2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.5.1　函数的零点与方程的解（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
基础过关练
题组一　求函数的零点
1.(2024广东深圳期末)函数y=2x-4的零点为(　　)
A.0　　B.-4　　C.2　　D.(2,0)
2.(2024陕西西安期末)若函数y=x2-ax+b的两个零点为2,3,则函数y=bx2-ax-1的零点是(　　)
A.-1,　　B.1,-　　C.,　　D.-,-
3.(2024辽宁沈阳期末)设m,n是方程(lg x)2-lg x3+1=0的两个实根,则mn=　　　　.
题组二　判断函数的零点所在的区间
4.(2024河南洛阳段考)函数f(x)=ln(x-1)-的零点所在区间为(　　)
A.(2,3)　　B.(3,4)　　C.(4,5)　　D.(5,6)
5.(多选题)(2024湖南长沙雅礼中学期中)函数f(x)=2x-3x2的零点所在的区间是(　　)
A.(-2,-1)　　　　B.(-1,0)　　
C.(0,1)　　　　D.(1,2)
6.(2023天津宝坻一中期末)函数f(x)=ln x-的零点所在的区间是(　　)
A.(3,4)　　　　B.(2,3)　　
C.(1,2)　　　　D.(0,1)
题组三　判断函数的零点个数
7.(教材习题改编)对于函数f(x),若f(-1)f(3)<0,则　(　　)
A.方程f(x)=0一定有实数解
B.方程f(x)=0一定无实数解
C.方程f(x)=0一定有两个实数解
D.方程f(x)=0可能无实数解
8.(2024湖南长沙期末)已知函数f(x)=若k>0,则函数y=|f(x)|-1的零点个数是(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.4
9.(2024福建泉州期末)函数f(x)=-(k>0)的零点个数为　　　　.
题组四　根据零点情况求参数的值(范围)
10.(2023河北期中)二次函数f(x)=x2+(m-3)x+2m的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2,且0A.m<或m>5　　　　B.0C.m<-或m>5　　　　D.-11.已知函数f(x)=lg x+2x-7的零点在区间(k,k+1)(k∈Z)上,则k=(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.4
12.(2024北京丰台期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是　　　　.
13.若关于x的方程x2+ax-1=0在区间[0,1]上有解,则实数a的取值范围是　　　　.
14.(2024广东佛山期末)若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点,则a的取值范围是　　　　.
能力提升练
题组一　函数的零点与方程的解
1.(2024湖南株洲期末)已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　B.b>c>a　　C.b>a>c　　D.c>a>b
2.(多选题)(2024河北张家口期末)下列说法正确的是
(　　)
A.若函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续不断,且f(a)·f(b)>0,则函数y=f(x)在(a,b)上无零点
B.函数f(x)=2x+log2x有且只有1个零点
C.函数f(x)=2x|log0.5x|-1有2个零点
D.若f(x)=x+,则函数y=[f(x)]2-f(x)-6有3个零点
3.(2024山东青岛二中月考)已知函数f(x)=的图象与函数g(x)=(x-1)3的图象有三个交点,分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),则x1+y1+x2+y2+x3+y3=(　　)
A.1　　B.3　　C.6　　D.9
4.(2024天津耀华中学期末)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时, f(x)=x,则函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是(　　)
A.6　　B.10　　C.14　　D.18
5.(2024吉林期末)已知x1,x2是函数f(x)=|ln(x+1)|-的零点,则(　　)
A.(x1+1)(x2+1)<0　　　　
B.0<(x1+1)(x2+1)<1
C.1<(x1+1)(x2+1)D.(x1+1)(x2+1)>e
6.(2024河南洛阳联考)若正实数x0是关于x的方程ex+x=ax+ln ax的根,则-ax0=　　　　.
7.已知奇函数f(x)=+a(x≠0),则方程f(x)=的解为x=　　　　.
8.(2024广东中山期末)已知函数f(x)=x+-10,x∈(0,+∞),则f(x)的所有零点的和为　　　　;若方程|f(x)|=m(m>0)有四个不相等的实根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=　　　　.
