2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--4.5.3　函数模型的应用（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
4.5.3　函数模型的应用
基础过关练
题组一　利用指数函数、对数函数模型解决问题
1.(2024广东广州期末)在当今这个5G时代,6G的研究方兴未艾.有消息称,未来6G通讯的速率有望达到1 Tbps,香农公式C=Wlog2是通信理论中的重要公式,它表示:在受噪声干扰的信道中,最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S和信道内部的高斯噪声功率N的大小.其中叫做信噪比.若不改变带宽W,而将信噪比从3提升到99,则最大信息传递率C大约会提升到原来的(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.2.3倍　　B.3.3倍　　C.4.6倍　　D.6.6倍
2.(2024江西吉安期末)某人拥有一辆价值20万元的轿车,已知轿车以每年8%的幅度贬值,则这个人至多几年后卖出这辆轿车,才不会以低于15万元的价格成交(参考数据:lg 75≈1.875,lg 92≈1.964)(　　)
A.3年　　B.4年　　C.5年　　D.6年
3.(2024山东青岛二中月考)专家对某地区传染病暴发趋势进行研究发现,从确诊第一名患者开始累计时间t(单位:天)与病情暴发系数f(t)之间,满足函数模型: f(t)=,当f(t)=0.1时,标志着疫情将要大面积暴发,则此时t约为(参考数据:e1.1≈3)(　　)
A.38　　B.40　　C.45　　D.47
4.(2024福建福州期末)某工厂产生的废气经过过滤后排放.已知过滤过程中废气的污染物含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为P=kat(k>0,a>0且a≠1),其图象如图,则污染物减少60%至少需要的时间约为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　)
A.23小时　　　　B.25小时　　
C.42小时　　　　D.44小时
5.(多选题)(2023广东东莞期中)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b(k,b为常数).若该食品在0 ℃时的保鲜时间是192 h,在22 ℃时的保鲜时间是48 h,则下列说法正确的是(　　)
A.k>0
B.储存的温度越高,该食品的保鲜时间越长
C.该食品在11 ℃时的保鲜时间是96 h
D.该食品在33 ℃时的保鲜时间是24 h
6.(2024上海奉贤期末)在有声世界,声强级是表示声强度相对大小的指标,声强级y(单位:dB)与声强度I(单位:W/m2)之间的关系为y=10lg ,其中,I0=10-12W/m2为基准值.则声强级为60 dB时的声强度I60是声强级为40 dB时的声强度I40的　　　　倍.
7.(2024广东东莞高级中学、东莞第六高级中学质检)某种出口产品的关税税率t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率为75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.
(1)试确定k,b的值;
(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x.当p=q时,市场价格称为市场平衡价格.当市场平衡价格不超过4千元时,求关税税率的最大值.
8.(2023四川成都第七中学月考)为实施大气污染防治行动,市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放.已知在过滤过程中,废气中的污染物含量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系式为P(t)=P0ekt(e为自然对数的底数,P0为污染物的初始含量).过滤1小时后检测,发现污染物的含量为原来的.
(1)求函数P(t)的关系式;
(2)要使污染物的含量不超过初始值的,至少需过滤几小时 (参考数据:lg 2≈0.3)
题组二　拟合函数模型解决问题
9.(2024山东青岛期末)人类已进入大数据时代,数据量已从 EB(1 EB=1 0242 TB)级别跃升到ZB(1 ZB=1 024 EB)级别,据研究结果表明:某地区的数据量y(单位:EB)与时间x(单位:年)的关系符合函数y=k·ax-2 021,其中a>0,a≠1.已知2022年该地区产生的数据量为0.5 EB,2023年该地区产生的数据量为1 EB,则2024年该地区产生的数据量为(　　)
A.1.5 EB　　　　B.1.75 EB　　
C.2 EB　　　　D.2.25 EB
10.某纪念章从2021年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的部分数据,如下表:
上市时间x(天) 4 10 36
每枚的市场价y(元) 90 51 90
根据上表数据,从下列四个函数:①y=ax+b,②y=ax2+bx+c,
③y=a·logbx,④y=k·ax中选取一个恰当的函数描述该纪念章每枚的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由;
(2)利用你选取的函数,求该纪念章每枚的市场价最低时的上市天数及最低价格.
