2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--5.5.2　简单的三角恒等变换（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学必修第一册
5.5.2　简单的三角恒等变换
基础过关练
题组一　三角函数式的求值问题
1.已知sin 76°=m,则cos 7°=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.已知x为第四象限角,且cos x=,则tan=(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.-
3.若sin α+sin β=(cos β-cos α),且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
4.已知sin(α+β)·sin(β-α)=m,则cos2α-cos2β=　　　　.
5.已知α为钝角,β为锐角,且sin α=,sin β=,求tan的值.
题组二　三角函数式的化简与证明问题
6.(2024河北唐山期末)若α为第二象限角,则=(　　)
A.1　　B.-1　　C.sin α　　D.cos α
7.(2022河南新乡期末)已知<α<2π,则+=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
8.(多选题)(2024河南濮阳期末)下列各式的值为的是(　　)
A.sin 　　　　B.2sin sin 　　
C.　　　　D.
9.(1)已知A,B,C为△ABC的三个内角,sin A·cos2+sin Ccos2=sin B,求证:sin A+sin C=2sin B;
(2)证明:=tan +.
题组三　三角恒等变换的综合应用
10.函数y=的最小正周期为(　　)
A.　　B.π　　C.2π　　D.3π
11.(教材习题改编)若3sin x-cos x=2sin(x+φ),其中0<φ<2π,则φ=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
能力提升练
题组一　三角函数式的求值问题
1.=(　　)
A.-　　B.　　C.1　　D.2
2.(2024河南洛阳期末)已知tan(2 023π+α)-=,α∈,则sin2α++2cos2α=(　　)
A.-　　B.-　　C.-　　D.0
3.(2024重庆期末)已知α-β=,tan α-tan β=3,则cos(α+β)的值为(　　)
A.+　　B.-　　C.+　　D.-
4.(2023重庆西南大学附中期末)已知sin=,则=(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.-
5.cos 23°-cos 67°+2sin 4°·cos 26°=(　　)
A.-　　B.　　C.-　　D.
6.已知cos α-cos β=,sin α-sin β=-,求sin(α+β)的值.
题组二　三角函数式的化简与证明问题
7.(多选题)(2024浙江宁波九校期末联考)下列式子化简正确的是(　　)
A.sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°=
B.cos 15°-sin 15°=
C.=
D.=
8.若<θ<π,则-=(　　)
A.2sin-cos　　　　B.cos-2sin
C.cos　　　　D.-cos
9.在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4coscoscos.
题组三　三角恒等变换的综合应用
10.(2024黑龙江哈尔滨期中)八角星纹是一种有八个均等的向外突出的锐角的几何纹样(如图①所示),它具有组合性强、结构稳定等特点.有的八角星纹中间镂空出一个正方形,有的由八个菱形组成,内部呈现米字形线条.在如图②所示的八角星纹中,各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形,中间的四边形是边长为2的正方形,在图②的基础上连接线段,得到角α,β,如图③所示,则α+β=(　　)
　　
A.30°　　B.45°　　C.60°　　D.75°
11.(2024重庆江津田家炳中学月考)我国数学家祖冲之利用割圆术,求出圆周率π约为,是当时世界上最精确的圆周率结果,直到近千年后这一记录才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4cos 38°,则的值约为(　　)
A.　　B.-　　C.8　　D.-8
12.(2023湖北武汉期末)设函数f(x)=mcos(x+α)+ncos(x+β),x∈R,若f(0)=f=0,则(　　)
A.对任意实数x, f(x)=0
B.存在实数x, f(x)≠0
C.对任意实数x, f(x)>0
D.存在实数x, f(x)<0
13.已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是偶函数,则=　　　　.
14.(2024江苏宿迁期末)已知函数f(x)=sin2x·,x∈.
(1)若角α的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边与圆心在原点的单位圆的交点的横坐标为-,求f(α)的值;
(2)若f=-,求cos2的值.
15.在校园美化、改造活动中,某校决定在半径为30 m,圆心角为的扇形空地OPE内修建一个矩形的花坛ABCD,如图所示,请你确定B点的位置,使花坛的面积最大,并求出最大面积.
