2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.5.2　用二分法求方程的近似解（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.5.2　用二分法求方程的近似解
基础过关练
题组一　二分法的概念与对二分法求函数零点步骤的理解
1.(2024湖北武汉部分重点高中期末)已知函数f(x)=x2-log2x-6,则用二分法求f(x)的零点时,其中一个零点的初始区间可以为(　　)
A.[1,2]　　B.[2,3]　　C.[3,4]　　D.[4,5]
2.(2024上海大同中学期末)用二分法研究函数f(x)=x5+8x3-1的零点时,第一次经过计算得f(0)<0, f(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为(　　)
A.(0,0.5), f(0.125)　　　　B.(0,0.5), f(0.375)
C.(0.5,1), f(0.75)　　　　D.(0,0.5), f(0.25)
3.(2024湖南长沙期末)设f(x)=2x+x-8,用二分法求方程2x+x-8=0在[1,5]上的近似解时,经过两次二分后,可确定近似解所在区间为(　　)
A.[1,2]或[2,3]　　　　B.[2,3]
C.[1,2]　　　　D.不能确定
4.(2024上海虹口期末)若在用二分法寻找函数y=2x-(x>1)零点的过程中,依次确定了零点所在区间为[a,b],,,则实数a和b分别等于(　　)
A.,　　B.2,3　　C.,2　　D.,
5.(多选题)(2024山东烟台莱州一中月考)下列方程中能用二分法求近似解的为(　　)
A.ln x+x=0　　　　B.ex-3x=0
C.x3-3x+1=0　　　　D.4x2-4x+5=0
6.(2024广东惠州期末)若用二分法求方程2x3+3x-3=0在初始区间(0,1)内的近似解,则第二次取区间的中点为　　　　.
题组二　二分法的应用
7.(2024浙江温州期末)设h(x)=2x+log2(x+1)-2,某同学用二分法求方程h(x)=0的近似解(精确度为0.5),部分数据如下:
x -0.5 0.125 0.437 5 0.75 2
h(x) -2.29 -0.74 -0.12 0.49 3.58
依据此表格中的数据,得到的方程近似解x0可能是(　　)
A.-0.125　　　　B.0.375　　C.0.525　　　　D.1.5
8.(2024湖南长沙明德中学期末)一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的.要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,至多需要检测(　　)
A.4次　　B.6次　　C.8次　　D.30次
9.求方程lg x=-1的近似解(精确度为0.1).
答案与分层梯度式解析
4.5.2　用二分法求方程的近似解
基础过关练
1.B 2.D 3.B 4.A 5.ABC 7.C 8.B
1.B　由函数f(x)=x2-log2x-6得f(2)=4-1-6=-3<0, f(3)=9-log23-6=3-log23>0,∴f(2)·f(3)<0,
又∵函数f(x)=x2-log2x-6的图象在区间[2,3]上连续不断,∴函数f(x)的一个零点的初始区间可以为[2,3].故选B.
2.D　由f(0)<0, f(0.5)>0,得f(0)·f(0.5)<0,
因此其中一个零点所在的区间为(0,0.5),第二次应计算的函数值应该为f(0.25).故选D.
3.B　因为f(1)=2+1-8=-5<0, f(5)=32+5-8=29>0, f(3)=8+3-8=3>0,
所以f(1)·f(3)<0,因此函数f(x)的零点落在区间[1,3]内,
又因为f(2)=4+2-8=-2<0,所以f(2)·f(3)<0,
因此函数f(x)的零点落在区间[2,3]内,
即经过两次二分后,可确定近似解所在区间为[2,3].故选B.
4.A　∵依次确定了零点所在区间为[a,b],,,
∴解得故选A.
5.ABC　对于A,设f(x)=ln x+x,则f=ln +=-2+<0, f(1)=1>0,所以f·f(1)<0,且f(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据函数零点存在定理知, x1∈,使得f(x1)=0,选项A正确;
对于B,设g(x)=ex-3x,则g(0)=1>0,g(1)=e-3<0,所以g(0)·g(1)<0,且g(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据函数零点存在定理可知, x2∈(0,1),使得g(x2)=0,选项B正确;
对于C,设h(x)=x3-3x+1,则h(0)=1>0,h(1)=1-3+1=-1<0,所以h(0)·h(1)<0,且h(x)的图象是一条连续不断的曲线,根据函数零点存在定理知, x3∈(0,1),使得h(x3)=0,选项C正确;
对于D,设k(x)=4x2-4x+5,因为k(x)=(2x-)2≥0恒成立,不存在函数值异号区间,所以不满足二分法的条件,选项D错误.故选ABC.
6.答案　0.75
解析　设f(x)=2x3+3x-3,则f(0)=-3<0, f(1)=2+3-3=2>0,
取区间(0,1)的中点0.5,由f(0.5)=0.25+1.5-3=-1.25<0,知零点在区间(0.5,1)内,再取区间中点为=0.75,即第二次取区间的中点为0.75.
7.C　由题表中数据可知,h(0.437 5)<0,h(0.75)>0,
又因为函数h(x)在[0.437 5,0.75]上连续,且函数h(x)在(-1,+∞)上单调递增,所以函数h(x)在区间[0.437 5,0.75]上存在一个零点,
又因为0.75-0.437 5=0.312 5<0.5,
所以方程h(x)=0的近似解(精确度为0.5)可以是区间[0.437 5,0.75]内的任意一个数,
观察四个选项可知C正确.故选C.
8.B　第一次,可去掉30个结果,从剩余的30个中继续应用二分法;第二次,可去掉15个结果,从剩余的15个中继续应用二分法;第三次可去掉7或8个结果,考虑至多的情况,所以去掉7个结果,从剩余的8个中继续应用二分法;第四次,可去掉4个结果,从剩余的4个中继续应用二分法;第五次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续应用二分法;第六次,可去掉1个结果,得到最终结果,所以至多需要检测六次.故选B.
9.解析　作出y=-1与y=lg x的图象,如图所示.
由函数y=lg x与y=-1的图象可知,方程lg x=-1有唯一实数解,且在区间(0,1)内.
设f(x)=lg x-+1, f(1)=>0,用计算器计算,列表如下:
零点所在区间 中点的值 中点函数 近似值 区间长度
(0,1) 0.5 -0.008 1 1
(0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5
(0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25
(0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125
(0.5,0.562 5) 0.062 5
由于|0.562 5-0.5|=0.062 5<0.1,所以函数f(x)的零点的一个近似值为0.562 5,即方程lg x=-1的近似解为0.562 5.
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