能力提升练
题组　利用函数模型解决问题
1.(2024江苏南京师范大学苏州实验学校学情调研)我们知道二氧化碳是温室性气体,是全球变暖的主要元凶.在室内二氧化碳含量的多少也会给人体健康带来影响.下表是室内二氧化碳浓度与人体生理反应的关系:
室内二氧化碳浓度 (单位:ppm) 人体生理反应
不大于1 000 空气清新,呼吸顺畅
1 000~2 000 空气浑浊,觉得昏昏欲睡
2 000~5 000 感觉头痛,嗜睡,呆滞,注意力无法集中
大于5 000 可能导致缺氧,造成永久性脑损伤,昏迷甚至死亡
《室内空气质量标准》和《公共场所卫生指标及限值要求》给出的室内二氧化碳浓度的国家标准为:室内二氧化碳浓度不大于0.1%(0.1%即为1 000 ppm),所以室内要经常通风换气,保持二氧化碳浓度水平不高于标准值.经测定,某中学刚下课时,一个教室内的二氧化碳浓度为2 000 ppm,若开窗通风后二氧化碳浓度y%与时间t(单位:分钟)的关系式为y=0.05+λ(λ∈R),要使该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准,则需要开窗通风的时间至少约为(参考数据:ln 3≈1.099,ln 5≈1.609)(　　)
A.10分钟　　　　B.11分钟　　
C.12分钟　　　　D.20分钟
2.(2024广东广州期末)中国茶文化博大精深.茶水的口感与茶叶类型及水的温度有关.经验表明,有一种茶用90 ℃的水泡制,再等到茶水温度降至60 ℃时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员在室温下,每隔1 min测一次茶水温度,得到数据如下表:
放置时间/min 0 1 2 3 4
茶水温度/℃ 90.00 84.00 78.62 73.75 69.39
为了描述茶水温度y ℃与放置时间x min的关系,现有以下两种函数模型供选择:
①y=kax+30(k∈R,0②y=mx+b(m,b∈R,x≥0).
选择最符合实际的函数模型,可求得刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置的时间大约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.5.5 min　　B.6.5 min　　C.7.5 min　　D.8.5 min
3.(2024天津滨海新区期末)2023年10月26日神舟十七号载人飞船在长征二号F遥十七运载火箭的托举下点火升空,成功进入预定轨道.我国在航天领域取得的巨大成就,得益于我国先进的运载火箭技术.根据火箭理想速度公式v=v0·ln 可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s),其中v0(m/s)是喷流相对速度,m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(kg)是推进剂与火箭质量的总和,称为总质比.已知甲型火箭喷流相对速度为2 000 m/s.
(1)当总质比为9时,甲型火箭的最大速度为　　　　m/s;
(2)若经过材料更新和技术改进后,甲型火箭的喷流相对速度提高到原来的倍,总质比变为原来的.若要使火箭的最大速度至少增加1 000 m/s,则在材料更新和技术改进前总质比的最小值为　　　　.
(所有结果保留整数,参考数据:ln 3≈1.1,e≈2.72)
4.(2023湖南名校联考)物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度为T0(单位:℃),经过一段时间t(单位:分钟)后的温度为T(单位:℃),则T-Tc=(T0-Tc)·at,其中Tc为环境温度(单位:℃),a为参数.某日室温为20 ℃,上午8时小王使用电热养生壶烧水(假设加热时水温随时间的变化为一次函数,且初始温度与室温一致),8分钟后水温达到100 ℃,8时18分时,壶中热水自然冷却到60 ℃.
