2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--3.2.2　奇偶性（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
3.2.2　奇偶性
基础过关练
题组一　函数的奇偶性
1.(教材习题改编)下列图形中,是函数图象,且表示的函数具有奇偶性的是(　　)
2.(2024湖南长沙雅礼中学期中)下列函数中,在定义域上既是奇函数又是增函数的为(　　)
A.y=x+1　　B.y=-x2　　C.y=x3　　D.y=
3.(2024北京交大附中期中)设f(x)为R上的奇函数,且当x<0时, f(x)=3x-1,则f(0)+f(4)=(　　)
A.12　　B.-12　　C.13　　D.-13
4.(2024湖北咸宁期中)判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x3-;
(2)f(x)=|x|,x∈[-4,5];
(3)f(x)=
题组二　函数奇偶性的简单应用
5.(2023天津耀华中学期中)若奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,且最大值为6,则f(x)在区间[-5,-2]上(　　)
A.单调递增,且最小值为-6 B.单调递增,且最大值为-6
C.单调递减,且最小值为-6 D.单调递减,且最大值为-6
6.(易错题)(2024吉林长春东北师大附中期中)已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
7.(2024河南郑州十所省级示范高中期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时, f(x)=3x2-x+2a+1,若f(2)=13,则a=(　　)
A.1　　B.3　　C.-3　　D.-1
8.(2024天津河西期中)若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则下列关系成立的是(　　)
A. f(2)C. f(2)9.(2024广东六校期中联考)已知定义在R上的函数f(x),当-1≤x≤1时, f(x)=x3.若函数f(x+1)为偶函数,则f(3)=　　　　.
10.(2023辽宁沈阳期中)已知f(x)=x|x|,则满足f(2x-1)+f(x)≥0的x的取值范围为　　　　.
11.(2024山东泰安一中期中)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2x.
(1)求函数y=f(x)的解析式,并作出函数y=f(x)的图象;
(2)直接写出函数f(x)的单调递增区间;
(3)直接写出不等式f(x)≥0的解集.
能力提升练
题组一　函数的奇偶性
1.(2024湖北荆州中学期中)函数f(x)=的图象大致为(　　)
　　　　
　　　　
2.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=　　　　.
3.(2023安徽部分示范高中期中联考)设函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足:①x∈(-1,0)时, f(x)>0;②f(x)+f(y)=f ,x,y∈(-1,1).则f(x)是　　　　函数(填“奇”或“偶”),且f(x)在定义域上单调递　　　　(填“增”或“减”).
4.(2024重庆名校联盟期中)已知函数f(x)=ax2-|x-a|,a∈R.
(1)讨论函数f(x)的奇偶性;
(2)当-1≤a≤1时,若对任意的x∈[1,3],恒有f(x)+bx≤0成立,求a2+3b的最大值.
题组二　函数奇偶性的综合运用
5.(2024湖南三湘名校教育联盟期中)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(3)=0,则不等式f(x)A.(-∞,-3)∪(0,3)　　　　B.(-3,0)∪(3,+∞)
C.(-3,3)　　　　D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
6.(2024北京丰台期中)如图,一个“心形”曲线由两个函数的图象构成,则“心形”曲线上部分表示的函数的解析式可能为(　　)
A.y=|x|　B.y=x C.y= D.y=
7.(多选题)(2024安徽滁州名校期中联考)函数y=f(x)是定义域为R的奇函数,且对于任意的x1,x2,当x1≠x2时,都有>1成立.若f(m)>m,则实数m的取值可以是(　　)
A.-1　　B.0　　C.1　　D.2
8.(多选题)(2024湖北荆州沙市中学月考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(-∞,0]上单调递减,则(　　)
A. f(f(1))C.g(f(1))9.(2024河南南阳六校期中联考)已知函数f(x)=-1在区间[-2 023,2 023]上的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
10.(2024天津河西期中)已知定义在(-1,1)上的奇函数f(x)=,且f=-.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断f(x)的单调性并用单调性的定义证明;
(3)解不等式f(3t)+f(2t-1)<0.
11.(2024河南洛阳一中期中)定义在R上的单调函数f(x)满足恒等式f(x)=f(y)+f(x-y),且f(1)+f(2)=6.
(1)求f(0), f(1);
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并证明;
(3)若对于任意的x∈,都有f(kx2+x)+f(x-1)<0成立,求实数k的取值范围.
题组三　函数图象的对称性及其应用
12.(2024广东广州执信中学期中)f(x)是定义在R上的函数,且y=f+为奇函数,则f(2 023)+f(-2 022)=(　　)
A.-1　　B.-　　C.　　D.1
13.(多选题)(2024河南郑州期中)已知函数f(x)=,则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)的图象的对称中心为(-1,1)
B. f(x)的值域为R
C. f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增
D. f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f+f+…+f=
14.判断下列函数的图象是否成中心对称图形,若是,求出对称中心.
(1)f(x)=;(2)f(x)=2|x-1|;
(3)f(x)=|x+1|-|x-1|;(4)f(x)=x3-6x2.
