2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--3.3　幂函数（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学必修第一册
3.3　幂函数
基础过关练
题组一　幂函数的概念及其图象
1.(2024安徽滁州名校期中联考)现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x,其中幂函数的个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
2.(2024浙江温州十校联合体期中)已知f(x)是定义在R上的幂函数,则f(0)-f(1)=(　　)
A.0　　B.-1　　C.1　　D.不确定
3.如图所示,给出了四个幂函数的图象,它们所对应的函数分别是(　　)
A.①y=,②y=x2,③y=,④y=x-1
B.①y=x3,②y=x2,③y=,④y=x-1
C.①y=x2,②y=x3,③y=,④y=x-1
D.①y=x3,②y=,③y=x2,④y=x-1
4.(多选题)(2024河北邢台质检联盟期中)已知幂函数f(x)满足f()=5,则(　　)
A. f(x)=x3
B. f(x)=x2
C. f(x)的图象经过原点
D. f(x)的图象不经过第二象限
5.(2024浙江浙南名校联盟期中)已知幂函数f(x)=k·xa的图象过点,则f的值为　　　　.
题组二　幂函数的性质及其应用
6.(2024浙江衢温“5+1”联盟期中)已知函数f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数m=(　　)
A.3　　B.-1　　C.1　　D.3或-1
7.(2024天津南开中学月考)幂函数f(x)=xα的图象过点(9,3),那么函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(-2,+∞)　　　　B.[-1,+∞)　　
C.[0,+∞)　　　　D.(-∞,-2)
8.(2024湖南名校联考联合体期中)已知幂函数f(x)的图象过点(2,8),若f(2a+3)+f(-3)>0,则a的取值范围为(　　)
A.(2,+∞)　　　　B.(1,+∞)　　
C.(0,+∞)　　　　D.(-1,+∞)
9.(多选题)(2023浙江湖州期中)下列关于幂函数y=xα(α为常数)的描述正确的有(　　)
A.幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)
B.幂函数的图象不可能过第四象限
C.当α=-1,,3时,幂函数y=xα是奇函数
D.当α=,3时,幂函数y=xα是增函数
10.(2024湖北荆州中学期中)已知幂函数f(x)=(m2+4m+4)xm+2在(0,+∞)上单调递减,若(2a-1)-m<(a+3)-m,则a的取值范围为　　　　.
11.(教材习题改编)比较大小:　　　 .(填“>”“<”或“=”)
12.(2024山西大同期中)已知幂函数f(x)=(m2-7m+13)x-m-1(m∈R)为偶函数.
(1)求f 的值;
(2)若f(2a+1)=f(a),求实数a的值.
能力提升练
题组一　幂函数的概念及其图象
1.幂函数y=xm与y=xn的部分图象如图所示,则(　　)
A.-1C.-11　　　　D.n<-1,m>1
2.(多选题)(2024湖北咸宁期中)已知幂函数f(x)的图象经过A(0,0),B(1,1),C(-1,-1),D(4,2)中的三个点,则f(3)的值可能为(注:=)(　　)
A.　　B.　　C.3　　D.9
3.(2024浙江台金七校联盟期中)常用符号[x]表示不超过x的最大整数,如[1.4]=1,已知函数f(x)=x-[x]与g(x)=k的图象在区间[1,5]上恰好有三个不同的交点,则k的取值范围是　(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.
题组二　幂函数的性质及其应用
4.(多选题)(2024重庆一中期中)已知幂函数f(x)=(m2-3)xn(m,n∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.若n=m-1,则f(x)在(0,+∞)上单调递减
B.若n=m+1,则f(x)是奇函数
C.函数y=2f(x-1)+1过定点(2,1)
D.若n=-3,则f(5)+f(-4)<0
5.(2023浙江浙北G2联盟期中)若点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,则函数g(x)=+的值域是(　　)
A.[0,]　　　　B.[1,]　　
C.[,2]　　　　D.[2,3]
6.(多选题)(2024河南洛阳一中期中)已知幂函数y=f(x)的图象经过点(9,3),则下列结论正确的有(　　)
A. f(x)为偶函数
B. f(x)在定义域内为增函数
C.若x>1,则f(x)>1
D.若x2>x1>0,则f>
7.(2024浙江杭州六县九校联盟期中)已知幂函数f(x)=xm-3(m∈N*)的图象关于y轴对称,且f(x)在(0,+∞)上单调递减,则满足f(a+1-m)8.(教材内容拓展)+的最小值为　　　　.