答案与分层梯度式解析
5.5.2　简单的三角恒等变换
基础过关练
1.B 2.A 3.D 6.B 7.C 8.BD 10.C 11.D
1.B　根据诱导公式得sin 76°=cos 14°=m,
易知cos 7°>0,∴cos 7°==.
2.A　解法一:∵x为第四象限角,且cos x=,
∴sin x=-=-,
则tan==-,故选A.
解法二:因为x为第四象限角,所以是第二或第四象限角,
所以tan=-=-=-,故选A.
3.D　由已知得2sin cos =·=×2sin sin ,
易得0<<π,-<<,∴sin >0,
∴cos =sin ,即tan =,∴=,∴α-β=.
4.答案　m
解析　由已知得sin(α+β)·sin(β-α)=-sin(α+β)·sin(α-β)===cos2α-cos2β=m.
5.解析　因为α为钝角,β为锐角,sin α=,sin β=,所以cos α=-,cos β=.
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=.
解法一:因为<α<π,0<β<,
所以0<α-β<π,所以0<<,
所以cos==
=,
sin==,
所以tan==.
解法二:因为<α<π,0<β<,所以0<α-β<π,
由cos(α-β)=,得sin(α-β)==.
所以tan===.
6.B　∵α为第二象限角,∴sin α>0,cos α<0,
∴=
==-=-1.故选B.
7.C　由已知得<<π,
所以tan<0,
所以+=--tan
=-=-=-=-.故选C.
8.BD　对于A,sin =sin=-sin =-,故A错误;
对于B,2sin sin =2sin sin=2sin ·cos =sin =,故B正确;
对于C,原式=cos +sin =sin cos +cos sin =sin=sin =,故C错误;
对于D,=·=tan =,故D正确.故选BD.
9.证明　(1)由sin Acos2+sin Ccos2=sin B,
得sin A·+sin C·=sin B,
即sin A+sin C+sin Acos C+cos Asin C=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(A+C)=3sin B,
∴sin A+sin C+sin(π-B)=3sin B,
即sin A+sin C+sin B=3sin B,
∴sin A+sin C=2sin B.
(2)∵sin α==,
cos α==,
∴等式左边=
==
=tan +=等式右边.
名师点睛　万能公式:sin 2α=,cos 2α=.
10.C　y===tan ,其最小正周期T==2π.
11.D　因为3sin x-cos x=2
=2sin=2sin(x+φ),
所以φ=-+2kπ,k∈Z,
又0<φ<2π,所以φ=-+2π=.故选D.
能力提升练
1.A 2.D 3.D 4.B 5.B 7.BD 8.D 10.B
11.C 12.A
1.A　
=
=
=
=
=
===-,故选A.
2.D　因为α∈,所以tan α>1,
又tan(2 023π+α)-=tan α+=,所以tan α=3或tan α=(舍去),
因此sin+2cos2α=×sin 2α+·cos 2α+2cos2α=sin 2α+cos 2α+2cos2α
====0.故选D.
3.D　∵tan α-tan β=3,且α-β=,
∴-====3,∴cos αcos β=,
又α-β=,∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=,∴sin αsin β=-,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-+=-,故选D.
4.B　=
==①,
由sin=,得sin=,
所以cos=,
cos=cos=cos
=1-2sin2=1-2×=,
因此①式==.故选B.
5.B　解法一:∵cos 23°=cos(45°-22°)
=cos 45°cos 22°+sin 45°sin 22°,
cos 67°=cos(45°+22°)
=cos 45°cos 22°-sin 45°sin 22°,
sin(4°-26°)=sin 4°cos 26°-cos 4°sin 26°=-sin 22°,
sin(4°+26°)=sin 4°cos 26°+cos 4°sin 26°=sin 30°,
∴原式=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°)
=sin 22°+-sin 22°=.