答案与分层梯度式解析
3.2.2　奇偶性
基础过关练
1.B 2.C 3.C 5.A 6.B 7.D 8.A
1.B　对于A,易知它是函数图象,但图象既不关于y轴对称,也不关于原点对称,则图象表示的函数不具有奇偶性;对于B,易知它是函数图象,图象关于y轴对称,故图象表示的函数是偶函数;对于C,D,均不是函数图象.故选B.
2.C　A,B中函数不是奇函数(A中“非奇非偶”,B中“偶”),D中函数在其定义域上不具有单调性,C中函数在其定义域上为奇函数,且y随x的增大而增大,是增函数,因此选C.
3.C　根据题意,得f(-4)=3×(-4)-1=-13,
又f(x)为R上的奇函数,因此f(0)=0, f(4)=13,则f(0)+f(4)=13.故选C.
4.解析　(1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,
因为f(-x)=(-x)3-=-x3+=-=-f(x),
所以f(x)=x3-是奇函数.
(2)f(x)的定义域为[-4,5],不关于原点对称,
所以f(x)=|x|,x∈[-4,5]既不是奇函数也不是偶函数.
(3)易知f(x)的定义域关于原点对称,当x∈(1,+∞)时,-x∈(-∞,-1),则f(-x)=(-x)2+3(-x)=x2-3x=f(x),
当x∈(-∞,-1)时,-x∈(1,+∞),则f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x=f(x),
所以f(x)=是偶函数.
5.A　若奇函数f(x)在区间[2,5]上单调递增,且最大值为6,即f(5)=6,
则f(x)在区间[-5,-2]上单调递增,且f(x)的最小值为f(-5)=-f(5)=-6.
故选A.
6.B　依题意得即
∴因此a+b=.故选B.
易错警示　函数具有奇偶性时,其定义域关于原点对称,由此可确定a的值,解题时防止遗漏定义域的特殊性,要注意对隐含条件的运用.
7.D　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(2)=f(-2)=3×(-2)2+2+2a+1=13,解得a=-1.
故选D.
8.A　∵偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,
∴函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,
则f(2)9.答案　-1
解析　因为函数f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),令x=2,得f(3)=f(-1)=(-1)3=-1.
10.答案　
解析　f(x)=x|x|=则f(x)为奇函数且在R上为增函数,
因为f(2x-1)+f(x)≥0,所以f(2x-1)≥-f(x),
因此f(2x-1)≥f(-x),由单调性知2x-1≥-x,
解得x≥,即x的取值范围为.
11.解析　(1)由已知得, f(0)=0,
当x<0时,-x>0,
∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=-f(x),
∴f(x)=-x2-2x,x<0.
∴f(x)=
图象如图所示:
(2)由(1)中图象可得, f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[1,+∞).
(3)由(1)中图象可得,不等式f(x)≥0的解集为[-2,0]∪[2,+∞).
能力提升练
1.B 5.A 6.C 7.CD 8.BD 12.A 13.ACD
1.B　由函数f(x)=,可得x≠±1,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),
又f(-x)===f(x),所以f(x)=是偶函数,其图象关于y轴对称,因此A,D错误;
当0解题模板　已知函数解析式判断函数图象,通常由解析式分析性质来选择图象,一般先写出函数的定义域,判断函数的奇偶性,再判断函数值的符号,函数的单调性、最大(小)值等,必要时还可用特殊值判断.
2.答案　1
解析　由已知得f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1).在f(x)-g(x)=x3+x2+1中,令x=-1,得f(-1)-g(-1)=1,即f(1)+g(1)=1.
3.答案　奇;减
解析　对于f(x)+f(y)=f ,
令x=y=0,得f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0,
令y=-x,得f(x)+f(-x)=f(0)=0,
又因为f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(-1,0),且x1因为-1所以1-x1x2>0,所以<0,
因为+1=>0,所以>-1,
所以-1<<0,
由条件①得f >0,
所以f(x1)-f(x2)>0,
所以f(x)在(-1,0)上单调递减,
又f(x)为奇函数,
所以f(x)在(-1,1)上单调递减.
4.解析　(1)当a=0时, f(x)=-|x|,
易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=-|x|=f(x),所以f(x)为偶函数;
当a≠0时,因为f(0)=-|a|≠0,故f(x)不是奇函数,
又因为f(1)=a-|1-a|, f(-1)=a-|1+a|,
显然|1-a|≠|1+a|,所以f(1)≠f(-1),所以f(x)不是偶函数.
综上所述,当a=0时, f(x)是偶函数;
当a≠0时, f(x)既不是偶函数也不是奇函数.
(2)当-1≤a≤1,x∈[1,3]时,x-a≥0,
所以f(x)+bx=ax2-|x-a|+bx=ax2+(b-1)x+a,
由题意得, x∈[1,3],ax2+(b-1)x+a≤0恒成立,
即b≤-a+1恒成立,
所以b≤,x∈[1,3].
易知函数y=x+在[1,3]上单调递增,
若0故当x=3时,y=-a+1取得最小值,为1-a,则b≤1-a,所以a2+3b≤a2-10a+3<3.
若a=0,则b≤1,所以a2+3b≤3.
