2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.2.2　指数函数的图象和性质（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.2.2　指数函数的图象和性质
基础过关练
题组一　指数函数的图象特征
1.(2024河南郑州十所省级示范高中期中)函数y=ax(a>0且a≠1)与y=-x+a的图象大致是(　　)
　　　　　　
　　　　　　　　
2.函数y=的图象是(　　)
3.(多选题)(2023江西南昌一中月考)若函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则下列选项正确的有(　　)
A.a>1　　B.00　　D.b<0
4.(易错题)(多选题)已知指数函数①f(x)=ax,②g(x)=bx,且满足a>b>0,a≠1,b≠1,则它们的图象可能为(　　)
　　　　　　
5.(2024天津滨海新区期中)函数f(x)=ax-2-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点　　　　.
6.(2024北京丰台期中)已知函数f(x)=
(1)求f的值;
(2)画出函数f(x)的图象,根据图象写出函数f(x)的单调区间;
(3)若f(x)≤8,求x的取值范围.
题组二　指数函数的单调性及其应用
7.(教材习题改编)下列关系中,正确的是(　　)
A.>　　　　B.20.1>20.2
C.2-0.1>2-0.2　　　　D.>
8.(2024湖南长沙雅礼中学期中)函数f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.3
9.(2024天津静海四校段考)若函数f(x)=且满足对任意的实数x1,x2,当x1≠x2时,都有>0成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.(1,+∞)　　B.(1,8)　　C.(4,8)　　D.[4,8)
10.(教材习题改编)不等式>的解集为　　　　.
11.(2024吉林省实验中学期中)函数f(x)=的单调递增区间为　　　　.
12.(易错题)若函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的差为,则a的值为　　　　.
13.(2024安徽皖豫名校联盟期中)已知函数f(x)=mx(m>0且m≠1)的图象过点(3,8),g(x)=-k.
(1)求m的值;
(2)记f(x),g(x)在区间[1,2)上的值域分别为集合A,B,若x∈A是x∈B的必要条件,求实数k的取值范围.
题组三　指数函数性质的综合应用
14.(2024湖北宜昌部分省级示范高中月考)若实数a,b满足2 023a+2 024-b<2 023b+2 024-a,则(　　)
A.>1　　B.<1　　C.a-b<0　　D.a-b>0
15.(2024湖北荆州中学期中)已知函数F(x)=x3+2x-2-x+5,若F(a)=7,则F(-a)=(　　)
A.2　　B.-7　　C.3　　D.-3
16.(2024天津南开期中)函数F(x)=的值域为　　　　.
17.(教材习题改编)函数f(x)=的单调递增区间为　　　　;此函数是　　　　(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).
18.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=1-2x.
(1)当x<0时,求f(x)的解析式;
(2)求不等式f(x)<1的解集.
19.(2024广东六校期中联考)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求实数a的值;
(2)判断f(x)在R上的单调性;
(3)解关于t的不等式: f(t2-2t)+f(2t2-1)<0.
能力提升练
题组一　指数函数的图象及其应用
1.(2024浙江台金七校联盟期中)函数f(x)=(2x-2-x)(x4-x2)的图象大致为(　　)
　　　　　　
2.(2024北京丰台期中)若指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象和函数g(x)=3x+5(x≥-1)的图象相交,则a的取值范围是　　　　　　　.
题组二　指数函数的单调性及其应用
3.(2024安徽皖豫名校联盟期中)设a=90.7,b=270.5,c=,则(　　)
A.a4.(2024浙江浙南名校联盟期中)设a=,b=,则下列结论正确的是(　　)
A.a>b　　　　B.2a<2b　　
C.a2+b2≥2　　　　D.+=2
5.(多选题)(2023黑龙江哈尔滨德强学校月考)对于函数f(x)和f(-x),若两函数在区间[m,n]上的单调性相同,则把区间[m,n]叫做f(x)的“稳定区间”,已知区间[1,2 020]为函数f(x)=的“稳定区间”,则实数a的取值可能是(　　)
A.-　　B.-　　C.0　　D.
