2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.4.1　对数函数的概念（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
基础过关练
题组一　对数函数的概念及其应用
1.若函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,则f=(　　)
A.3　　B.-3　　C.-log36　　D.-log38
2.(2023安徽师范大学附属中学月考)若函数f(2x)=xln 2,且f(m)=2,则实数m=(　　)
A.e　　B.e2　　C.ln 2　　D.2ln 2
3.(2024天津部分高中联考)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1),B(5,2),则f(14)÷f的值是　　　　.
4.(2024福建厦门一中期中)如图,对数函数f(x)=logax(a>1)图象上的点A与x轴上的点B(1,0)和点C构成以BC为斜边的等腰直角三角形,若△ECD与△ABC相似,点E在函数f(x)的图象上,点D位于点C的右侧,且两个三角形的相似比为2∶1,则a=　　　　.
5.(2024广东部分名校期中联合质量监测)如图,对数函数f(x)的图象与一次函数h(x)=x-的图象有A、B两个公共点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的不等式4f(x)题组二　与对数函数有关的函数的定义域问题
6.(2024河南洛阳月考)函数f(x)=的定义域为(　　)
A.　　　　B.(1,+∞)　　
C.∪(1,+∞)　　　　D.∪(1,+∞)
7.(2023广东广州三中期末)已知函数f(x)=ln(ax-b)的定义域是(1,+∞),则函数g(x)=(ax+b)(x-1)在区间(-1,1)上(　　)
A.有最小值,无最大值B.有最大值,无最小值
C.有最小值,也有最大值D.没有最小值,也没有最大值
8.函数f(x)=的定义域是　　　　.
9.(2024上海交大附中期末)已知函数f(x)=loga(kx2-4kx+1-k)(a>0且a≠1)的定义域为R,则实数k的取值范围是　　　　.
10.设函数f(x)=lg ,a∈R,若 x∈(-∞,1), f(x)都有意义,则a的取值范围是　　　　.
11.已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.4　对数函数
4.4.1　对数函数的概念
基础过关练
1.B 2.B 6.D 7.A
1.B　∵函数f(x)=(a2+a-5)logax为对数函数,
∴解得a=2,∴f(x)=log2x,
∴f=log2=-3.故选B.
2.B　因为f(2x)=xln 2,所以令2x=t,则x=log2t,所以f(t)=ln 2·log2t=ln 2·=ln t,所以f(x)=ln x,所以f(m)=ln m=2,所以m=e2,故选B.
3.答案　6
解析　因为函数f(x)=log3(ax+b)的图象过点A(2,1)和B(5,2),
所以则解得
则f(x)=log3(2x-1),
因此f(14)=log3(2×14-1)=log327=3,
f=log3=log3=,
则f(14)÷f=3÷=6.
4.答案　
解析　设A(x1,y1),E(x2,y2),y1,y2>0,则C(2x1-1,0).
因为△ABC与△ECD的相似比为1∶2,
所以=2,所以4x1-x2=3.
又y2=2y1,所以logax2=2logax1=loga,即x2=.
所以-4x1+3=0,解得x1=1(舍去)或x1=3.
又△ABC为等腰直角三角形,所以y1=x1-1=2.
由y1=logax1可得,2=loga3,即a2=3,
解得a=(负值舍去).
5.解析　(1)易知h(4)=-=1,所以B(4,1).
设f(x)=logax(a>0且a≠1),则f(4)=loga4=1,解得a=4,所以f(x)=log4x.
(2)不等式4f(x)因为f(x)的定义域为(0,+∞),
所以关于x的不等式4f(x)6.D　由题意得所以x>且x≠1,
因此f(x)的定义域为∪(1,+∞),故选D.
7.A　因为函数f(x)=ln(ax-b)的定义域是(1,+∞),所以不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0且a-b=0,即a=b>0,所以g(x)=(ax+b)(x-1)=a(x+1)·(x-1),其图象开口向上,对称轴为直线x=0,所以g(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,所以g(x)在(-1,1)上有最小值,为g(0)=-a,没有最大值.故选A.
8.答案　(2,3]
解析　要使函数f(x)=有意义,
需lo(x-2)≥0,即0因此函数f(x)的定义域是(2,3].
9.答案　
解析　由函数f(x)的定义域为R得不等式kx2-4kx+1-k>0在R上恒成立.
当k=0时,不等式为1>0,显然成立;
当k≠0时,有
解得0综上所述,实数k的取值范围是.
10.答案　[0,+∞)
解析　f(x)=lg =lg(4x+2x+a),
依题意得4x+2x+a>0在x∈(-∞,1)上恒成立,
即a>-(4x+2x)对任意x∈(-∞,1)都成立,
令t=2x,x∈(-∞,1),则t∈(0,2),
易知y=-t2-t=-+在(0,2)上单调递减,
∴-t2-t∈(-6,0),∴a≥0.
11.解析　设t=3-ax,∵a>0,∴t=3-ax为R上的减函数,∴当x∈时,t=3-ax的最小值为3-a.当x∈时, f(x)恒有意义,即t>0在x∈上恒成立,∴3-a>0,∴a<2,又a>0,且a≠1,∴实数a的取值范围为(0,1)∪(1,2).
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