题组二　根据零点情况求参数的值(范围)
9.(2023山东省实验中学阶段性测试)已知函数f(x)=若方程[f(x)]2-(a+1)·f(x)+a=0有五个不同的实数根,则实数a的取值范围为　　　　.
10.(2024湖南长沙期中)已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的单调函数,且对于任意的x∈[0,+∞),都有f(f(x)-)=2,若关于x的方程f(x+2)=x+k恰有两个实数根,则实数k的取值范围为　　　　.
11.(2024山东济南期末)已知函数f(x)=(a-1)x2+2ax-(a∈R).
(1)当a>1时,函数f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点,求实数a的取值范围;
(2)当a≤1时,关于x的方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根,求实数a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.5　函数的应用(二)
4.5.1　函数的零点与方程的解
基础过关练
1.C 2.B 4.B 5.BC 6.B 7.D 8.D 10.B
11.C
1.C　令y=2x-4=0,解得x=2.故选C.
2.B　∵y=x2-ax+b的两个零点为2,3,
∴2+3=a,2×3=b,∴a=5,b=6,
因此y=bx2-ax-1=6x2-5x-1,令6x2-5x-1=0,得x=1或x=-,故选B.
3.答案　1 000
解析　∵m,n是方程(lg x)2-lg x3+1=0,即(lg x)2-3lg x+1=0的两个实根,∴lg m+lg n=3,可得mn=103=1 000.
4.B　易知函数f(x)=ln(x-1)-在其定义域(1,+∞)上单调递增,且图象连续不断,
又f(3)=ln 2-1<0, f(4)=ln 3->0,所以函数的零点所在区间为(3,4).故选B.
5.BC　易知函数f(x)=2x-3x2是连续函数,
∵f(-2)=-12<0, f(-1)=-3=-<0, f(0)=1>0, f(1)=2-3=-1<0, f(2)=4-12<0,
∴f(-1)·f(0)<0, f(0)·f(1)<0,
∴由函数零点存在定理可知函数f(x)在(-1,0),(0,1)上有零点,故选BC.
6.B　f(x)的定义域为{x|x>0且x≠1},
当x∈(0,1)时, f(x)=ln x-<0恒成立,不存在零点,排除D;
当x∈(1,+∞)时, f(x)=ln x-,易知f(x)在该区间上单调递增,
又f(2)=ln 2-2<0, f(3)=ln 3-1>0, f(x)在(1,+∞)上的图象连续不断,
∴f(x)的零点所在的区间是(2,3).故选B.
解题模板　判断函数零点所在区间,要根据函数解析式,借助函数的图象,综合运用f(x)的值域、单调性,判断函数零点的个数,再结合函数零点存在定理判断零点所在的区间.
7.D　∵函数f(x)的图象在(-1,3)上未必连续,∴由f(-1)f(3)<0不一定能得出函数f(x)在(-1,3)上有零点,即方程f(x)=0可能无实数解.
8.D　由y=|f(x)|-1=0得|f(x)|=1,即f(x)=1或f(x)=-1.
当x>0时,由ln x=1或ln x=-1,解得x=e或x=.
当x≤0时,由kx+2=1或kx+2=-1,解得x=-或x=-.
所以函数y=|f(x)|-1的零点个数是4,故选D.
9.答案　1
解析　令-=0(x>0),可得k=x=(x>0),因为k>0,所以x=,即该方程只有一个实数根,所以函数f(x)只有一个零点.
10.B　由题意可得即解得011.C　易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)在(0,+∞)上单调递增,其图象连续不断.
∵f(1)=lg 1+2-7=-5<0, f(2)=lg 2+4-7=lg 2-3<0, f(3)=lg 3+6-7=lg 3-1<0, f(4)=lg 4+8-7=lg 4+1>0,∴f(3)·f(4)<0,
∴f(x)在(3,4)上存在唯一零点,∴k=3,故选C.
12.答案　(-∞,1]
解析　关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,等价于函数f(x)的图象与直线y=k有两个不同的交点,作出函数的图象如下:
由图可知实数k的取值范围是(-∞,1].
