2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--5.2.2　同角三角函数的基本关系（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学必修第一册
5.2.2　同角三角函数的基本关系
基础过关练
题组一　同角三角函数的基本关系的简单应用
1.(教材习题改编)已知cos α=,且α为第四象限角,则sin α=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
2.(教材习题改编)已知α∈,tan α=-3,则cos α=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
3.(2024重庆南开中学期末)设x∈R,则“sin x=”是“cos x=”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024上海浦东新区华东师范大学附属东昌中学期末)设角θ满足条件则θ的终边位于(　　)
A.第一或第二象限　　　　B.第一或第三象限　　
C.第二或第四象限　　　　D.不能确定
5.已知sin α=,求cos α,tan α的值.
题组二　正、余弦齐次式的求值问题
6.(2024天津静海四校段考)已知=2,则tan α=(　　)
A.5　　B.4　　C.3　　D.2
7.(2024江苏南通期末)若角θ的终边经过点P(1,3),则sin θcos θ+cos2θ=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
8.(2024四川成都期末)若tan θ=,则=　　　　.
9.(2023安徽省级示范高中期末)已知sin α=2cos α,则sin2α+2sin αcos α=　　　　.
10.(2024广东中山期末)已知tan α=,求下列各式的值.
(1);
(2)sin αcos α+2.
题组三　利用sin α±cos α与sin αcos α之间的关系求值
11.(多选题)(2024河北张家口期末)在平面直角坐标系中,已知sin θ+cos θ=,则角θ的终边可能位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　
C.第三象限　　　　D.第四象限
12.(2023安徽师范大学附属中学月考)已知sin α-cos α=,则=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
13.(多选题)(2024江苏南京师范大学苏州实验学校学情调研)已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=,则下列结论正确的是(　　)
A.θ∈　　　　B.cos θ=　　
C.tan θ=-　　　　D.sin θ·cos θ=-
14.(2024广东广州二中期末)已知-(1)求sin x-cos x的值;
(2)求的值.
题组四　利用同角三角函数的基本关系化简或证明
15.化简:=(　　)
A.tan　　B.-　　C.1　　D.-1
16.(2024广西南宁模拟)已知cos α-sin α=2sin αtan α,其中α为第一象限角,则tan α=(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.2
17.(多选题)(2023江苏连云港期末)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是(　　)
A.tan α=-
B.=sin α-cos α
C.cos α=-
D.=sin α+cos α
18.(2024江苏苏州期末)已知角θ的终边经过点P(3a,-4a),其中a≠0.
(1)求cos θ的值;
(2)若θ为第二象限角,求cos θ+sin θ的值.
19.求证:=.
能力提升练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求值
1.(2024山东日照期末)已知tan θ=2,则(sin θ-3cos θ)2-1=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
2.(2024四川内江六中月考)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形,如图,已知直角三角形中较小的锐角为α(0°<α<45°),且小正方形与大正方形的面积之比为1∶25,则tan α=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2024江苏盐城阜宁期末)若sin α=,cos α=,则tan α=　　　　.
4.(2024广东佛山期末)已知sin θ,cos θ是方程5x2-x+5m=0的两个实数根.
(1)求m的值;
(2)若θ为第二象限角,求sin θ-cos θ的值.
题组二　利用同角三角函数的基本关系化简或证明
5.(2023江苏淮安期末)已知tan2α-sin2α=2,则tan2αsin2α的值为(　　)
A.3　　B.　　C.2　　D.
6.(2024北京丰台期末)若α,β都是第一象限角,则“sin α>sin β”是“tan α>tan β”成立的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若tan θ-=0,则sin θcos θ=　　　　.
8.(2023安徽师范大学附属中学月考)求证:=.
9.(教材习题改编)(1)分别计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值,你有什么发现
(2)分别计算cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值,你有什么发现
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=cos2x-sin2x;
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x与cos 2x的关系,不需证明.
答案与分层梯度式解析
5.2.2　同角三角函数的基本关系
基础过关练
1.D 2.A 3.D 4.C 6.A 7.C 11.BD 12.A
13.AD 15.D 16.B 17.BC
1.D　∵α为第四象限角,∴sin α<0,
∵cos α=,∴sin α=-=-.故选D.
2.A　解法一:由解得cos α=±.
又α∈,因此cos α=-.故选A.
解法二:由α∈可知cos α<0.
又cos2α===,
因此cos α=-.故选A.
3.D　当sin x=时,cos x=±=±,
当cos x=时,sin x=±=±,
因此“sin x=”是“cos x=”的既不充分也不必要条件.故选D.
4.C　因为sin θ=,cos θ=,且sin2θ+cos2θ=1,
所以+=1,解得k=0或k=8.
若k=0,则sin θ=-,cos θ=,此时θ的终边位于第四象限;
若k=8,则sin θ=,cos θ=-,此时θ的终边位于第二象限.
所以θ的终边位于第二或第四象限.故选C.
5.解析　∵sin α=,sin2α+cos2α=1,
∴cos α=±=±.
当cos α=时,tan α=;
当cos α=-时,tan α=-.