6.(2024河南南阳六校期中)已知函数f(x)=则满足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范围是　　　　.
题组三　指数函数性质的综合应用
7.(多选题)(2024湖南长沙长郡中学期中)已知f(x)=是奇函数,则(　　)
A.a=1
B. f(x)在(-∞,0)上单调递增
C. f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞)
D. f(3x)>f()的解集为x∈
8.(2024江西南昌三中月考)已知函数f(x)=31+|x|-,则使得f(x)9.(2024吉林省实验中学期中)已知函数f(x)=x-,若不等式t·f(2x)≥2x-1对任意的x∈(0,1]恒成立,则t的取值范围为　　　　　　.
10.已知函数f(x)=4x-2x+1-3,g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　　　.
11.(2024安徽卓越县中联盟期中)已知函数f(x)=(a2-3a+3)ax为指数函数,函数g(x)=为奇函数.
(1)求f(x),g(x)的解析式;
(2)设函数h(x)(x≠0)满足g(x)[h(x)+2]=2x-2-x,若不等式h(2x)≥kh(x)-18恒成立,求实数k的最大值.
答案与分层梯度式解析
4.2.2　指数函数的图象和性质
基础过关练
1.A 2.D 3.AD 4.AD 7.C 8.C 9.D 14.C
15.C
1.A　直线y=-x+a的斜率为-1,故排除C,D;对于选项A,由函数y=ax的图象知a>1,由y=-x+a的图象知a>1;对于选项B,由函数y=ax的图象知a>1,由y=-x+a的图象知02.D　y==
因此,当x≥0时,y=的图象与y=的图象相同;当x<0时,y=的图象与y=2x的图象相同.故选D.
3.AD　当x=0时,y=a0+b-1=b,由函数y=ax+b-1(a>0,且a≠1)的图象经过第一、三、四象限及指数函数的性质知,该函数单调递增,其图象与y轴的交点(0,b)在x轴的下方,所以b<0,且a>1.故选AD.
4.AD　当x=1时, f(1)=a,g(1)=b,由a>b>0可知A、D中图象满足.故选AD.
5.答案　(2,-2)
解析　由于函数y=ax的图象恒过定点(0,1),故函数f(x)=ax-2-3(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2,-2).
6.解析　(1)由函数f(x)=可得f=+1=, f=f==2.
(2)画出f(x)的图象如图所示:
由图可知, f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
(3)由f(x)≤8可得或得-7≤x≤3,
故满足f(x)≤8的x的取值范围是[-7,3].
7.C　∵>,∴<,∴A错误;
∵0.1<0.2,∴20.1<20.2,∴B错误;
∵-0.1>-0.2,∴2-0.1>2-0.2,∴C正确;
∵->-,∴<,∴D错误.故选C.
8.C　令=t,由x∈[-1,2]得t∈,故f(x)可转化为g(t)=t2-t+1,t∈,易知g(t)min=g=,即f(x)=-+1在[-1,2]上的最小值是,故选C.
9.D　∵对任意的实数x1,x2,当x1≠x2时,都有>0成立,
∴函数f(x)=在R上单调递增,∴解得4≤a<8,故a的取值范围是[4,8),故选D.
10.答案　
解析　∵>,y=在R上是减函数,∴2x2-1<4-3x,解得-故不等式的解集为.
11.答案　
解析　令-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,所以f(x)的定义域为[-1,2],
令t=-x2+x+2,易知其在上单调递增,在上单调递减,
又y=在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)=的单调递增区间为.
12.答案　或
解析　当a>1时,函数y=ax在[1,2]上单调递增,y的最大值为a2,最小值为a,
故有a2-a=,解得a=或a=0(舍去);
当0故有a-a2=,解得a=或a=0(舍去).
综上,a=或a=.
