2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.4.2　对数函数的图象和性质（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.4.2　对数函数的图象和性质
基础过关练
题组一　对数(型)函数的图象
1.(2024吉林期末)函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是f(x)=(　　)
A.2-,x>0　　　　B.-,x>0
C.ln x　　　　D.-x2+8x-7,x>0
2.(多选题)(2024山东青岛期中)若logab<0(a>0且a≠1,b>0),则函数f(x)=ax+b的大致图象是　(　　)
　　　　　　
3.(2023四川泸州期末)如图所示,①②③④中不对应函数y=lox,y=lox,y=log2x中的一个的是　　　　.
4.函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点A,则点A的坐标为　　　　;若点A在函数y=mx+n-1(m,n>0)的图象上,则mn的最大值为　　　　.
5.(1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象如何变化得到的
(2)在直角坐标系中作出y=|log2(x-1)|的图象;
(3)设函数y=与y=|log2(x-1)|的图象的两个交点的横坐标分别为x1,x2,M=(x1-2)·(x2-2),请判断M的符号.
题组二　对数函数的性质及其应用
6.(2024河北张家口期末)已知A={x|y=},B=x≥,则A∩B=(　　)
A.{x|0≤x≤2}　　　　B.{x|0C.{x|1≤x≤2}　　　　D.
7.(2023北京人大附中月考)设函数f(x)=|lg x|,则下列说法正确的是(　　)
A. f(x)在(0,+∞)上单调递增
B. f(x)在(0,+∞)上单调递减
C. f(x)在[1,+∞)上单调递增
D. f(x)在(0,1]上单调递增
8.(2024江苏五市联考)已知a=20.3,b=log32,c=log52,则(　　)
A.a>b>c　　B.a>c>b　　C.c>b>a　　D.b>c>a
9.(易错题)(2024广东中山期末)函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间是　　　　.
10.(2024天津部分区期末)若对数函数f(x)=log(3a-1)x和函数g(x)=在区间(0,+∞)上均单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
11.(2024重庆段考)已知a>2,函数f(x)=log4(x-2)-log4(a-x).
(1)求f(x)的定义域;
(2)当a=4时,求不等式f(2x-5)≤f(3)的解集.
题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题
12.函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为(　　)
A.[0,+∞)　　　　B.[1,+∞)
C.R　　　　D.[2,+∞)
13.(2023辽宁本溪高级中学月考)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-4]　　　　B.(-4,1)　　
C.[-4,1)　　　　D.(0,1)
14.(2024上海财经大学附属中学期末)已知函数f(x)=logax(015.(2024江西宜春期末)已知x满足≤x≤8.
(1)求log2x的取值范围;
(2)求函数f(x)=log2(2x)·log2的最小值.
16.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)的最小值是0,求实数a的值;
(3)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
题组四　反函数
17.(2024湖南长沙市一中期中)若对数函数f(x)的图象经过点(4,2),则它的反函数g(x)的解析式为　(　　)
A.g(x)=2x　　　　B.g(x)=　　
C.g(x)=4x　　　　D.g(x)=x2
18.(2024河南洛阳一中期中)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,且f(x+2)=xa+3,则g(x)的图象必过定点(　　)
A.(4,0)　　B.(4,1)　　C.(4,2)　　D.(4,3)
19.(多选题)(2024江西上饶广丰中学期末)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的反函数为g(x),则(　　)
A.g(x)=logax(a>0,且a≠1),且定义域是(0,+∞)
B.函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称
C.若f(2)=,则g=-
D.当a>1时,函数f(x)与g(x)的图象的交点个数可能是0,1,2
能力提升练
题组一　对数函数的图象
1.(2024山东青岛段考)函数f(x)=x3·ln|x|的图象大致是(　　)
　　　　　　
2.(2024辽宁沈阳期末)已知实数a,b,c满足:=log2a,=log3b,=log2c,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a3.(多选题)(2022山东滨州期末)已知f(x)=|lg x|,若a>b>c,且f(c)>f(a)>f(b),则(　　)
A.a>1　　　　B.b>1
C.04.(2022山东日照期末)如图,曲线C1,C2,C3依次为y=2log2x,y=log2x,y=klog2x的图象,其中k为常数,0题组二　对数函数单调性的应用
5.(2024湖北襄阳五中月考)已知a=log32,b=,c=,则a,b,c的大小关系是　(　　)
A.a6.(2024广东梅州段考)函数f(x)=lg(x2-ax-1)在(1,+∞)上单调递增的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≤0　　　　B.a<2　　
C.-1≤a<2　　　　D.-1≤a≤0
7.(2024河北张家口期末)已知正数a,b满足2a-4b=log2,则(　　)
A.a≥2b　　B.a≤2b　　C.a>2b　　D.a<2b
8.若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上单调递减,则a的取值范围是　　　　　.
