2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.3.1　对数的概念　4.3.2　对数的运算（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.3　对数
4.3.1　对数的概念　4.3.2　对数的运算
基础过关练
题组一　对数的概念及性质
1.(2024黑龙江哈九中期中)将23=8化为对数式正确的是(　　)
A.log23=8　　B.log28=3　　C.log82=3　　D.log32=8
2.(多选题)(2023吉林省实验中学期中)下列指数式与对数式互化正确的是(　　)
A.=m与logm=e B.10x=6与lg 6=x
C.2=与lo27=- D.=3与log93=
3.(2023山东烟台第一中学期末)已知log7[log2(lg x)]=0,则x=　　　　　.
4.(2024浙江浙南名校联盟期中)已知log32=a,则9a+9-a的值为　　　　　.
题组二　对数的运算性质及对数式的恒等变形
5.以下四个结论中正确的是(　　)
A.log28=4　　　　B.log35+log34=2　　
C.lg(lg 10)=0　　　　D.=3
6.(教材习题改编)2log6+3log6=(　　)
A.log6　　　B.2　　C.0　　D.1
7.(2024江苏五市期末联考)计算:eln 2++log9=　　　　　.
8.(2024河南洛阳强基联盟期中)计算:log5=　　　　.
9.计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2=　　　　.
10.(易错题)若f(x)=4x,则f(log23)=　　　　.
11.(1)已知lg 2=m,lg 3=n,试用m,n表示log512;
(2)计算:-log23×log38+log68+2log6.
题组三　对数运算的应用
12.(2024江苏扬州五校联考)已知x>0,y>0,lg 4x+lg 2y=lg 8,则+的最小值是(　　)
A.3　　B.　　C.　　D.9
13.(2024湖北襄阳五中月考)已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,设N=45×910,则N所在的区间为(　　)
A.(1010,1011)　　　　B.(1011,1012)　　
C.(1012,1013)　　　　D.(1013,1014)
14.(教材习题改编)已知loga3=m,loga2=n(a>0,且a≠1).
(1)求am+2n的值;
(2)若0能力提升练
题组一　对数的概念及运算
1.已知3x=2,log3=y,则x+y=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
2.(2024四川内江期末)若2a=5,则lg 2=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.若lg 2=a,lg 3=b,则log245=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(多选题)(2024吉林省实验中学期中)若10a=4,10b=25,5c=4,则下列计算正确的是(　　)
A.a+b=2　　　　B.b-a=1　　C.ab=10　　　　D.-=
5.(2024江苏苏州学情调研)化简-(log2510)-1++=　　　　.
6.(2023江苏南通如皋质检)若实数a,b,c满足3a=4,4b=5,5c=9,则abc=　　　　.
7.已知A=+810.25-×+log53×log325,B=log2(4B+2A),计算:A=　　　　,B=　　　　.
8.(1)计算:log25×lo4+(lg 5)2+lg 2×(lg 5+1);
(2)已知a,b均为正实数,且a,b≠1,若logab+logba=,ab=ba,求的值.
题组二　对数运算的综合应用
9.(2024河南洛阳期中)假设在2024年以后,我国每年的GDP(国内生产总值)比上一年平均增长8%,那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.2032　　B.2035　　C.2038　　D.2042
10.(多选题)(2024江苏淮安调研)定义(a,b)为a,b之间的一种运算,若ac=b,则(a,b)=c,则下列正确的是(　　)
A.(4,6)=2×(2,3)　　　　B.(2,2)=1
C.(2,6)-(2,3)=1　　　　D.(4,5)+(4,6)=(4,30)
11.(2024江苏南京学情调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=-f(x), f(2-x)=f(x),且当x∈时, f(x)=2x,则f(log224)=　　　　.
12.(2024江西宜春宜丰中学月考)定义在R上的奇函数f(x)满足f(1-x)=f(1+x),且f(x)在区间[1,2]上单调递减.若a=f(5),b=f(2-0.),c=f(log5),则a,b,c按照从小到大的顺序排列为　　　　　.
13.(1)已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,求lg;
(2)甲、乙两人同时解关于x的方程:log3x-blogx3+c=0,甲看错了常数b,得两根为3和,乙看错了常数c,得两根为和81,求这个方程正确的根.
答案与分层梯度式解析
4.3　对数
4.3.1　对数的概念　4.3.2　对数的运算
基础过关练
1.B 2.BD 5.C 6.D 12.A 13.C
1.B　指对互化时,底数不变.故选B.
2.BD　在选项A中,=m化成对数式应为logem=,即ln m=;在选项C中,2=化成对数式应为log27=-;易知B,D正确.故选BD.
3.答案　100
解析　∵log7[log2(lg x)]=0,∴log2(lg x)=1,
∴lg x=2,故x=100.
4.答案　
解析　∵log32=a,∴3a=2,∴9a=(3a)2=22=4,
∴9a+9-a=4+=.
5.C　log28=log223=3,因此A错误;log35+log34=log320≠2,因此B错误;lg(lg 10)=lg 1=0,因此C正确;===81,因此D错误.故选C.
6.D　2log6+3log6=log6[()2×()3]=log66=1.故选D.
7.答案　10
解析　eln 2+0.12+log9=2++2log332=2++4=2+4+4=10.
8.答案　1
解析　log5=log5(2+3)=log55=1.
9.答案　3
解析　原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2×lg 5+(lg 2)2
=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
10.答案　9
解析　由f(x)=4x,可得f(log23)==(22===9.
易错警示　运用对数恒等式求值时,要将指数和对数的底化为相同的数,再准确利用公式求值.
11.解析　(1)由换底公式得log512===.
(2)-log23×log38+log68+2log6
=2-2log23×log32+log62+log63
=2-2+log66=1.
