材习题改编)函数f(x)=x+的图象是(　　)
　　　　　
　　　　
11.(易错题)(2024山东普通高中大联考)已知函数f(x)=则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　)
A. f(1)=3　　　　
B.若f(x)=1,则x=1
C. f(x)的定义域为R　　　　
D. f(x)的值域为(-∞,4)
12.(2024广东佛山一中质检)已知函数f(x)=若f(x)=10,则x=　　　　.
13.(2024浙江温州十校联合体期中)已知f(x)=
(1)若f(a)=,求a的值;
(2)若f(f(k))=,求k的值.
14.(教材习题改编)某小组4位同学准备乘坐出租车去参加社会实践活动.已知全程30千米,且该城市出租车的收费标准是:起步价11元(乘车不超过3千米);行驶3千米后,每千米车费2.2元;行驶10千米后,每千米车费2.8元.
(1)写出同学们打车的费用f(x)(单位:元)与路程x(单位:千米)的函数关系式;
(2)为了节省支出,他们设计了三种乘车方案:
①不换车:乘一辆出租车行驶30千米;
②分两段乘车:先乘一辆车,行驶15千米后,换乘另一辆车,再行驶15千米;
③分三段乘车:每行驶10千米后,换乘一次车.
哪一种方案最省钱
能力提升练
题组一　函数的表示法及其应用
1.(多选题)设f(x)=(x≠±1),则下列结论错误的有(　　)
A. f(2x)=　　　　
B. f(-x)=f(x)(x≠±1)
C. f=-f(x)(x≠0且x≠±1)　　　　
D. f=f(x)(x≠0且x≠±1)
2.(2024吉林省实验中学期中)函数f(x)=2|x|-(a∈R)的大致图象不可能为(　　)
　　　　　　
3.已知函数y=f(x),y=g(x)的对应关系如下表:
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为　　　　;满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为　　　　.
题组二　求函数的解析式
4.(2024天津河东期中)如图,在一直角墙角内的点P处有一棵树,它到两墙的距离分别是3米和2米.现欲用10米长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD,要求这棵树被围在花圃内或边界上.设BC=x米,则矩形花圃的面积f(x)(单位:平方米)为(　　)
A. f(x)=-x2+5x(0≤x≤10)
B. f(x)=-x2+10x(0≤x≤10)
C. f(x)=-x2+5x(3≤x≤8)
D. f(x)=-x2+10x(3≤x≤8)
5.(多选题)(2024广东广州执信中学月考)若函数f(1-2x)=(x≠0),则(　　)
A. f=15　　　　
B. f(2)=-
C. f(x)=-1(x≠0)　　　　
D. f=-1(x≠0且x≠1)
6.(2023福建三明一中月考)从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精,然后用水将容器加满,再倒出2升酒精溶液,再用水将容器加满,……,照这样的方法继续下去,设倒完第k次后,前k次共倒出纯酒精x升,倒完第(k+1)次后,前(k+1)次共倒出纯酒精f(x)升,则f(x)的解析式是(　　)
A. f(x)=(x+2)　　　B. f(x)=x+2 C. f(x)=x+2　　　D. f(x)=x
7.(2022湖北荆州沙市中学期中)已知f(x)是一次函数,其图象不经过第四象限,且f(f(x))=4x+6,则f(x)=　　　　.
8.(1)已知f(x)+2f=3x-2,求f(x)的解析式;
(2)已知f=,求f(x)的解析式;
(3)已知对任意的x,y都有f(x+y)-2f(y)=x2+2xy-y2+3x-3y,求f(x).
题组三　分段函数问题
9.(多选题)(2024湖南长沙明德中学月考)如图所示,函数f(x)的图象由两条线段组成,则下列关于函数f(x)的说法中正确的是(　　)
A. f(2)>f(0)B. f(f(1))=3
C. f(x)=2|x-1|-x+1,x∈[0,4] D. a>0,使不等式f(x)≤a的解集为
10.(教材习题改编)已知f(x)=|x-5|+|x+3|,则f(x)≥10的解集是(　　)
A.[-5,7]　　B.[-4,6]
C.(-∞,-5]∪[7,+∞)　　D.(-∞,-4]∪[6,+∞)
11.设A=,B=,函数f(x)=若x0∈A,且f(f(x0))∈A,则x0的取值范围是(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
12.(2024河南郑州外国语学校月考)已知函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是　　　　.
13.(2024浙江台金七校联盟期中)已知函数f(x)=当f(f(a))=8时,实数a=　　　　.