6.A　因为=2,所以=2,
解得tan α=5.故选A.
7.C　若角θ的终边经过点P(1,3),则tan θ=3,
因此有sin θcos θ+cos2θ====.故选C.
8.答案　
解析　∵tan θ=,∴====.
9.答案　
解析　∵sin α=2cos α,∴tan α=2,
∴sin2α+2sin αcos α=
==.
10.解析　(1)===5.
(2)sin αcos α+2=+2=+2=+2=.
11.BD　由sin θ+cos θ=,两边平方得1+2sin θcos θ=,
从而可得2sin θcos θ=-<0,即sin θcos θ<0.故选BD.
12.A　由sin α-cos α=,得1-2sin αcos α=,
∴sin αcos α=,
因此===-.故选A.
13.AD　由sin θ+cos θ=,两边平方得1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=-<0,
故sin θ,cos θ异号,因为θ∈(0,π),所以θ∈,故sin θ>0,cos θ<0,
由解得故tan θ=-.故选AD.
14.解析　(1)将sin x+cos x=,两边平方得(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=,
∴2sin xcos x=-,
则(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
∵-0,∴sin x-cos x<0,
因此sin x-cos x=-.
(2)由已知条件及(1)可知
则===.
15.D　原式===-1.
16.B　由α为第一象限角得,cos α>0,tan α>0,
因为cos α-sin α=2sin αtan α,所以1-tan α=2tan2α,即2tan2α+tan α-1=0,
解得tan α=或tan α=-1(舍去).故选B.
17.BC　由同角三角函数的基本关系,知tan α=,所以A错误;
因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,
所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,
因此==sin α-cos α,所以B正确,D错误;
由sin2α+cos2α=1及cos α<0得cos α=-,所以C正确.故选BC.
18.解析　(1)由已知得=5|a|,
当a>0时,cos θ==,
当a<0时,cos θ=-=-.
(2)若θ为第二象限角,则cos θ=-,sin θ=,
则cos θ+sin θ
=cos θ+sin θ
=cos θ+sin θ=cos θ-sin θ
=--=-.
19.证明　证法一:左边==
=====右边,
∴原等式成立.
证法二:∵右边==,
左边====,
∴左边=右边,故原等式成立.
能力提升练
1.A 2.B 5.C 6.C
1.A　∵tan θ=2,
∴(sin θ-3cos θ)2-1=sin2θ-6sin θcos θ+9cos2θ-1
=8cos2θ-6sin θcos θ==
==-.故选A.
2.B　设大正方形的边长为a,
由于0°<α<45°,所以cos α>sin α>0,
因此直角三角形较短的直角边的长为asin α,较长的直角边的长为acos α,
从而小正方形的边长为a(cos α-sin α),
因为小正方形与大正方形的面积之比为1∶25,
所以=(cos α-sin α)2=,即cos α-sin α=.
由解得
因此,tan α==.故选B.
3.答案　0或
解析　因为sin2α+cos2α=1,
所以+==1,
整理可得m2-2m-3=0,解得m=-1或m=3.
当m=-1时,sin α=0,cos α=-1,tan α==0;
当m=3时,sin α=,cos α=,tan α==.
综上所述,tan α=0或tan α=.
4.解析　(1)因为sin θ,cos θ是方程5x2-x+5m=0的两个实数根,
所以sin θ+cos θ=,且sin θcos θ=m,
由(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,可得=1+2m,则m=-,
经检验,符合题意,故m=-.
(2)因为θ为第二象限角,
所以sin θ>0,cos θ<0,又sin θcos θ=-,
所以sin θ-cos θ====.
5.C　因为tan2α-sin2α=2,所以-sin2α=2,
所以=·sin2α=2,
所以tan2αsin2α=2.
6.C　充分性:根据α,β都是第一象限角,
可知sin α>0且sin β>0,
若sin α>sin β,则>,
整理得cos α结合cos α,cos β都是正数,得>>0,
而sin α>sin β>0,同向不等式相乘,得>,即tan α>tan β成立.
必要性:根据α,β都是第一象限角,可知tan α>0且tan β>0,
若tan α>tan β,则1+tan2α>1+tan2β,即1+>1+,即>,可得>,
所以cos2αsin2β,故sin α>sin β成立.
综上所述,“sin α>sin β”是“tan α>tan β”成立的充要条件.故选C.
7.答案　
解析　∵tan θ-=0,
∴tan θ==
=
=
=
==,
∴sin θcos θ===.
8.证明　左边=
=
=
=
===右边,
所以原等式成立.
9.解析　(1)因为cos4-sin4=cos2+sin2·cos2-sin2=cos2-sin2=-=,cos2-sin2=-=,cos =,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值相等.
(2)因为cos4-sin4=cos2+sin2·cos2-sin2=cos2-sin2=-=0,cos2-sin2=-=0,cos =0,
所以cos4-sin4,cos2-sin2,cos 的值相等.
(3)证明: x∈R,cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x-sin2x.
(4)推测 x∈R,cos2x-sin2x=cos 2x.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)