2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--5.4.3　正切函数的性质与图象（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
5.4.3　正切函数的性质与图象
基础过关练
题组一　正切(型)函数的定义域、值域
1.(2024陕西咸阳期末)与函数y=tan的图象不相交的一条直线的方程是(　　)
A.x=　　B.y=　　C.x=　　D.y=
2.(2024河南三门峡期末)函数y=tan,x∈的值域为　　.
3.(2024天津耀华中学期末)函数y=3tan2x+的定义域是　　　　.
题组二　正切(型)函数的图象及其应用
4.(2024河南新乡开学考试)函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,则f的值是(　　)
A.0　　B.1　　C.-1　　D.
5.函数f(x)=cos x|tan x|的图象大致为(　　)
　　　　
　　　　
6.(教材习题改编)根据正切函数的图象,写出使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合.
题组三　正切(型)函数的性质
7.下列函数中,最小正周期为的是(　　)
A.y=cos x　　　　B.y=tan x
C.y=cos 2x　　　　D.y=tan 2x
8.(2024江苏南京师大附中段考)设函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,则f(x)的一个最小正周期是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(多选题)(2024湖北部分学校期末联考)已知函数f(x)=tan,则(　　)
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z
C. f(x)图象的对称中心为,k∈Z
D. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
10.(教材习题改编)tan 1 420°　　　　tan 1 415°(填“>”“<”或“=”).
11.(2024湖北荆州八县市期末)已知函数f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)求不等式-1≤f(x)≤的解集.
能力提升练
题组一　正切(型)函数的定义域、值域
1.(2023浙江温州外国语学校月考)函数f(x)=的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
2.(2024广东部分名校期末联考)若函数y=tan(x-φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点,则φ的最小值为(　　)
A.0　　B.　　C.　　D.π
3.已知函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈,则其值域为　　　　.
题组二　正切(型)函数的图象及其应用
4.(多选题)(2023辽宁沈阳东北育才学校段考)已知函数f(x)=tan x+|tan x|,则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期为
B. f(x)图象的一个对称中心是
C. f(x)的值域为[0,+∞)
D.不等式f(x)>2的解集为+kπ,+kπ(k∈Z)
5.(多选题)(2022江西景德镇期中)若函数f(x)=则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)的值域为(-1,+∞)
B. f(x)的单调递增区间为,k∈Z
C.当且仅当kπ-D. f(x)的最小正周期是2π
6.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的部分图象如图,则f=　　　　.
7.函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是　　　　.(填序号)
①　②
③　④
题组三　正切(型)函数性质的综合应用
8.函数f(x)=的图象的对称轴方程为　　(　　)
A.x=+(k∈Z)　　　　B.x=+(k∈Z)
C.x=+(k∈Z)　　　　D.x=+(k∈Z)
9.(多选题)(2024广东广州九区期末联考)已知函数f(x)=tan x,下列命题正确的是(　　)
A.若f(x)=,则=
B.不等式f(x)≥的解集是
C.函数y=-[f(x)]2+4f(x),x∈的最小值为-5
D.若f=,且010.(2023江苏南通期末)已知函数f(x)=tan(n∈Z)在区间上单调递减,则n的取值集合为　　　　.(用列举法表示)
11.已知函数f(x)=tan,ω>0.
(1)若ω=2,函数f(x+m)的图象经过原点,求最小正数m的值;
(2)已知函数y=f(x)在[a,b](a①用ω表示M;
②若M不小于2 024,求ω的取值范围.
12.(2024浙江衢州期末)已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上单调的θ的取值范围.
答案与分层梯度式解析
5.4.3　正切函数的性质与图象
基础过关练
1.C 4.A 5.B 7.D 8.C 9.ABD
1.C　对于A,x=时,y=tan=1,故直线x=与函数y=tan的图象交于点;对于C,x=时,2x+=2×+=,此时tan无意义,故直线x=与函数y=tan的图象无交点;对于B和D,因为正切函数的值域是R,所以直线y=和y=都与函数y=tan的图象相交.故选C.
2.答案　
解析　当x∈时,x-∈,所以y=tan∈.
3.答案　
解析　令2x+≠kπ+,k∈Z,
解得x≠+,k∈Z,因此函数的定义域是.
4.A　因为函数f(x)=tan ωx(ω>0)图象中的相邻两支截直线y=1所得的线段长为,所以f(x)的最小正周期为,则=,解得ω=4,即f(x)=tan 4x,
故f=tan π=0.故选A.
5.B　f(x)=cos x|tan x|=其定义域为.当x∈时, f(x)=sin x>0;当x∈时, f(x)=-sin x<0;当x∈时, f(x)=sin x<0;当x∈时, f(x)=-sin x>0.结合定义域可知B中图象符合题意.故选B.
6.解析　不等式3+tan 2x≥0,即tan 2x≥-,令t=2x,则tan t≥-.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出函数y=tan t,t∈的图象和直线y=-.
由图得,在区间内,不等式tan t≥-的解集是,
∴不等式tan t≥-在R上的解集是tkπ-≤t令kπ-≤2x∴使不等式3+tan 2x≥0成立的x的取值集合是.
7.D　选项A中,y=cos x的最小正周期为2π;选项B中,y=tan x的最小正周期为π;选项C中,y=cos 2x的最小正周期为=π;选项D中,y=tan 2x的最小正周期为.故选D.
8.C　因为函数f(x)=2tan(ω>0)的图象的一个对称中心为,
所以-=(k∈Z),可得ω=3k+2(k∈Z),
因为ω>0,所以k∈N,故函数f(x)的最小正周期T=(k∈N),
当k=1时,可知函数f(x)的一个最小正周期为.故选C.