14.(2024湖北武汉武昌实验中学月考)定义:若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的回旋点.已知函数f(x)=其中a为常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f的值,并判断是不是f(x)的回旋点;
(2)当x∈(a,1]时,求函数y=f(f(x))的解析式,并求出f(x)的回旋点.
答案与分层梯度式解析
3.1.2　函数的表示法
基础过关练
1.C 2.C 4.D 5.A 9.C 10.C 11.D
1.C　y==+1,则将反比例函数y=的图象向左平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,即可得到函数y=的图象,故选C.
2.C　因为小明中途回家取身份证,因此图象与x轴有交点(除原点外),排除A,B;第二次坐出租车去高铁站的速度比第一次快,因此直线更陡,结合选项知选C.
3.答案　1
解析　由题表可知f(3)=2,由题图可知g(2)=1,故g(f(3))=g(2)=1.
4.D　由f(x+1)=(x+1-1)2-5,得f(x)=(x-1)2-5=x2-2x-4.故选D.
5.A　令2x+1=3,得x=1,则f(3)=1-3+1=-1.故选A.
6.答案　5
解析　解法一:令t=2x-1,则x=,
故f(t)=-5=t-.
因为f(x0)=4,所以x0-=4,解得x0=5.
解法二:由已知得解得
7.答案　3x-2
解析　设f(x)=kx+b(k≠0),
则解得
所以f(x)=3x-2.
8.解析　(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
则f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x,
所以所以因此f(x)=x2-2x-1.
(2)令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,
所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),
因此f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1).
易错警示　用换元法求函数的解析式时,要先求出中间变量的取值范围,由此确定所求函数的定义域,解题时防止漏求函数定义域导致解题不完整.
9.C　因为f(x)=所以f(0)=03+1=1,
所以f(f(0))=f(1)=1-a=-2,解得a=3.故选C.
10.C　函数f(x)=x+=作出函数图象,如图,
故选C.
11.D　∵函数f(x)=所以f(1)=12=1,因此A错误;若f(x)=1,则或解得x=-1或x=1,因此B错误;根据分段函数的定义知,函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪(-1,2)=(-∞,2),因此C错误;当x≤-1时,x+2≤1,当-1由分段函数的性质得,函数f(x)的值域为(-∞,1]∪[0,4)=(-∞,4),因此D正确.故选D.
12.答案　-3
解析　当x>0时,-2x<0,所以由f(x)=10,
可得解得x=-3.
13.解析　(1)已知f(x)=
当a>0时, f(a)=a+2=,解得a=;
当a≤0时, f(a)=a2=,解得a=-(正值舍去).
综上,a=或a=-.
(2)易知f(x)的值域为[0,+∞).
不妨令f(k)=t,则f(t)=,且t≥0.
当t>0时, f(t)=t+2=,解得t=,
所以f(k)=,所以或
所以k=-.
当t=0时, f(t)=t2=0≠,舍去.
综上,k=-.
14.解析　(1)当0当3当10所以f(x)=
(2)方案①, f(30)=2.8×30-1.6=82.4,
方案②,2f(15)=2×(2.8×15-1.6)=80.8,
方案③,3f(10)=3×(2.2×10+4.4)=79.2,
因为82.4>80.8>79.2,
所以方案③最省钱.
能力提升练
1.AD 2.C 4.D 5.AD 6.C 9.BC 10.D 11.A
1.AD　因为f(x)=(x≠±1),
所以f(2x)==,
f(-x)==f(x)(x≠±1),
f===-f(x)(x≠0且x≠±1),
f===-f(x)(x≠0且x≠±1),故选AD.
2.C　函数的定义域为{x|x∈R,x≠0}.当a=0时, f(x)=2|x|(x≠0),此时A满足.当a>0时,若x>0,则f(x)=2x-,图象上升;若x<0,则f(x)=-,其中y=2x+(x<0)为对勾函数的一部分,此时D满足.当a<0时,若x>0,则f(x)=2x+,为对勾函数的一部分;若x<0,则f(x)=-2x+,图象下降,此时B满足.故选C.
3.答案　1;2
解析　由题表可得g(1)=3,则f(g(1))=f(3)=1.
当x=1时, f(g(1))=1,g(f(1))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x));
当x=2时, f(g(2))=f(2)=3,g(f(2))=g(3)=1,满足f(g(x))>g(f(x));
当x=3时, f(g(3))=f(1)=1,g(f(3))=g(1)=3,不满足f(g(x))>g(f(x)).
故满足f(g(x))>g(f(x))的x的值为2.
4.D　因为BC=x米,篱笆总长为10米,
所以CD=(10-x)米,
因此f(x)=x(10-x)=-x2+10x,
又因为这棵树被围在花圃内或边界上,
所以解得3≤x≤8,
因此f(x)=-x2+10x(3≤x≤8).故选D.