方法技巧　对于函数零点(方程根)的个数问题,数形结合是解决问题的有效方法,必要时对方程变形,转化为两个函数的图象的交点个数问题.
13.答案　[0,+∞)
解析　令f(x)=x2+ax-1,由函数f(x)的图象开口向上,Δ=a2+4>0,及f(0)=-1<0,知f(x)=0在[0,1]上有解时, f(1)≥0,即a≥0.
一题多解　解决含参函数存在零点的问题,可先采用变量分离,再将问题转化为函数的值域问题加以解决.当x=0时,方程为-1=0,不成立,故x≠0,所以014.答案　
解析　根据题意,若函数f(x)=x2-2ax+1在(0,2)上有两个零点,
则有解得1能力提升练
1.B 2.BCD 3.B 4.B 5.B
1.B　函数f(x)=2x+x的零点为函数y=2x与y=-x的图象交点的横坐标,
函数g(x)=log2x+x的零点为函数y=log2x与y=-x的图象交点的横坐标,
函数h(x)=x3+x的零点为函数y=x3与y=-x的图象交点的横坐标.
在同一平面直角坐标系内作出函数y=2x、y=log2x、y=x3与y=-x的图象,如图:
由图可知,a<0,b>0,c=0,∴a2.BCD　对于A,令f(x)=x2,取区间[-1,1],显然f(-1)f(1)=1>0,但f(0)=0,A错误;
对于B,令f(x)=2x+log2x=0,得2x=-log2x,作出y=2x与y=-log2x的图象(如图1),
显然两函数图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+log2x有且只有1个零点,B正确;
对于C,原函数的零点个数转化为y=与y=|log0.5x|的图象的交点个数,作出图象(如图2),
可见两函数图象有两个交点,C正确;
　　
对于D,由[f(x)]2-f(x)-6=0得f(x)=-2或f(x)=3,由x+=-2得(x+1)2=0,所以x1=x2=-1,由x+=3得x2-3x+1=0,因为Δ=5>0,所以该方程有两个互异根,所以原函数共有3个零点,D正确.
故选BCD.
3.B　由已知得f(x)==1-,且f(1)=0,
由于f(1+x)+f(1-x)=1-+1-=2-=2-=2-=2-2=0,
因此f(x)=的图象关于点(1,0)中心对称,
又g(x)=(x-1)3的图象关于点(1,0)中心对称,
且g(1)=0,所以不妨设(x2,y2)为(1,0),
则点(x1,y1),(x3,y3)关于点(1,0)中心对称,
即x1+x3=2,y1+y3=0,因此x1+y1+x2+y2+x3+y3=2+1=3.故选B.
4.B　因为当x∈[0,1]时, f(x)=x,且f(x)为偶函数,
所以当x∈[-1,0]时, f(x)=-x.
结合f(x+2)=f(x)可画出f(x)在(0,+∞)上的图象,如图,易知函数y=log6|x|是偶函数,且x≠0,在同一坐标系中画出函数y=log6|x|在(0,+∞)上的图象,
则函数y=f(x)-log6|x|的零点个数等于函数y=f(x)的图象与函数y=log6|x|的图象的交点个数.
显然函数y=f(x)的图象与函数y=log6|x|的图象在(0,+∞)上有5个交点,
因此函数y=f(x)-log6|x|的零点个数是10.故选B.
5.B　∵实数x1,x2是函数f(x)=|ln(x+1)|-的零点,
∴实数x1,x2是函数y=|ln(x+1)|与y=的图象交点的横坐标,设交点分别为A,B,
画出函数y=|ln(x+1)|与y=的图象,如图所示:
过点A作直线y=a,在第一象限内与y=|ln(x+1)|的图象交于点C,设点C的横坐标为x3,
∴|ln(x1+1)|=|ln(x3+1)|,∴-ln(x1+1)=ln(x3+1),∴ln(x3+1)+ln(x1+1)=0,
即ln[(x3+1)(x1+1)]=0,∴(x3+1)(x1+1)=1,
由图象可知,-1∴0∴0<(x1+1)(x2+1)<(x1+1)(x3+1)=1,
即0<(x1+1)(x2+1)<1.故选B.