解法二:cos 23°-cos 67°+2sin 4°cos 26°
=-2sin sin +[sin(4°+26°)+sin(4°-26°)]=2sin 45°sin 22°+(sin 30°-sin 22°)=sin 22°+-sin 22°=.
6.解析　因为cos α-cos β=,
所以-2sin sin =①.
因为sin α-sin β=-,所以2cos sin =-②.
易知sin ≠0,由①②可得-tan =-,所以tan =,所以sin(α+β)====.
7.BD　sin 8°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin 8°sin 52°-cos 8°cos 52°=-cos(8°+52°)=-cos 60°=-,故A错误;cos 15°-sin 15°=2×cos 15°-sin 15°=2(sin 60°cos 15°-cos 60°sin 15°)=2sin 45°=,故B正确;==tan 30°=,故C错误;====,故D正确.故选BD.
8.D　∵<θ<π,∴<<,∴sin>cos>0.
∵1-sin θ=sin2+cos2-2sincos=,(1-cos θ)=sin2,
∴-
=-
=sin-cos-sin=-cos.
9.证明　由题意得A+B+C=π,故C=π-(A+B),
则=-,
∴cos=cos=sin.
证法一:sin A+sin B+sin C=sin A+sin B+sin(A+B)
=sin A+sin B+sin Acos B+cos Asin B
=sin A(1+cos B)+sin B(1+cos A)
=2sincos·2cos2+2sincos·2cos2
=4coscos·sin
=4coscoscos.
证法二:sin A+sin B+sin C
=2sin·cos+sin(A+B)
=2sin·cos+2sin·cos
=2sin
=2cos·2cos·cos
=4coscoscos.
10.B　如图所示,连接BC.
在Rt△ABC中,BC=2,AC=6,则tan α==.
在Rt△DEF中,EF=2,DE=4,则tan β==,
所以tan(α+β)===1,
又α,β∈,所以α+β∈,所以α+β==45°,故选B.
11.C　∵π≈4cos 38°,
∴≈
====8,故选C.
12.A　∵f(0)=f=0,∴mcos α+ncos β=-msin α-nsin β=0,∴mcos α=-ncos β,msin α=-nsin β,∴m2cos2α+m2sin2α=n2cos2β+n2sin2β,∴m2=n2,∴m=n或m=-n.
若m=n≠0,则cos α=-cos β,sin α=-sin β,故α=β+π+2kπ,k∈Z,则f(x)=mcos(x+β+π+2kπ)+mcos(x+β)=0,k∈Z;
若m=-n≠0,则cos α=cos β,sin α=sin β,故α=β+2kπ,k∈Z,则f(x)=mcos(x+β+2kπ)-mcos(x+β)=0,k∈Z;
若m=n=0,则f(x)=0.
综上所述,对任意实数x, f(x)=0.故选A.
13.答案　
解析　因为f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=×sin是偶函数,
所以+φ=+kπ,k∈Z,
所以φ=+kπ,k∈Z,因此tan φ=1,
则==.
14.解析　(1)由f(x)=sin2x
=sin2x
=sin2x,
因为x∈,所以sin x>0,且1-cos x>0,1+cos x>0,
所以f(x)=sin2x=2sin x,
因为cos α=-,所以f(α)=2sin α=±2=±.
(2)因为f=2sin=2cos+β=-,所以cos=-,
所以cos2=cos2
=cos2=sin2
=1-cos2=1-=.
15.解析　如图所示,设CD的中点为M,连接OM,交AB于N,连接OC,记∠COM=α,
则α∈,且OM=30cos α(m),CM=30sin α(m),BN=CM=30sin α(m),ON===10sin α(m).
所以=2·BN·BC=2×30sin α×(30cos α-10sin α)=1 800sin αcos α-600sin2α=900sin 2α-300(1-cos 2α)=600sin 2α+cos 2α-300=600sin-300m2,0<α<,
由0<α<,得<2α+<,故当2α+=,即α=时,(S矩形ABCD)max=600-300=300(m2),此时OB=2ON=20sin =10(m).
故当OB=10 m时,矩形ABCD的面积最大,最大面积为300 m2.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)