9.(2024山东济宁期中)已知幂函数y=f(x)的图象过点,设函数g(x)=x-f(x).
(1)求函数f(x)的解析式、定义域,并判断此函数的奇偶性;
(2)研究函数g(x)的单调性,画出g(x)的大致图象,并求其值域.
答案与分层梯度式解析
3.3　幂函数
基础过关练
1.B 2.B 3.B 4.ACD 6.A 7.C 8.C 9.BD
1.B　根据幂函数的概念,可得①⑤为幂函数,②③④不符合幂函数的基本形式.故选B.
2.B　设f(x)=xα,∵幂函数f(x)=xα的定义域是R,∴f(0)=0, f(1)=1,因此f(0)-f(1)=-1.故选B.
3.B　结合选项与所给图象分析:因为y=与y=x3的定义域为R且为奇函数,在第一象限内,y=x3的图象下凸,y=的图象上凸,故y=x3的图象应为①;二次函数y=x2的图象开口向上,且顶点为原点,应为②;y=的定义域为[0,+∞)且为增函数,其图象应为③;y=x-1的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,其图象应为④.故选B.
4.ACD　设幂函数f(x)=xa,
根据f()=5可得5=()a,
解得a=3,则f(x)=x3,故f(x)的图象经过原点,不经过第二象限.故选ACD.
5.答案　
解析　由幂函数的定义得k=1,将代入f(x)=xa,得=,从而a=,则幂函数f(x)==,
∴f==.
6.A　因为函数f(x)=(m2-2m-2)是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,
所以解得m=3.故选A.
7.C　幂函数f(x)=xα的图象过点(9,3),因为=3,所以f(x)=,
它的单调递增区间是[0,+∞).故选C.
8.C　设f(x)=xα(α为常数),
∵幂函数f(x)的图象过点(2,8),∴2α=8,解得α=3,∴f(x)=x3,
∵f(x)=x3在R上单调递增,且为奇函数,
∴由f(2a+3)+f(-3)>0,可得f(2a+3)>f(3),
∴2a+3>3,解得a>0,
即a的取值范围为(0,+∞).故选C.
9.BD　幂函数 y=xα的图象都过点(1,1),当 α≤0时,图象不经过点(0,0),故A错误;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且当x>0时,y=xα>0(α∈R),所以幂函数的图象不可能出现在第四象限内,故B正确;当幂指数α=时,幂函数y=是非奇非偶函数,故C错误;当幂指数α=,3时,幂函数y=xα是增函数,故D正确.
10.答案　(-∞,4)
解析　由题意可知解得m=-3,
∴不等式(2a-1)-m<(a+3)-m即为(2a-1)3<(a+3)3,
∵函数y=x3在R上单调递增,∴2a-111.答案　>
解析　因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,故>3..
12.解析　(1)由题意知m2-7m+13=1,解得m=4或m=3,
当m=4时, f(x)=x-5,为奇函数,不满足题意;
当m=3时, f(x)=x-4,满足题意,
∴f(x)=x-4,∴f ==16.
(2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|,即2a+1=a或2a+1=-a,
∴a=-1或a=-.
能力提升练
1.B 2.BC 3.B 4.BD 5.B 6.BCD
1.B　由题图可知,y=xm在[0,+∞)上单调递增,y=xn在(0,+∞)上单调递减,则m>0,n<0.当x>1时,y=xm的图象在直线y=x的下方,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,则m<1,n<-1.