6.答案　0
解析　由ex+x=ax+ln ax,得ex+x=eln ax+ln ax,令f(x)=ex+x,易知f(x)在(0,+∞)上单调递增,故f(x)=f(ln ax),故x=ln ax.
∵正实数x0是方程ex+x=ax+ln ax的根,
∴x0=ln ax0,得=ax0,即-ax0=0.
7.答案　log34
解析　由f(x)是奇函数知f(x)+f(-x)=0,
即+a++a=0,化简得2a-1=0,解得a=,因此f(x)=+,
令+=,即3x=4,解得x=log34.
故f(x)=的解为x=log34.
8.答案　10;20
解析　令f(x)=x+-10=0,得x2-10x+16=0,
解得x=2或x=8,
故函数f(x)在(0,+∞)内的零点为2和8,
所以f(x)的所有零点的和为10.
方程|f(x)|=m(m>0),即=m,x∈(0,+∞),即|x2-10x+16|=mx,
当f(x)≥0,即x2-10x+16≥0时,方程可转化为x2-10x+16=mx,即x2-(10+m)x+16=0.
当x2-10x+16<0时,方程可转化为x2-10x+16=-mx,即x2-(10-m)x+16=0.
故要有四个实数根,则两种情况都有两个不同的实数根,
不妨设x1,x4为x2-(10+m)x+16=0的两根,则x2,x3为x2-(10-m)x+16=0的两根,则x1+x4=10+m,x2+x3=10-m,
故x1+x2+x3+x4=10+m+10-m=20.
9.答案　(0,1)
解析　由[f(x)]2-(a+1)f(x)+a=0可得f(x)=a或f(x)=1,
当x≤0时, f(x)=|2x-1|=1-2x∈[0,1);
当0作出函数f(x)的图象与直线y=1,如图所示:
由图可知,直线y=1与曲线y=f(x)有2个交点,即方程f(x)=1只有2个解,
所以方程f(x)=a有3个不同的解,即直线y=a与曲线y=f(x)有3个交点,则010.答案　
解析　因为函数f(x)是[0,+∞)上的单调函数,且对于任意的x∈[0,+∞),都有f(f(x)-)=2,所以f(x)-是定值,设t=f(x)-,t≥0,可得f(x)=+t,
由f(t)=2,可得+t=2,解得t=1或t=-2(舍去),
所以f(x)=+1,则方程f(x+2)=x+k即+1=x+k,即-x=k-1.
因为关于x的方程f(x+2)=x+k恰有两个实数根,
所以函数y=-x的图象和直线y=k-1有两个交点,设m=,则x=m2-2,且m≥0,
则y=-x可转化为g(m)=-m2+m+2=-+,m≥0,
故当m∈时,函数g(m)单调递增,当m∈时,函数g(m)单调递减,
所以g(m)max=g=,且g(0)=2,当x→+∞时,g(m)→-∞,
故要使方程f(x+2)=x+k恰有两个实数根,只需2≤k-1<,解得3≤k<.
11.解析　(1)当a>1时, f(x)=(a-1)x2+2ax-为二次函数,其图象开口向上,且f(0)=-<0,
要想f(x)在区间(0,2)内有且只有1个零点,只需f(2)>0,即4(a-1)+4a->0,解得a>,
又因为a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.
(2)当a=1时, f(x)=2x-,为一次函数,
令2x-=0,解得x=∈(0,2),满足题意.
当a<1时, f(x)=(a-1)x2+2ax-为二次函数,其图象开口向下,且f(0)=-<0,
令Δ=4a2-4(a-1)×=0,解得a=-1或a=.
当a=-1时, f(x)=-2x2-2x-,令-2x2-2x-=0,解得x1=x2=- (0,2),舍去.
当a=时, f(x)=-x2+x-,令-x2+x-=0,解得x1=x2=1∈(0,2),满足要求.
当即a<-1或要想方程f(x)=0在区间(0,2)内有且只有1个实数根,只需f(2)>0,由(1)得a>,所以综上,实数a的取值范围是∪.
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