(1)求8时起壶中水温T(单位:℃)关于时间t(单位:分钟)的函数T=f(t);
(2)若当日小王在水沸腾(水温达到100 ℃)时,恰好有事出门,于是将养生壶设定为保温状态,已知保温时养生壶会自动检测壶内水温,当壶内水温高于临界值50 ℃时,设备不加热,当壶内水温不高于临界值50 ℃时,开始加热至80 ℃后停止,加热速度与正常烧水一致,问养生壶(在保温状态下)多长时间后开始第二次加热 (结果保留整数)
(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)
5.某校数学建模小组的同学想研究:假如没有杂交水稻的推广,没有合理的人口、土地政策,仅以新中国成立时的自然条件为前提,我国年人均粮食占有量会如何变化 根据马尔萨斯的理论,自然状态下人口增长模型为y=y0ert①,其中t表示经过的时间,y0表示t=0时的人口数,r表示人口的年平均增长率,y(单位:万)表示t年后的人口数.根据国家统计局网站公布的数据,我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55 196万和67 207万.该小组同学根据这两个数据,以1950年末的数据作为t=0时的人口数,求得①式人口增长模型.经检验,1950~1959年的实际人口数与此模型基本吻合,如图.
(1)若你是该小组成员,请求出①式的人口增长模型,并利用该模型计算从1950年末开始,大约多少年后我国人口总数达到13亿;
(2)根据马尔萨斯的理论,该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看成直线型模型,通过查阅我国1950年末至1959年末的粮食产量,得到粮食增长模型近似为y=600t+13 600(其中t表示经过的时间,y表示第t年的粮食年产量,单位:万吨). f(t)=(t∈N)表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量,单位:吨.
(i)求满足<1的正整数k的最小值;
(ii)按此模型,我国年人均粮食占有量能达到400千克吗 试说明理由.
参考数据:ln 67 207-ln 55 196≈9×0.021 88,ln 130 000-ln 55 196≈39.15×0.021 88,e0.021 88≈1.022,55 196×1.02223≈91 050.
答案与分层梯度式解析
4.5.3　函数模型的应用
基础过关练
1.B 2.A 3.B 4.D 5.CD 9.C
1.B　依题意得C1=Wlog2(1+3)=2W,C2=Wlog2(1+99)=2Wlog210,因此==log210=≈≈3.3.故选B.
2.A　由题意知,轿车价格y(万元)与年份x(年)之间的函数关系式为y=20(1-8%)x,
令20(1-8%)x≥15,得0.92x≥0.75,
故x≤=≈=≈3.5,
因此这个人至多3年后卖出这辆轿车,才不会以低于15万元的价格成交.故选A.
3.B　由题意得=0.1,即1+e-0.22(t-50)=10,因此e-0.22(t-50)=9,
而e-0.22(t-50)=e1.1×(-0.2)(t-50)=(e1.1)-0.2(t-50),
又e1.1≈3,∴3-0.2(t-50)=9,∴-0.2(t-50)=2,
得t-50=-10,即t=40.故选B.
4.D　依题意得解得t≈43.4,
所以污染物减少60%至少需要的时间约为44小时.故选D.
5.CD　根据题意,将(0,192),(22,48)分别代入y=ekx+b,得所以e22k==,所以k<0,
故储存的温度越高,该食品的保鲜时间越短.
易得e11k==,故该食品在11 ℃时的保鲜时间是e11k+b=e11k×eb=×192=96(h),该食品在33 ℃时的保鲜时间为e33k+b=(e11k)3×eb=×192=24(h).故选CD.
6.答案　100
解析　由题意可得60=10lg ,40=10lg ,
因此60-40=10lg -10lg ,化简得lg =2,
故=100.
7.解析　(1)由已知可得
∴∴
(2)由(1)得p=.当p=q时,=2-x,
∴(1-t)(x-5)2=-x,∴t=1+=1+,x∈(0,4],
易知y=x+在(0,4]上单调递减,∴当x=4时,x+有最小值,为,
此时t=1+取得最大值5,
故当x=4时,关税税率取得最大值,为500%.
8.解析　(1)根据题意,得P0=P0ek,解得ek=,
∴P(t)=P0.
