2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.1.1　n次方根与分数指数幂 4.1.2　无理数指数幂及其运算性质（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第四章　指数函数与对数函数
4.1　指数
4.1.1　n次方根与分数指数幂　4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
基础过关练
题组一　根式的概念及性质
1.已知x6=6,则x等于(　　)
A.　　B.　　C.-　　D.±
2.(2024陕西汉中期中)可用分数指数幂表示为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(易错题)(2024广东汕头金山中学期中)化简:+=(　　)
A.1　　B.-1　　C.7-2π　　D.2π-7
4.(2024江苏连云港期中)下列各式正确的是(　　)
A.=
B.=3-π
C.=|a|(n>1,n∈N*)
D.()n=a(n>1,n∈N*)
题组二　实数指数幂与根式的运算
5.(2024重庆名校联盟期中)将×化成分数指数幂的形式是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024四川成都二十中期中)计算3π×+(+的值为(　　)
A.17　　B.18　　C.6　　D.5
7.(2024山东泰安一中期中)已知实数a,b>0,则下列选项中正确的是(　　)
A.=　　　　B.·=a　　
C.=a6b3　　　　D.·=0
8.(2024上海闵行期末)用有理数指数幂的形式表示=　　　　.(其中a>0,b>0)
9.(2024浙江衢温“5+1”联盟期中)计算:+2+2 0230=　　　　.
10.(2024天津河东期中)(1)求值:+(0.34)0;
(2)化简:(a>0,b>0).
题组三　指数幂的条件求值问题
11.若+=,则+的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.10
12.设α,β是方程5x2+10x+1=0的两个实数根,则2α·2β=　　　　,(2α)β=　　　　.
13.(2024湖北荆州中学期中)已知-=2,则x2+x-2的值为　　　　.
14.(2024安徽皖豫名校联盟期中)(1)已知10a=2,102b=5,求1的值;
(2)已知a>1,且ax+a-x=3,求的值.
能力提升练
题组一　根式的概念及性质
1.(2024江苏无锡锡东高中期中)当有意义时,化简-的结果是(　　)
A.2x-7　　B.-2x+1　　C.-1　　D.7-2x
2.(多选题)(2024广东广州执信中学期中)下列根式与分数指数幂的互化正确的是(　　)
A.-=(-x　　　　
B.=(y<0)　　
C.=(x>0)　　　　
D.[=(x>0)
3.(教材习题改编)计算下列各式:
(1);(2)+.
题组二　分数指数幂与根式的运算
4.(易错题)(2023天津南开中学期中)已知a>0,b>0,则=(　　)
A.ab3　　B.b-3　　C.ab-3　　D.a2b-5
5.(2024山东泰安一中期中)计算:-+=　　　　.
6.计算下列各式:
(1)(2024吉林省实验中学期中)×+×-;
(2)4·÷.
题组三　指数幂的条件求值问题
7.(多选题)(2023河南濮阳一高摸底考试)已知a+a-1=4(a>0),则下列选项正确的有(　　)
A.a2+a-2=14　　　　B.a3+a-3=56
C.+=　　　　D.a-a-1=2
8.(2024江苏五市期中联考)已知正数x,y满足3x-4=9y,则x+的最小值为　　　　　.
9.(2024广东六校期中联考)已知+=3,则的值为　　　　.
10.(2022江苏徐州期中)(1)已知a>0,且a2x=-1,求下列代数式的值:
①(ax+a-x)(ax-a-x);②;③;
(2)已知m>0,n>0,且m≠n,若,是方程x2-5x+3=0的两个根,求的值.
答案与分层梯度式解析
第四章　指数函数与对数函数
4.1　指数
4.1.1　n次方根与分数指数幂
4.1.2　无理数指数幂及其运算性质
基础过关练
1.D 2.D 3.A 4.D 5.A 6.B 7.C 11.B
1.D　
2.D　由分数指数幂与根式的互化可知,=.故选D.
3.A　+=|π-4|+π-3=4-π+π-3=1.故选A.
4.D　=-2,=2,因此A不正确;
=π-3,因此B不正确;
=因此C不正确;
()n=a,n>1,n∈N*,因此D正确.故选D.
5.A　·=×=(22×==.故选A.
6.B　3π×+(+=++1=1+16+1=18.故选B.
7.C　对于选项A,=,A错误;对于选项B,·=,B错误;对于选项C,=a6b3,C正确;对于选项D,·=a0=1,D错误.故选C.
8.答案　a
解析　∵a>0,b>0,∴===a.
9.答案　12
解析　+2+2 0230=2++1=2+9+1=12.
10.解析　(1)原式=+1=+1=.
(2)原式===·=ab-1.
11.B　+=(+)2-2=-2=,故选B.
12.答案　;
解析　由一元二次方程根与系数的关系,得α+β=-2,αβ=,则2α·2β=2α+β=2-2=,(2α)β=2αβ=.
13.答案　34
解析　∵-=2,∴(-)2=x+x-1-2=4,∴x+x-1=6,
∴(x+x-1)2=x2+x-2+2=36,∴x2+x-2=34.
14.解析　(1)因为10a=2,102b=5,
所以1=(10a÷102b==.
(2)由题可知(ax+a-x)2=9,故a2x+a-2x=7,
所以==a2x+1+a-2x=8.
能力提升练
1.C 2.CD 4.C 7.AC
1.C　由有意义得x≤1,
则-=-=4-x-(5-x)=-1.
故选C.
2.CD　-=-(x≥0),而(-x=(x≤0),因此A错误;=-(y<0),因此B错误;=(x>0),因此C正确;[==(x>0),因此D正确.
故选CD.
3.解析　(1)====3-2.
(2)原式=+y-x=|x-y|+y-x.
当x≥y时,原式=x-y+y-x=0;
当x∴原式=
易错警示　化简时,要考虑n的奇偶性,当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|,此时还要考虑a的符号.
4.C　∵a>0,b>0,∴===ab-3.故选C.
5.答案　-
解析　原式=(2-)-+=2--+=-.
6.解析　(1)原式=×1+×-=+2-=2.
(2)4·÷=4×××=-6a.
7.AC　∵a+a-1=4,∴a2+a-2=(a+a-1)2-2=14,A正确;
a3+a-3=(a+a-1)·(a2+a-2-1)=4×(14-1)=52,B错误;
+===,C正确;
(a-a-1)2=(a+a-1)2-4=12,故a-a-1=±2,D错误.故选AC.
8.答案　12
解析　由3x-4=9y=32y,可得x=2y+4,
又x>0,y>0,∴x+=2y++4≥2+4=12,当且仅当2y=,即y=2时取等号,故x+的最小值为12.
9.答案　65
解析　因为+=3,所以a+a-1=(+)2-2=7,所以a2+a-2=(a+a-1)2-2=47,
因此=
==65.
10.解析　(1)①∵a2x=-1,∴(ax+a-x)(ax-a-x)=a2x-a-2x=-1-=-1-(+1)=-2.
②====
=--1.
③==a2x+a-2x-1=-1+-1=-1++1-1=2-1.
(2)由根与系数的关系得+=5,=3,
所以====m++n=(+)2-=52-3=22.
解题模板　在条件求值中,将结论根据条件进行适当变形,利用整体代入求值.
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