12.A　∵lg 4x+lg 2y=lg 8,∴4x·2y=8,∴2x+y=3,又x>0,y>0,
∴+=(2x+y)×=≥=3,
当且仅当=且2x+y=3,即x=,y=2时取等号,故+的最小值为3.故选A.
13.C　由于N=45×910,所以lg N=5lg 4+10lg 9=10lg 2+20lg 3≈12.552,所以N≈1012.552,故N所在的区间为(1012,1013).故选C.
14.解析　(1)由loga3=m,loga2=n得am=3,an=2,
因此am+2n=am·a2n=3×22=12.
(2)∵m+n=log32+1,∴loga3+loga2=loga6=log36,即a=3,因此x+x-1=3.
于是(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=5,
由0从而x-x-1=-,
∴x2-x-2=(x-x-1)(x+x-1)=-3.
能力提升练
1.A 2.C 3.D 4.AD 9.D 10.BCD
1.A　∵log3=y,∴3y=,因此=,
∴=3x·=2×=3,∴x+y=1,故选A.
2.C　由2a=5可得a=log25,则有a=,即alg 2=lg 5=1-lg 2,得(a+1)lg 2=1,
因为2a=5>1,所以a>0,即a+1≠0,
所以lg 2=.故选C.
3.D　∵lg 2=a,lg 3=b,∴由换底公式得log245===,故选D.
解题模板　对数式恒等变形的常用策略:一看底,底不同时用换底公式化为同底;二看真数,利用对数的运算性质将真数进行适当变形.解题时还要考虑到对数恒等式及特殊值的应用.
4.AD　若10a=4,10b=25,5c=4,则a=lg 4,b=lg 25,c=log54,所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2,选项A正确;b-a=lg 25-lg 4=lg ≠1,选项B错误;由基本不等式得ab≤=1,当且仅当a=b时取等号,又a=lg 4,b=lg 25,所以等号不成立,即ab<1,选项C错误;由-=-=log410-log45=log42=,选项D正确.故选AD.
5.答案　10
解析　-(log2510)-1++
=2-lg 25+9+1-2lg 2=12-lg(25×4)=12-2=10.
6.答案　2
解析　因为3a=4,4b=5,5c=9,
所以a=log34,b=log45,c=log59,
由换底公式得a=,b=,c=,
所以abc=××===2.
7.答案　-6;2
解析　A=+810.25-×+log53×log325=1+3-3×4+log53×=-8+2=-6.
∵B=log2(4B+2A),∴2B=4B-12,
令t=2B(t>0),则t2-t-12=0,
解得t=-3(舍去)或t=4,即2B=4,∴B=2.
8.解析　(1)log25×lo4+(lg 5)2+lg 2×(lg 5+1)
=log25×(-log54)+(lg 5)2+lg 2×lg 5+lg 2
=log25×(-2log52)+lg 5×(lg 5+lg 2)+lg 2
=-2+lg 5×lg 10+lg 2=-2+lg 5+lg 2
=-2+lg 10=-2+1=-1.
(2)令t=logab,则t+=,所以2t2-5t+2=0,即(2t-1)(t-2)=0,所以t=或t=2,
因此logab=或logab=2,即a=b2或a2=b.
因为ab=ba,所以2b=a=b2或b=2a=a2,所以b=2,a=4或a=2,b=4,
因此=2或=.
9.D　设2024年我国GDP为a(a>0),则n年以后的GDP为a(1+8%)n,若n年以后GDP实现翻两番的目标,
则a(1+8%)n=4a,所以n=log1.084=====≈≈18,所以到2042年GDP基本实现翻两番的目标.故选D.
10.BCD　对于A,设(4,6)=x1,(2,3)=x2,则=6,=3,得x1=log46=log26=log2,x2=log23,
而2×(2,3)=2x2=2log23=log29,
故(4,6)=2×(2,3)不成立,因此A错误;
对于B,设(2,2)=x3,则=2,得x3=log22=1,因此B正确;
对于C,设(2,6)=x4,则=6,得x4=log26,由A选项得x2=log23,
则(2,6)-(2,3)=x4-x2=log26-log23=log22=1,因此C正确;
对于D,设(4,5)=x5,则=5,得x5=log45,由A选项得x1=log46,
设(4,30)=x6,则=30,得x6=log430,
则x5+x1=log45+log46=log430=x6,即有(4,5)+(4,6)=(4,30),因此D正确.故选BCD.
11.答案　-
解析　由f(x)满足f(1-x)=-f(x), f(2-x)=f(x),
可得f(2-x)=-f(1-x),所以f(x+1)=-f(x),
因此f(x+2)=f(x), f(x+4)=f(x),所以f(log224)=f(log224-4)=f=-f=-f,
因为0=log2112.答案　c,b,a
解析　由f(1-x)=f(1+x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
所以c=f(log5)=f=f,
由f(1-x)=f(1+x)知f(2-x)=f(x),
由f(x)是R上的奇函数知f(x)=-f(-x),
所以f(2-x)=-f(-x),所以f(2+x)=-f(x),
所以f(4+x)=-f(2+x)=f(x),则a=f(5)=f(1),
又<0.<1,所以1<2-<,
因为f(x)在区间[1,2]上单调递减,
所以f13.解析　(1)lg=lg 3=lg 3+lg =lg 3+lg 5=lg 3+(1-lg 2)≈0.477 1+×(1-0.301 0)=0.826 6.
(2)原方程可化为(log3x)2+clog3x-b=0,由题意得log33+log3=-1=-c,log381×log3=-12=-b,
故c=1,b=12,
则原方程为(log3x)2+log3x-12=0,
∴log3x=-4或log3x=3,∴x=或x=27,
即这个方程正确的根为27和.
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