9.(2024福建莆田段考)已知函数f(x)=log2(b≠-1)是定义在(-1,1)上的奇函数.
(1)求实数b的值;
(2)写出函数f(x)的单调区间;
(3)若f(a)-f(1-a)≤2a-1,求实数a的取值范围.
题组三　对数函数的最大(小)值与值域问题
10.(2024广东广州期末)函数f(x)=loga(x+1)+loga(1-x)a>0,且a≠1,x∈,若f(x)max-f(x)min=1,则a的值为(　　)
A.4　　B.4或　　C.2或　　D.2
11.(2023安徽十校质检)已知f(x)=loga(x2-ax+a),a>0且a≠1,若 x0∈R,使得f(x)≥f(x0)恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.1C.012.(2024四川成都期末)已知函数f(x)=(lg x)2+alg x+(a∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)在区间上的最小值;
(2)若存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=a成立,求a的取值范围.
13.(2023黑龙江哈三中期末)已知函数f(x)=ln(ax2+2ax+1)的定义域为R.
(1)求a的取值范围;
(2)若a≠0,函数f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0,求实数a的值.
题组四　对数函数的综合运用
14.(2024福建厦门一中月考)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x)(　　)
A.是偶函数,且在上单调递增
B.是奇函数,且在上单调递减
C.是偶函数,且在上单调递增
D.是奇函数,且在上单调递减
15.(多选题)(2024山东青岛二中月考)关于函数f(x)=ln(e2x+1)-x,下列说法正确的有(　　)
A. f(x)在R上是增函数
B. f(x)为偶函数
C. f(x)的最小值为ln 2,无最大值
D. x1,x2∈(0,+∞),都有f≤
16.(2022北京海淀期末)已知函数f(x)=|log5x|,若f(x)17.(2023陕西西安第八十三中学月考)已知函数f(x)=log2(-x)是定义在R上的奇函数.
(1)求a的值;
(2)求使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.4.2　对数函数的图象和性质
基础过关练
1.C 2.BC 6.C 7.C 8.A 12.B 13.C 17.A
18.D 19.ABD
1.C　对于A,当x∈(0,+∞)时,y=2-<2,A错误;对于B,当x∈(0,+∞)时,y=-<,B错误;对于C,y=ln x的图象经过点(1,0),且在(0,+∞)上单调递增,符合题意,C正确;对于D,y=-x2+8x-7的图象开口向下,显然不符合题意,D错误.故选C.
2.BC　由logab<0得,当01,此时f(x)=ax+b>1,且f(x)单调递减,B满足;
当a>1时,0b,且f(x)单调递增,C满足.故选BC.
3.答案　③
解析　函数y=lox,y=lox在(0,+∞)上均单调递减,只有函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,因此排除①②;易知函数y=lox与y=log2x的图象关于x轴对称,
当x=时,y=lox=1,当x=时,y=lox=1,所以函数y=lox的图象为①,
因此函数y=log2x的图象为④,从而③无对应函数.故答案为③.
解题模板　函数图象的辨识可从以下几个方面入手:根据函数的定义域判断图象的左右位置,根据函数的值域判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点,排除不符合要求的图象.
4.答案　(2,1);
解析　函数y=loga(x-1)+1(a>0,且a≠1)中,令x-1=1,得x=2,则y=1,即点A(2,1).