5.AD　令1-2x=t,则x=,因为x≠0,所以t≠1,
则f(t)==-1(t≠1),
即f(x)=-1(x≠1),
所以f=-1=16-1=15,
f(2)=-1=4-1=3,
f=-1=-1(x≠0且x≠1).故选AD.
6.C　∵倒完第k次后共倒出纯酒精x升,
∴第k次后容器中含纯酒精(10-x)升,
则第(k+1)次倒出纯酒精2×升,
∴f(x)=x+2×=x+2.故选C.
7.答案　2x+2
解析　由题意可设f(x)=kx+b(k>0,b≥0),
则f(f(x))=k(kx+b)+b=k2x+kb+b=4x+6,
所以所以
所以f(x)=2x+2.
8.解析　(1)f(x)+2f =3x-2①,
将x用替换,可得2f(x)+f =-2②,
①②联立,消去f,解得f(x)=-x-(x≠0).
(2)令t=,则x=(t≠-1),所以f(t)==(t≠-1),故f(x)=(x≠-1).
(3)令x=y=0,可得f(0)-2f(0)=0,则f(0)=0,令y=0,可得f(x)-2f(0)=x2+3x,故f(x)=x2+3x.
9.BC　根据题意,可知函数f(x)为分段函数,且其图象过点(0,3),(1,0),(4,3),
当0≤x<1时,设f(x)=kx+b,
将(0,3),(1,0)代入,可得所以即f(x)=-3x+3;
当1≤x≤4时,设f(x)=mx+n,
将(1,0),(4,3)代入,可得所以故f(x)=x-1.
故f(x)=
选项A,f(2)=1选项B,f(f(1))=f(0)=3,因此B正确;
选项C,f(x)=2|x-1|-x+1=因此C正确;
选项D,由函数图象知,若 a>0,使f(x)≤a的解集为,则f=f(2)=a,又f=2, f(2)=1,因此D错误.故选BC.
10.D　解法一:由题意得f(x)=|x-5|+|x+3|=当x<-3时, f(x)≥10可化为-2x+2≥10,解得x≤-4;
当-3≤x≤5时, f(x)≥10可化为8≥10,显然不成立;
当x>5时, f(x)≥10可化为2x-2≥10,解得x≥6.
因此f(x)≥10的解集为(-∞,-4]∪[6,+∞).故选D.
解法二:当x=0时, f(x)=8≥10不成立,可排除A,B.
当x=-4时, f(x)=10≥10成立,可排除C.故选D.
解题模板　解含绝对值的不等式,关键是利用零点分段法去绝对值,再利用分类讨论求解,如本题中f(x)=|x-5|+|x+3|=
11.A　因为x0∈A,即0≤x0<,所以f(x0)=x0+,
又≤x0+<1,所以≤f(x0)<1,即f(x0)∈B,
所以f(f(x0))=3[1-f(x0)]=-3x0∈A,
即0≤-3x0<,解得又0≤x0<,所以12.答案　[1,1+]
解析　画出f(x)=的图象,如图:
由x2-2x=1,解得x=1-(舍)或x=1+,
∴要使函数f(x)=在[0,a]上的值域为[0,1],则实数a的取值范围是[1,1+].
13.答案　8
解析　令f(a)=t,则f(t)=8.
当t≤1时,t2+2t=8,解得t=-4或t=2(舍去);
当t>1时,-5=8,解得t=(舍去),
因此t=-4,所以f(a)=-4.
当a≤1时,a2+2a=(a+1)2-1≥-1,故a2+2a=-4无解;
当a>1时,-5=-4,解得a=8,符合题意.
综上所述,a=8.
14.解析　(1)由题意可得,当a=时,
f(x)=
∴f=2=,
因此f=f=2×=,
又f=≠,∴是f(x)的回旋点.
(2)当x∈(a,1]时, f(x)=,对是否大于a分类讨论,求出y=f(f(x))的解析式
∵a当>a,即x当0≤≤a,即a2-a+1≤x≤1时, f(f(x))=f=·=,
∴y=f(f(x))=
当a(方程的解x0需验证两点:一是x0在分段函数对应的定义域内,二是f(x0)≠x0,从而得到回旋点)
∵00,a2-a+1-==>0,∴a<∵f=,∴x=不是f(x)的回旋点.
当a2-a+1≤x≤1时,由回旋点的定义可知=x,解得x=,
∵00,
1-==>0,∴a2-a+1<<1.
又f=·=≠,∴x=是f(x)的回旋点.
综上,y=f(f(x))=
f(x)的回旋点为.
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