若-1≤a<0,则y=-a+1在[1,3]上单调递增,
故当x=1时,y=-a+1取得最小值,为1-2a,则b≤1-2a,
所以a2+3b≤a2-6a+3≤10,当且仅当a=-1,b=3时,a2+3b取到最大值10.
综上所述,a2+3b的最大值为10.
5.A　∵f(x)为定义在R上的奇函数,∴不等式f(x)又f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)的单调递减区间为[-1,1],单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),
又f(3)=0,∴f(-3)=-f(3)=0,故当x<-3或03时, f(x)>0,
因此不等式f(x)6.C　由题图可得“心形”曲线的上部分关于y轴对称,
则y=x和y=都不满足要求;
因为当0易知y=的图象过点(0,0),(-2,0),(2,0),且当0当且仅当x=1时,y取得最大值1,因此C满足要求.故选C.
7.CD　因为对于任意的x1,x2,当x1≠x2时,都有>1,
所以当x1>x2时, f(x1)-f(x2)>x1-x2,即f(x1)-x1>f(x2)-x2,
当x1设g(x)=f(x)-x,则g(x)在定义域R上单调递增,
又y=f(x)是定义域为R的奇函数,
所以f(0)=0,所以g(0)=f(0)-0=0,
若f(m)>m,则f(m)-m>0,即g(m)>g(0),所以m>0.故选CD.
8.BD　因为f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
因为g(x)是定义在R上的奇函数,且g(x)在(-∞,0]上单调递减,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减,
因此g(x)在R上是减函数,
于是f(1)g(1)>g(2),可得f(g(1))g(f(2)),所以C不正确;
由g(1)>g(2)可得,g(g(1))9.答案　-2
解析　设函数g(x)=,则f(x)=g(x)-1,
易知g(x)=-g(-x),其定义域为R,故g(x)是奇函数,
又函数f(x)=-1在区间[-2 023,2 023]上的最大值为M,最小值为m,
所以g(x)在区间[-2 023,2 023]上的最大值为M+1,最小值为m+1,
所以(M+1)+(m+1)=0,因此M+m=-2.
10.解析　(1)由已知得f(0)=0,即-b=0,解得b=0,∴f(x)=.
又f=-,∴=-,解得a=1,
∴f(x)=.
(2)f(x)在(-1,1)上单调递增,证明如下:
由(1)得f(x)=,任取a,b∈(-1,1),且a∵-10,
∴f(a)-f(b)<0,即f(a)∴f(x)在(-1,1)上单调递增.
(3)∵f(3t)+f(2t-1)<0,∴f(3t)<-f(2t-1)=f(1-2t),∴解得0∴原不等式的解集为.
11.解析　(1)在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=y=0,得f(0)=0,令x=2,y=1,得f(2)=2f(1),
∴f(1)+f(2)=3f(1)=6,
∴f(1)=2.
(2)f(x)是奇函数,证明如下:
f(x)的定义域为R,关于原点对称.在f(x)=f(y)+f(x-y)中,令x=0,得f(0)=f(y)+f(-y)=0,
∴f(-y)=-f(y),即f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
(3)∵f(x)是奇函数,且f(kx2+x)+f(x-1)<0在x∈时恒成立,
∴f(kx2+x)又∵f(x)是定义在R上的单调函数,且f(0)=0∴kx2+x<1-x,即k<-2·在x∈时恒成立.
令g(x)=-2·=-1,
∵x∈,∴∈(1,2),
∴-1则实数k的取值范围为(-∞,-1].
12.A　∵f(x)是定义在R上的函数,且y=f+为奇函数,
∴f+=-,∴f+f=-1,
∴f(2 023)+f(-2 022)=f+f=-1.故选A.
13.ACD　∵f(x)==1-,∴f(x)的图象的对称中心为点(-1,1),
f(x)的值域为(-∞,1)∪(1,+∞),且f(x)在(-∞,-1)和(-1,+∞)上均单调递增,故A、C正确,B错误;
由f(x)=,得f(1)=, f=,
∴f(x)+f=+=1,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 023)+f+f+…+f
=f(1)+++…+=+2 022=,
因此D正确.故选ACD.
14.解析　(1)因为f(x)===-=-,所以由反比例函数的图象特点及平移变换知f(x)=的图象成中心对称图形,对称中心为.
(2)f(1-x)=2|1-x-1|=2|x|, f(1+x)=2|1+x-1|=2|x|,结合函数图象(图象略)可知, f(x)=2|x-1|的图象关于直线x=1对称,不成中心对称图形.
(3)易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函数,其图象成中心对称图形,对称中心是(0,0).
(4)设f(x)=x3-6x2的图象成中心对称图形,且对称中心为(a,b),
则函数y=f(x+a)-b为奇函数,可得f(-x+a)-b=-f(x+a)+b,
变形可得f(-x+a)+f(x+a)=2b,即(-x+a)3-6(-x+a)2+(x+a)3-6(x+a)2=2b,
整理可得(6a-12)x2+2a3-12a2=2b,
所以解得所以f(x)=x3-6x2的图象成中心对称图形,对称中心为(2,-16).
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