依题意得2m+n=2,又m>0,n>0,所以2=2m+n≥2,当且仅当2m=n=1时取“=”,即mn≤,所以mn的最大值为.
解题模板　解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a0=1(a≠0),logb1=0(b>0且b≠1),由此确定定点坐标.
5.解析　(1)函数y=log2(x-1)的图象是由函数y=log2x的图象向右平移1个单位长度得到的.
(2)y=|log2(x-1)|的图象如图①所示.
图①　图②
(3)不妨设x16.C　∵A={x|y=}={x|lg x≥0}={x|x≥1},B=x≥={x|0∴A∩B={x|1≤x≤2}.故选C.
7.C　f(x)=|lg x|=因为y=lg x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.故选C.
8.A　a=20.3>20=1,b=log32>log3=,且b=log32b>c,故选A.
9.答案　(3,+∞)
解析　对于f(x)=log2(x2-4x+3),令x2-4x+3>0,得x<1或x>3.设t=x2-4x+3,则t=(x-2)2-1,易知其在(-∞,1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又y=log2t在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=log2(x2-4x+3)的单调递增区间是(3,+∞).
易错警示　求解由对数函数复合而成的函数的单调区间时,首先要考虑函数的定义域,由单调性与定义域结合求解单调区间.
10.答案　
解析　由题意可得解得11.解析　(1)由题意得解得2故函数f(x)的定义域为(2,a).
(2)∵a=4,∴f(x)=log4(x-2)-log4(4-x),∴f(2x-5)=log4(2x-7)-log4(9-2x), f(3)=log41-log41=0,
则f(2x-5)≤f(3)即log4(2x-7)-log4(9-2x)≤0,即log4(2x-7)≤log4(9-2x),
因此解得12.B　∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,
∴f(x)=log2(x2-2x+3)≥log22=1,
因此,函数f(x)的值域是[1,+∞),故选B.
13.C　当x≥1时, f(x)=ln x-2a≥-2a,∵f(x)的值域为R,∴当x<1时, f(x)=(1-a)x+3的取值范围需包含(-∞,-2a),∴解得-4≤a<1,故选C.
14.答案　
解析　∵015.解析　(1)由≤x≤8,得-1≤log2x≤3,因此log2x的取值范围是[-1,3].
(2)f(x)=log2(2x)·log2=(log2x+1)(log2x-2)=-,由(1)知log2x∈[-1,3],
∴当log2x=时, f(x)取得最小值,为-.
16.解析　(1)∵f(1)=1,∴log4(a+5)=1,解得a=-1,∴f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0,解得-1∴f(x)的定义域为(-1,3).令t=-x2+2x+3,易知函数t=-x2+2x+3在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减,而y=log4t是定义域上的增函数,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,1).
(2)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的最小值为0,
∴函数y=ax2+2x+3有最小值1,
∴解得a=.
(3)∵函数f(x)=log4(ax2+2x+3)的值域为R,
∴函数y=ax2+2x+3能够取到(0,+∞)上的所有实数,
则a=0或∴0≤a≤.
17.A　设f(x)=logax(a>0且a≠1),∵函数f(x)的图象过点(4,2),∴f(4)=loga4=2,∴a=2,∴f(x)=log2x,
故f(x)的反函数g(x)的解析式为g(x)=2x.故选A.
18.D　由f(x+2)=xa+3可得f(x)=(x-2)a+3,当x=3时,无论a为何值,都有f(3)=4,即f(x)的图象恒过点(3,4),因为函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,所以f(x)与g(x)互为反函数,所以g(x)的图象恒过点(4,3),故选D.
19.ABD　对于A,根据同底数的指数函数与对数函数互为反函数可得g(x)=logax(a>0,且a≠1),且定义域是(0,+∞),故A正确.对于B,根据反函数的特点知函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称,故B正确.对于C,若f(2)=,则a2=,解得a=或a=-(舍去),则g(x)=lox,则g=lo=,故C错误.对于D,在同一坐标系中作出a>1时两函数的图象,如图1,2,3,可知f(x)与g(x)的图象的交点个数可能为0,1,2,故D正确.故选ABD.