9.ABD　由已知得f(x)的最小正周期T=,A正确;
令2x-≠kπ+,k∈Z,解得x≠+,k∈Z,
所以f(x)的定义域为xx≠+,k∈Z,B正确;
令2x-=,k∈Z,解得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z,C错误;
令-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,解得-+所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z,D正确.故选ABD.
10.答案　>
解析　tan 1 420°=-tan 20°,tan 1 415°=-tan 25°,
易知tan 20°-tan 25°,
故tan 1 420°>tan 1 415°.
11.解析　(1)由题意知, f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点对称,
∴2×+φ=,k∈Z,即φ=+,k∈Z.
∵0<φ<,∴φ=,故f(x)=tan,
令-+kπ<2x+<+kπ,k∈Z,
得-+∴函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)由(1)知f(x)=tan,
由-1≤tan≤,
得-+kπ≤2x+≤+kπ,k∈Z,
即-+≤x≤+,k∈Z,
∴不等式-1≤f(x)≤的解集为x-+≤x≤+,k∈Z.
能力提升练
1.A 2.C 4.CD 5.AD 8.A 9.ACD
1.A　对于函数f(x)=,应使tan x有意义,且tan x≠0,∴x≠kπ+且x≠kπ,k∈Z,即x≠,k∈Z,故选A.
2.C　若函数y=tan(x-φ)(φ≥0)的图象与直线x=π没有交点,则π-φ=kπ+(k∈Z),整理得φ=-kπ+(k∈Z),又φ≥0,所以φ的最小值为.故选C.
3.答案　[-4,4]
解析　∵-≤x≤,∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1],
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5,t∈[-1,1].
易知此函数在[-1,1]上单调递增,
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
4.CD　f(x)=tan x+|tan x|
=
作出f(x)的图象,如图所示.
由图可知f(x)的最小正周期为π,A错误;f(x)的图象没有对称中心,B错误; f(x)的值域为[0,+∞),C正确;不等式f(x)>2,即x∈(k∈Z)时,2tan x>2,得tan x>1,解得+kπ2的解集为(k∈Z),D正确.故选CD.
5.AD　当tan x>sin x,即kπ当tan x≤sin x,即kπ-所以f(x)的值域为(-1,+∞),故A正确.
画出y=f(x)的大致图象,如图.
由图可得f(x)的单调递增区间是和(k∈Z),故B错误.
当x∈(k∈Z)时, f(x)≤0,故C错误.
由f(x)的图象可知f(x)的最小正周期是2π,故D正确.故选AD.
6.答案　
解析　由题图可知T=2×=,所以ω=2,
所以2×+φ=kπ+(k∈Z),得φ=+kπ(k∈Z),
又|φ|<,所以φ=,故f(x)=Atan.
又f(0)=1,所以Atan =1,得A=1,因此f(x)=tan,故f=tan=tan =.
7.答案　①②④③
解析　∵|tan x|≥0,
∴y=|tan x|的图象在x轴及其上方,
∴y=|tan x|的图象是题图①.
易知y=tan x的图象是题图②,y=tan(-x)=-tan x的图象是题图④.
易知y=tan|x|是偶函数,
∴y=tan|x|的图象关于y轴对称,
∴y=tan|x|的图象是题图③.
故四个函数对应的图象依次是①②④③.
8.A　易知函数y=|tan x|的图象的对称轴方程为x=(k∈Z),
令2x-=(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)=的图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).故选A.
9.ACD　由已知得tan x=,则===,故A正确;
由f(x)≥得tan x≥,∴kπ+≤x<+kπ(k∈Z),
因此不等式f(x)≥的解集是(k∈Z),故B错误;
由x∈,得tan x∈[-1,1],
y=-[f(x)]2+4f(x)=-tan2x+4tan x=-(tan x-2)2+4,
由二次函数的性质可知,当tan x=-1时,y取得最小值-5,故C正确;
∵f=,即tan====,
∴cos=sin,
∵00,
又cos2+sin2=1,
∴sin=,故D正确.故选ACD.
10.答案　{-3,-2}
解析　∵函数f(x)=tan=-tan-nx+(n∈Z)在区间上单调递减,
∴n<0,T=≥,解得|n|≤4,因此-4≤n<0.
易知-n×+≥kπ-,-n×+≤kπ+,k∈Z,
∴--≤n≤6-8k,k∈Z.
又-4≤n<0,n∈Z,∴n=-2 或n=-3.
11.解析　(1)当ω=2时, f(x)=tan,
所以f(x+m)=tan,
由于函数f(x+m)的图象经过原点,所以tan=0,
因此2m+=kπ,k∈Z,解得m=-+,k∈Z,又m>0,所以当k=1时,m取得最小值,为,即最小正数m的值为.
(2)①方程f(x)=在[a,b]上至少存在2 024个根,
即当x∈[a,b]时,tan=至少有2 024个根,即ωx+=kπ+(k∈Z)至少有2 024个根,即x=(k∈Z)至少有2 024个根,且在所有满足上述条件的[a,b]中,b-a的最小值为M,
因此b-a至少包含2 023个周期,即b-a≥2 023×,故2 023×=M,即M=.
②若M不小于2 024,即M=≥2 024,又ω>0,所以0<ω≤,
即ω的取值范围为.
12.解析　(1)当θ=-时, f(x)=x2-x-1=-,x∈[-1,],
易知当x=时, f(x)min=-;
当x=-1时, f(x)max=.
(2)由题可得g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ=0,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上单调,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是∪+kπ,+kπ,k∈Z.
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