易错警示　解决与指数函数单调性、最大(小)值有关的问题时,要注意底数对单调性的影响,当底数含有参数时,要注意对参数分类讨论.
13.解析　(1)∵f(x)=mx(m>0且m≠1)的图象过点(3,8),∴m3=8,解得m=2.
(2)由(1)得f(x)=2x,当x∈[1,2)时, f(x)的值域为[2,4),即A=[2,4),
当x∈[1,2)时,g(x)的值域为,即B=,
∵x∈A是x∈B的必要条件,∴B A,
∴∴-∴k的取值范围是.
14.C　由2 023a+2 024-b<2 023b+2 024-a,得2 023a-2 024-a<2 023b-2 024-b,
令g(x)=2 023x-2 024-x,易知y=2 023x在R上单调递增,y=2 024-x在R上单调递减,
因此g(x)在R上单调递增,所以a15.C　由F(x)=x3+2x-2-x+5,
得F(a)+F(-a)=a3+2a-2-a+5+(-a)3+2-a-2a+5=10,又F(a)=7,
所以F(-a)=10-F(a)=10-7=3.故选C.
16.答案　∪[,+∞)
解析　设f(x)=+,当x>0时,
+≥2=,当且仅当=,即x=1时,等号成立,因此f(x)的取值范围为,
由指数函数的单调性可知,函数F(x)的取值范围为.
同理可得,当x<0时, f(x)的取值范围为,
由指数函数的单调性可知,函数F(x)的取值范围为[,+∞).
综上所述,函数F(x)的值域为∪[,+∞).
17.答案　[0,+∞);偶函数
解析　设u=-|x|+1,
易知u=-|x|+1的单调递减区间为[0,+∞),
又y=是R上的减函数,
∴f(x)=的单调递增区间为[0,+∞).
易知f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)===f(x),∴f(x)是偶函数.
18.解析　(1)当x>0时, f(x)=1-2x,
当x<0时,-x>0,∴f(-x)=1-2-x.
又f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴当x<0时, f(x)=-f(-x)=-(1-2-x)=2-x-1.
(2)当x>0时,不等式f(x)<1即1-2x<1,
∴2x>0,显然成立;
当x=0时,由f(x)是R上的奇函数,得f(0)=0<1,成立;
当x<0时,不等式f(x)<1即2-x-1<1,∴2-x<2,
∴-1综上可知,不等式f(x)<1的解集为(-1,+∞).
19.解析　(1)∵函数f(x)=为奇函数,∴f(0)==0,解得a=1,经检验,符合题意.
(2)f(x)==1-在R上单调递增,证明如下:
x1,x2∈R,且x1,故f(x1)-f(x2)=-<0,
∴f(x1)(3)∵f(x)是R上的奇函数,且是R上的增函数,
∴由f(t2-2t)+f(2t2-1)<0得, f(t2-2t)∴t2-2t<1-2t2,解得-能力提升练
1.D 3.D 4.A 5.AB 7.ACD
1.D　因为f(x)=(2x-2-x)(x4-x2)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=(2-x-2x)(x4-x2)=-f(x),所以f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除选项A,C;
又f(2)=×(16-4)=45>0,故排除选项B.故选D.
2.答案　∪(1,+∞)
解析　当a>1时,指数函数f(x)=ax在R上单调递增,由图象知, f(x)的图象和g(x)的图象一定会相交,
当0可得03.D　∵a=90.7=31.4,b=270.5=31.5,∴a又c==<31.4=a,∴c4.A　构造函数f(x)=,
则f(x)==+,
因为函数y=2x+1在R上单调递增,所以y=在R上单调递减,所以f(x)在R上单调递减,
所以f(2 022)>f(2 023)>0,即a>b,所以2a>2b,因此A正确,B错误;因为00,b>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时取等号,由题意可知a≠b,故+>2,因此D错误.故选A.