　
能力提升练
1.D 2.B 3.ACD 5.B 6.D 7.D 10.C 11.A
14.D 15.BCD
1.D　函数f(x)=x3·ln|x|的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=-x3·ln|x|=-f(x),∴f(x)为奇函数,则f(x)的图象关于原点对称,故排除选项A、C;当x>1时, f(x)>0,故排除选项B.故选D.
2.B　在同一直角坐标系中画出y=,y=,y=log2x,y=log3x的图象,如图,
设y=与y=log2x的图象相交于点A,则其横坐标为a,设y=与y=log3x的图象相交于点B,则其横坐标为b,由图可知a综上,c3.ACD　由已知得f(x)=定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,由a>b>c,且f(c)>f(a)>f(b),结合函数图象可知,01,b≥1或0f(a)得-lg c>lg a,即lg c+lg a=lg(ac)<0,故04.答案　
解析　设A(t,2log2t),则D(t,log2t),其中t>1,
设B(x,log2x),则2log2t=log2x,得x=t2,
所以B(t2,2log2t),则点C的坐标为(t2,log2t),
将点C的坐标代入函数y=klog2x的解析式,得log2t=klog2t2,∴2k=1,k=.
5.B　∵c==log3=log3>log3=log32=a,∴c>a,
又c==log4=log46.D　设t=x2-ax-1,该函数的图象开口向上,且对称轴方程为x=,
所以t=x2-ax-1在上单调递增,
又y=lg t在定义域上单调递增,
所以要使f(x)在(1,+∞)上单调递增,只需(1,+∞) ,所以≤1,a≤2,
又12-a-1≥0,所以a≤0.
故a≤0是函数f(x)在(1,+∞)上单调递增的充要条件,
根据充分不必要条件的定义可得D满足.故选D.
7.D　因为正数a,b满足2a-4b=log2=log2b-log2a,
所以2a+log2a=22b+log2b,(变量分离)
因此2a+log2a=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b),(通过放缩将两边化为相同的结构)
令f(x)=2x+log2x,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,(构造函数,利用单调性解决问题)
所以a<2b.故选D.
8.答案　(1,3)
解析　令u=6-ax,x∈[0,2],
则y=logau,a>0且a≠1,
因为函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上单调递减且u=6-ax在[0,2]上单调递减,
所以y=logau单调递增且u>0在x∈[0,2]时恒成立,
所以解得1易错警示　求含对数函数的复合函数的单调性时,既要考虑内、外两层函数的单调性,还要考虑函数的定义域(单调区间是函数定义域的子集).
9.解析　(1)因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x),即log2=-log2,
因此=,即1-b2x2=1-x2,故b2=1,又b≠-1,故b=1,
经检验b=1符合题意.
(2)由(1)得f(x)=log2,
任取x1,x2∈(-1,1),且x1则f(x1)-f(x2)=log2-log2
=log2=log2,
由于(x2-x1+1-x1x2)-(x1-x2+1-x1x2)=2(x2-x1)>0,
∴x2-x1+1-x1x2>x1-x2+1-x1x2,
又x1-x2+1-x1x2=(x1+1)(1-x2)>0,
∴>1,∴log2>0,即f(x1)>f(x2),
故函数f(x)的单调递减区间为(-1,1),无单调递增区间.
(3)f(a)-f(1-a)≤2a-1可化为f(a)-a≤f(1-a)-(1-a),
令g(x)=f(x)-x,则g(x)=log2-x,x∈(-1,1),
则g(a)≤g(1-a),
由(2)知, f(x)=log2在(-1,1)上单调递减,
因此g(x)=f(x)-x在(-1,1)上单调递减,
所以解得≤a<1,故实数a的取值范围为.
10.C　由题意可得f(x)=loga(1-x2),x∈.
当0由f(x)max-f(x)min=1,可得f-f(0)=1,
即loga-loga(1-0)=1,解得a=.
当a>1时,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(1-x2)在区间上单调递减,
由f(x)max-f(x)min=1,可得f(0)-f=1,
即loga(1-0)-loga=1,解得a=2.
综上所述,a=2或a=.故选C.