(2)由P(t)=P0≤P0,得≤,
两边取以10为底的对数,并整理,
得t(2lg 2-lg 5)≤-3,
又lg 5=1-lg 2,
∴t(3lg 2-1)≤-3,即t(1-3lg 2)≥3,
∴t≥30.
因此,至少需过滤30小时.
9.C　由题意可得解得
∴y=×2x-2 021,
∴当x=2 024时,y=×22 024-2 021=2,
即2024年该地区产生的数据量为2 EB.故选C.
10.解析　(1)选取②y=ax2+bx+c.理由如下:
由题表数据知随着x的增加,y的值先减后增,
而函数y=ax+b,y=a·logbx及y=k·ax都是单调函数,不满足题意,
∴选取函数y=ax2+bx+c.
(2)把点(4,90),(10,51),(36,90)代入y=ax2+bx+c中,
得解得
∴y=x2-10x+126=(x-20)2+26,
∴当x=20时,y有最小值,为26.
故该纪念章每枚的市场价最低时的上市天数为20,最低价格为26元.
能力提升练
1.A　由题意知2 000 ppm=0.2%,当t=0时,y=0.2,
则0.2=0.05+λe0,解得λ=0.15,
要使教室内的二氧化碳浓度达到国家标准,则0.05+0.15≤0.1,得≤,
∴t≥9ln 3≈9.891,∴至少需要开窗通风的时间约为10分钟,故选A.
2.B　由题表中数据可得,每分钟茶水温度的减少值呈现越来越小的变化趋势,
故选用模型①,
由x=0时,y=90,代入y=kax+30,得90=k+30,解得k=60,
所以y=60ax+30,由x=1时,y=84,可得84=60a+30,解得a=,
即y=60+30,令60+30=60,
所以=,lg=xlg =lg ,
解得x===≈≈6.5,
即刚泡好的茶水达到最佳口感所需放置的时间约为6.5 min.故选B.
3.答案　(1)4 400　(2)22
解析　(1)由题得甲型火箭的最大速度v=2 000×ln 9=4 000ln 3≈4 400(m/s).
(2)由题意得,v0=2 000×=3 000(m/s),原甲型火箭的最大速度v=2 000ln (m/s),
材料更新和技术改进后,甲型火箭的最大速度v'=3 000ln (m/s),
所以3 000ln ≥2 000ln +1 000,
即ln ≥1+3ln 2,可得≥e1+3ln 2=8e≈22.
4.解析　(1)当0≤t≤8时,设T=kt+20,
代入t=8,T=100,解得k=10,则T=10t+20,
将T=60,Tc=20,T0=100,t=10代入T-Tc=(T0-Tc)·at,得a=,
所以T=f(t)=
(2)从100 ℃降温至50 ℃,由题意有50-20=(100-20)·,
得t=10lo=10log2=10×(3-log23)=10×≈14,
故经过14分钟后养生壶(在保温状态下)开始第一次加热;
从50 ℃加热至80 ℃需要=3分钟,
从80 ℃降温至50 ℃,则50-20=(80-20)×,得t=10,则共需要14+3+10=27分钟,
故27分钟后养生壶(在保温状态下)开始第二次加热.
5.解析　(1)由题意可知,y0=55 196,当t=9时,y=67 207,所以67 207=55 196e9r,
即ln 67 207-ln 55 196=9r,解得r≈0.021 88,
所以y=55 196e0.021 88t,
令y=130 000,可得55 196e0.021 88t=130 000,
即ln 130 000-ln 55 196=0.021 88t,解得t≈39.15,所以从1950年末开始,大约40年后我国人口总数达到13亿.
(2)(i)f(k)=≈,
则=
=,
令<1,解得k>≈23.79,
所以满足要求的正整数k的最小值为24.
(ii)不能达到400千克,理由如下:
由(i)可知,当t≤23时,年人均粮食占有量逐年增加,从第24年起,年人均粮食占有量逐年减少,
所以当t=23时,年人均粮食占有量最大,
最大为×1 000≈×1 000≈301(千克),因为301<400,所以按此模型我国年人均粮食占有量不能达到400千克.
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