综上可知,n<-1,02.BC　设f(x)=xα,α为常数,由幂函数的性质可知f(x)的图象必定经过点B.
若f(x)的图象经过A,B,C三点,则α>0,由f(-1)=(-1)α=-1,得α为正奇数或分子、分母均为奇数的正分数,又f(3)=3α,=3-1,=,3=31,9=32,
所以α=1, f(x)=x,则f(3)=3;
若f(x)的图象经过A,B,D三点,由f(4)=4α=2,得α=,则f(x)=,此时f(3)=;
由D(4,2)知α=,则C(-1,-1)必不在函数图象上,故f(x)的图象不可能同时经过B,C,D三点.
故选BC.
3.B　由题意得f(x)=作出y=f(x)与y=g(x)在[1,5]上的图象,如图:
由图可知,若函数f(x)=x-[x]与g(x)=k的图象在区间[1,5]上恰好有三个不同的交点,
则k>0,且解得≤k<.故选B.
4.BD　因为f(x)=(m2-3)xn为幂函数,
所以m2-3=1,解得m=2或m=-2.
对于A,当m=2时,n=1,此时f(x)=x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,A错误;
对于B,由题意得f(x)=x3或f(x)=x-1,均为奇函数,B正确;
对于C,因为幂函数f(x)的图象恒过点(1,1),所以y=2f(x-1)+1=2(x-1)n+1的图象恒过点(2,3),C错误;
对于D,若n=-3,则f(x)=,
所以f(5)+f(-4)=5-3+(-4)-3=5-3-4-3<0,D正确.故选BD.
5.B　∵点(m,81)在幂函数f(x)=(m-2)xn的图象上,
∴解得
∴函数g(x)=+=+,
∴∴3≤x≤4,
[g(x)]2=1+2=1+2,
因为x∈[3,4],所以-x2+7x-12∈,
所以[g(x)]2∈[1,2],
所以函数g(x)的值域为[1,].
故选B.
6.BCD　设f(x)=xα,将(9,3)代入,得3=9α,则α=,∴f(x)=.
对于A,易知f(x)的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴f(x)不具有奇偶性,因此A错误;
对于B,∵>0,∴函数f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,因此B正确;
对于C,当x>1时,>1,即f(x)>1,因此C正确;
对于D,因为f(x)=,所以f(x)≥0,若x2>x1>0,
则-
=-
=-=
=-<0,即因此D正确.故选BCD.
小题巧解　对于D,可画出f(x)=的图象,并连接点(x1, f(x1))与点(x2, f(x2)),由所得线段的中点位于曲线y=f(x)下方,可得7.答案　∪(1,2)
解析　由f(x)在(0,+∞)上单调递减,得m-3<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1或m=2,
当m=2时, f(x)=x-1,为奇函数,且图象关于原点对称,不符合题意,
当m=1时, f(x)=x-2,为偶函数,且图象关于y轴对称,符合题意.
故f(a+1-m)由于f(x)为偶函数,所以f(|a|)又f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以|a|>|2-2a|>0,解得因此实数a的取值范围是∪(1,2).
8.答案　
解析　设t=,t≥,则+=t+,t∈[,+∞),令y=t+,t∈[,+∞),
易知函数y=t+在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,ymin=,故+的最小值为.
9.解析　(1)设f(x)=xα.
因为函数f(x)=xα的图象过点,
所以3α===,因此α=-,所以f(x)=.
易得函数f(x)的定义域为(0,+∞).
显然,函数f(x)的定义域不关于原点对称,
所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(2)由(1)知,g(x)=x-=x-,x∈(0,+∞).
x1,x2∈(0,+∞),且x1则g(x1)-g(x2)=-
=(x1-x2)-=(x1-x2)+
=(-)(+)+
=(-),
因为x2>x1>0,所以-<0,+>0,>0,
所以g(x1)-g(x2)<0,即g(x1)因此函数g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,易知g(1)=0,
画出函数g(x)的大致图象,如图所示:
由图象知函数g(x)的值域为R.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)