5.AB　由f(x)=得f(-x)=|2x+a|,由已知得f(x)与f(-x)在区间[1,2 020]上同时单调递增或同时单调递减.
若同时单调递增,则在x∈[1,2 020]上恒成立,可得所以-2≤a≤-.
若同时单调递减,则在x∈[1,2 020]上恒成立,可得该不等式组无解.
综上,-2≤a≤-.故选AB.
6.答案　(-1,+∞)
解析　由题意知,当x>1时,x-1>0,则f(x)+f(x-1)=2x+2x-1>1恒成立;
当01恒成立;
当x≤0时,x-1≤-1,则f(x)+f(x-1)=x+2+x-1+2=2x+3,令2x+3>1,得x>-1,所以-1综上,x的取值范围是(-1,+∞).
7.ACD　对于选项A,由f(x)=是奇函数,
得f(-x)+f(x)=0,
则有+=+==0,必有a=1,A正确;
对于选项B,由A中的结论知, f(x)==1+,
易知函数y=2x-1在(-∞,0)上单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,B错误;
对于选项C,由y=可得2x=,则有>0,
解得y<-1或y>1,即函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),C正确;
对于选项D, f(x)==1+,
易知函数y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,
若f(3x)>f(),则有3x<=,解得x<,即不等式的解集为,D正确.故选ACD.
8.答案　(-∞,-1)∪
解析　易知函数f(x)=31+|x|-的定义域为R,且f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.
当x≥0时, f(x)=31+x-,为单调递增函数,
∴f(x)∴|x|<|2x+1|,解得x<-1或x>-,
故x的取值范围为(-∞,-1)∪.
9.答案　
解析　易知f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增, f(2x)=2x-2-x,由0不等式t·f(2x)≥2x-1对任意x∈(0,1]恒成立,即t≥=对任意x∈(0,1]恒成立,
易知y==在(0,1]上单调递增,故当x=1时,y取得最大值,为,所以t≥.
10.答案　
解析　设f(x)=4x-2x+1-3,x∈[0,1]的值域为A,g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),x∈[0,1]的值域为B.
因为对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,所以A B,
令t=2x,x∈[0,1],则t∈[1,2],则f(x)可转化为y=t2-2t-3=(t-1)2-4,
易知其在t∈[1,2]上单调递增,
所以ymax=(2-1)2-4=-3,ymin=(1-1)2-4=-4,即A=[-4,-3].
易知函数y=x2-4mx-2m(m≥1)的图象的对称轴方程为x=2m,且2m≥2,
所以g(x)=x2-4mx-2m在[0,1]上单调递减,
所以g(x)max=g(0)=-2m,g(x)min=g(1)=1-6m,即B=[1-6m,-2m].
由A B可得解得1≤m≤.
解题模板　已知函数y=f(x),x∈[a,b],y=g(x),x∈[c,d],记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A, y=g(x),x∈[c,d]的值域为B.
(1)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则A B;
(2)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则A B;
(3)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],有f(x1)=g(x2)成立,则A∩B≠ .
11.解析　(1)因为f(x)=(a2-3a+3)ax为指数函数,
所以所以a=2,因此f(x)=2x.
所以g(x)==,
又g(x)为奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即=-,
得到(1-b)(2x+1)=0,解得b=1,
所以g(x)=.
(2)因为g(x)[h(x)+2]=2x-2-x,
所以h(x)+2====2x+2-x+2,
所以h(x)=2x+2-x(x≠0).
所以h(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2.
不等式h(2x)≥kh(x)-18恒成立,即(2x+2-x)2-2≥k(2x+2-x)-18恒成立,
令t=2x+2-x(x≠0),则t=2x+2-x>2=2,
则原不等式转化为t2-2≥kt-18,t>2恒成立,即k≤t+在(2,+∞)上恒成立,
因为t>2,所以由基本不等式可得t+≥8,当且仅当t=4时,等号成立,
所以k≤8,即实数k的最大值为8.
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