2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.2.1　指数函数的概念（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
基础过关练
题组一　指数函数的概念及应用
1.下列函数是指数函数的是(　　)
A.y=(-4)x　　　　B.y=2x+1
C.y=ax　　　　D.y=3x
2.(2024吉林长春外国语学校期中)若函数y=(a2-5a+7)ax+6-2a是指数函数,则(　　)
A.a=2或a=3　　　　B.a=3　　
C.a=2　　　　D.a>2或a≠3
3.指数函数y=f(x)的图象过点(2,4),则f(3)的值为(　　)
A.4　　B.8　　C.16　　D.1
题组二　指数型函数模型
4.(2024广东六校期中联考)为了做好校园防疫工作,某学校决定每天对教室进行消毒.已知消毒药物在释放过程中,室内空气中的含药量y(单位:mg/m3)与时间t(单位:h)成正比,药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=.按照规定,当空气中的含药量降低到0.5 mg/m3以下时,学生方可进入教室.因此,工作人员每天对教室进行消毒的时间至少应在课前(　　)
A.30分钟　　B.60分钟　　C.90分钟　　D.120分钟
5.(2024安徽皖豫名校联盟期中)已知生物死亡t年后,其组织内碳14所剩质量C(t)=C0,其中C0为活体生物组织内碳14的质量.2023年科学家在我国发现某生物遗体中碳14的质量约为原始质量的0.92倍,已知≈0.23,则可推断该生物死亡的朝代为(　　)
A.金(公元1115—1234年)　　　　
B.元(公元1271—1368年)
C.明(公元1368—1644年)　　　　
D.清(公元1636—1912年)
6.(多选题)(2024浙江浙南名校联盟期中)如图,某池塘里浮萍的面积y(单位:m2)与时间t(单位:月)的关系式为y=kat(k∈R),其中k≠0,a>0且a≠1.则下列说法正确的是(　　)
A.浮萍每月增加的面积都相等
B.第6个月时,浮萍的面积会超过30 m2
C.浮萍面积从2 m2蔓延到64 m2只需经过5个月
D.若浮萍面积蔓延到4 m2,6 m2,9 m2所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1+t3=2t2
7.近年来,某县持续关注民生,推进民房屋顶平改坡工程,对全县a m2的老房子进行平改坡,且每年平改坡面积的百分比相等.已知改造到面积的一半时,所用时间为10年,且到2024年为止,平改坡剩余面积为最开始的.则每年平改坡面积的百分比约为　　　,到2024年为止,该平改坡工程已经进行了　　　年.注:≈0.926,≈0.933,≈0.939.
答案与分层梯度式解析
4.2　指数函数
4.2.1　指数函数的概念
基础过关练
1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.BCD
1.D　
2.B　由题意可知解得a=3.故选B.
3.B　设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0,且a≠1),
由函数y=f(x)的图象过点(2,4),得a2=4,
所以a=2或a=-2(舍去),即f(x)=2x,
所以f(3)=23=8,故选B.
4.B　当t∈时,由题可设y=kt,∵函数图象过点,∴解得
故y=当t≥时,令≤,结合图象可得t≥1,
因此工作人员每天对教室进行消毒的时间至少应在课前60分钟.故选B.
5.B　由题意知=0.92,∵0.92=0.23×4≈×=,
∴t≈5 730×0.12=687.6,
2 023-687.6=1 335.4≈1 335,因此该生物死亡的朝代为元.
6.BCD　将(1,1)和(3,4)代入函数关系式y=kat(k∈R,且k≠0;a>0,且a≠1),
得∴∴函数关系式为y=×2t=2t-1,
∵函数图象呈曲线形,所以浮萍每月增加的面积不相等,因此A错误.
当t=6时,y=25=32,浮萍的面积超过了30 m2,因此B正确.
令y=2,得t=2,令y=64,得t=7,
所以浮萍面积从2 m2蔓延到64 m2需要5个月,因此C正确.
依题意得=4,=6,=9,
∴4×9=×=,62=()2=,因此=,∴t1+t3=2t2,因此D正确.故选BCD.
7.答案　6.7%;5
解析　设每年平改坡面积的百分比为x(0则a(1-x)10=a,即1-x=,解得x=1-≈0.067=6.7%,故每年平改坡面积的百分比约为6.7%.
设到2024年为止,该平改坡工程已经进行了n年,
则a(1-6.7%)n=a,即=,解得n=5,
所以到2024年为止,该平改坡工程已经进行了5年.
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