2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--5.3　诱导公式（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
5.3　诱导公式
基础过关练
题组一　利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2024浙江宁波镇海中学期末)cos =(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
2.(2024河南洛阳强基联盟期末)已知函数f(x)=则f(-1)=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
3.(2023江苏南京金陵中学调研测试)在平面直角坐标系中,角α的终边经过点P(1,),则cos=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
4.(2024天津静海期末)sin 的值为　　　　.
5.(教材习题改编)sin 510°+cos 660°-tan 585°=　　　　.
题组二　利用诱导公式解决条件求值问题
6.(2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知sin(3π+α)=,则cos=(　　)
A.　　B.-　　C.-　　D.
7.(2023北京大兴期末)已知sin 36°=a,则sin 54°=(　　)
A.　　　　B.a　　
C.-　　　　D.-a
8.(教材习题改编)已知sin=,且α∈,则cos=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
9.(2024广东佛山期末)已知cos=,则sin=　　　　.
10.(2024浙江台州期末)已知cos=,则sin+cos
=　　　　.
题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题
11.(2024天津和平期末)已知角θ的终边经过点(-1,-3),则=(　　)
A.　　　　B.-　　
C.-1　　　　D.1
12.(教材习题改编)已知角A,B,C为△ABC的三个内角,若sin =sin ,则△ABC一定是(　　)
A.等腰直角三角形　　　　
B.直角三角形
C.等腰三角形　　　　
D.等腰或直角三角形
13.(2024湖南名校联考联合体期末)化简:=　　　　.
能力提升练
题组一　利用诱导公式解决给角求值问题
1.(2023广东广州期末联考)已知a=ln 3,b=sin,c=,则(　　)
A.a>b>c　　B.a>c>b　　C.c>b>a　　D.c>a>b
2.在平面直角坐标系中,已知圆C的圆心在原点处,半径等于1,某质点从初始位置P(0,1)开始,在圆C上按逆时针方向,以角速度 rad/s匀速旋转3 s后到达P'点,则P'的坐标为　　　　.
3.(2023北京朝阳期末)已知角α∈,若sin(π+α)=,则α=　　　　　;sin=　　　　.
题组二　利用诱导公式解决条件求值问题
4.(2024四川泸州期末)若sin(-110°)=a,则tan 70°等于(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
5.(2023湖北荆州沙市中学期末)平面直角坐标系中,已知点A在单位圆上且位于第三象限,点A的纵坐标为-,现将点A沿单位圆按顺时针方向运动到点B,所经过的弧长为,则点B的纵坐标为(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
6.已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
7.(2024吉林普通高中G6教考联盟期末)若θ为第四象限角,且sin(θ+π)=,则-的值是(　　)
A.4　　B.-4　　C.　　D.-
8.(2024湖北部分学校期末)在平面直角坐标系中,角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在直线y=-x上,则等于(　　)
A.2+　　B.2-　　C.　　D.-
题组三　利用诱导公式解决恒等变形问题
9.(多选题)(2024重庆新高考协作体期末)已知下列等式的左右两边都有意义,则能够恒成立的是　(　　)
A.sin=sin　　　　
B.sin=-cos
C.tan=tan　　　　
D.tan2αsin2α=tan2α-sin2α
10.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟期末)已知角α和β的终边关于x轴对称,则(　　)
A.sin α=-sin β　　　　B.tan α=tan β
C.sin=cos β　　　　D.cos(π-α)=cos β
11.(2024河北邢台部分重点高中期末)若sin θ,cos θ是关于x的方程x2-ax+a=0的两个根,则cos+sin=　　　　.
答案与分层梯度式解析
5.3　诱导公式
基础过关练
1.A 2.A 3.A 6.D 7.A 8.C 11.C 12.C
1.A　cos =cos=cos=-cos =-.故选A.
2.A　由题意可得f(-1)=sin=-sin=-.故选A.
3.A　依题意得sin α==,
所以cos=-sin α=-.故选A.
4.答案　-
解析　sin =sin=-sin =-.