11.A　由题知,函数f(x)存在最小值,
所以u=x2-ax+a大于0恒成立,且函数y=logau在(0,+∞)上单调递增,
所以解得1故选A.
12.解析　(1)当a=1时, f(x)=(lg x)2+lg x+,
设u=lg x,由x∈,得u∈[-1,2],
则f(x)可转化为g(u)=u2+u+=+1,所以当u=-,即x=时,g(u)min=1,
因此函数f(x)在区间上的最小值为1.
(2)设t=lg x0,由x0∈(1,+∞),得t∈(0,+∞),
则f(x0)=a可化为t2+at+=a,
即方程t2+at+-a=0存在大于零的解,
所以或
解得a≤-5或a>,
故a的取值范围为(-∞,-5]∪.
13.解析　(1)∵函数f(x)=ln(ax2+2ax+1)的定义域为R,∴ax2+2ax+1>0对任意x∈R恒成立,
当a=0时,可得1>0,恒成立,满足题意;
当a≠0时,要使ax2+2ax+1>0对任意x∈R恒成立,
只需解得0综上可得,a的取值范围是[0,1).
(2)由(1)及题意知0令u=ax2+2ax+1,
易知y=ln u是定义域内的增函数,
函数u=ax2+2ax+1(00,∴f(x)max=f(1)=ln(3a+1), f(x)min=f(-1)=ln(1-a),
∵f(x)在[-2,1]上的最大值与最小值的和为0,
∴ln(3a+1)+ln(1-a)=0,即ln[(3a+1)(1-a)]=0,可得(3a+1)(1-a)=1,
解得a=0(舍去)或a=,
故实数a的值为.
14.D　由得x≠±,故f(x)的定义域为xx∈R,且x≠±,关于原点对称,
又f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=-(ln|2x+1|-ln|2x-1|)=-f(x),∴f(x)为奇函数.
f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|=ln =ln,设t=,
则t====,
画出函数t=的图象,如图:
由图可知t=在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.
又对数函数y=ln x是定义域内的增函数,
所以由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.故选D.
15.BCD　f(x)=ln(e2x+1)-x=ln =ln(ex+e-x),对于B选项,易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=ln(e-x+ex)=f(x),所以f(x)为偶函数,B正确;
对于C选项,因为ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时,等号成立,所以f(x)≥ln 2,故f(x)的最小值为ln 2,无最大值,C正确;
对于A选项,当x>0时,令ex=t,则t>1,则f(x)=ln(ex+e-x)可转化为g(t)=ln,t>1,
由对勾函数的性质可知y=t+在(1,+∞)上单调递增,又y=ln x在(2,+∞)上单调递增,
所以g(t)=ln在t∈(1,+∞)上单调递增,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,
又f(x)为R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减,A错误;
对于D选项, f=ln(+),
=
=
=ln ,
=++2·=++2,
()2=+++
≥++2=++2,
当且仅当=,即x1=x2时,等号成立,
又y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f≤,D正确.故选BCD.
16.答案　(1,2)
解析　易知f(x)=|log5x|的定义域为(0,+∞),
所以即0当x=1时, f(x)=f(2-x),不合题意;
当01,则f(x)因此log5(2-x)+log5x>0,即log5[(2-x)x]>0,
所以(2-x)x>1,因此x2-2x+1<0,不等式无解;
当10,即x≠1,则1所以x的取值范围是(1,2).
17.解析　(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=log2=0,解得a=1,
检验:当a=1时, f(x)=log2(-x),定义域为R, f(-x)=log2(+x),且 x∈R,都有f(-x)+f(x)=log2[(+x)·(-x)]=log21=0,
所以f(x)是定义在R上的奇函数,故a=1.
(2)由(1)知f(x)=log2(-x).
f(x)≥1即log2(-x)≥log22,
得-x≥2,即≥x+2,
①当x+2<0,即x<-2时,≥x+2恒成立;
②当x+2≥0,即x≥-2时,
原不等式等价于x2+1≥x2+4x+4,解得-2≤x≤-.
综上,使不等式f(x)≥1成立的x的取值范围是.
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