5.答案　0
解析　sin 510°+cos 660°-tan 585°=sin 150°+cos(-60°)-tan 45°=sin 30°+cos 60°-tan 45°=+-1=0.
6.D　由sin(3π+α)=,得-sin α=,则sin α=-.∴cos=-sin α=.故选D.
7.A　因为sin 36°=a,sin236°+cos236°=1,
所以cos 36°=,
所以sin 54°=sin(90°-36°)=cos 36°=,
故选A.
8.C　∵sin=,α∈,
∴+α∈,
∴cos=-=-,
∴cos=cos
=-cos=.故选C.
9.答案　
解析　sin=sin=cosθ+=.
10.答案　0
解析　sin=sin=cos=,cos=cos=-cos-α=-,则sin+cos=0.
解题模板　解决条件求值问题的关键是找到已知角与待求角之间的关系,结合诱导公式进行转化求值.
11.C　因为角θ的终边经过点(-1,-3),所以tan θ=3,
则====-1.故选C.
12.C　在△ABC中,A+B+C=π.由sin =sin 可得sin =sin ,
所以sin=sin,即cos C=cos B,所以B=C,故该三角形一定为等腰三角形,无法判断是不是直角三角形,故选C.
13.答案　-tan α
解析　==-tan α.
能力提升练
1.B 4.B 5.C 6.A 7.A 8.B 9.ABD 10.AC
1.B　易知函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,且3>e,所以a=ln 3>ln e=1.
b=sin=sin=-sin=-<0.
因为函数y=3x在R上单调递增,且-<0,所以0<<30=1,即0c>b.故选B.
2.答案　
解析　由已知得点P(0,1)为角的终边上一点,因为+×3=,所以点P'落在角的终边上,因为cos =-cos =-,sin =-sin =-,所以P'的坐标为.
3.答案　;-
解析　因为sin(π+α)=-sin α=,所以sin α=-,又α∈,所以α=,
所以sin=sin=sin
=sin=-sin=-.
4.B　由sin(-110°)=a得sin 110°=-a,
∴sin 70°=sin(180°-110°)=sin 110°=-a,
∴tan 70°==-.故选B.
5.C　设坐标原点为O,以x轴非负半轴为始边,以射线OA,OB为终边的角分别为α,β,则(α-β)×1=,得β=α-,
由题意可得sin α=-,角α的终边位于第三象限,
则cos α=-=-,
所以sin=-cos α=,
则点B的纵坐标为.故选C.
6.A　∵3sin2α=8cos α,∴cos α=,
∴sin2α+=1,
整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,
∴sin2α=.
又∵α是第四象限角,∴sin α=-,
∴cos=cos
=-cos=sin α=-.
7.A　因为θ为第四象限角,且sin(θ+π)==-sin θ,所以sin θ=-,
可得cos θ==,
则-=-=-=+2-(-2)=4.故选A.
8.B　由已知得tan θ=-.
因此=====2-.故选B.
9.ABD　对于A,sin=sin=sin,故A正确;对于B,sin=cos=cos=-cosπ+=-cos,故B正确;对于C,tan=-tan=-tan,故C错误;对于D,tan2αsin2α=·sin2α=·sin2α=-sin2α=tan2α-sin2α,故D正确.故选ABD.
10.AC　因为角α和β的终边关于x轴对称,所以α=-β+2kπ,k∈Z.
对于A,由于sin α=sin(-β+2kπ)=-sin β,k∈Z,所以A正确;
对于B,由于tan α=tan(-β+2kπ)=tan(-β)=-tan β,k∈Z,所以B错误;
对于C,由于sin=cos α=cos(-β+2kπ)=cos(-β)=cos β,k∈Z,所以C正确;
对于D,由于cos(π-α)=-cos α=-cos(-β+2kπ)=-cos β,k∈Z,所以D错误.
故选AC.
11.答案　-1
解析　由题意得Δ=a2-4a≥0,则a≤0或a≥4,由根与系数的关系得
又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以a2=1+2a,解得a=1-或a=1+(舍去),
则sin θ+cos θ=1-,
所以cos+sin=cos+sin=cos-sin
=-sin θ-cos θ=-(sin θ+cos θ)=-1.
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