2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第1课时　函数的单调性（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
基础过关练
题组一　单调性的概念
1.(2024河南南阳月考)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)
A.(-3,-1)∪(1,4)　　　　B.(-5,-3)∪(-1,1)
C.(-3,-1),(1,4)　　　　D.(-5,-3),(-1,1)
2.已知函数f(x)在R上单调递增,则下列一定成立的是(　　)
A.y=-f(x)在R上单调递减
B.y=在R上单调递减
C.y=[f(x)]2在R上单调递增
D.y=af(x)(a为实数)在R上单调递增
3.(2024陕西咸阳高新一中质检)已知函数f(x)在[a,b]上单调递增,则对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),下列结论中正确的是(　　)
A.>0　　　　
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
C. f(a)≤f(x1)D. f(x1)>f(x2)
题组二　单调性的判断与证明
4.(2024福建厦门一中月考)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是(　　)
A.y=-　　　　B.y=2x　　C.y=x2　　　　D.y=1-x
5.(教材习题改编)已知函数f(x)=,则以下结论正确的是(　　)
A. f(x)在(-1,+∞)上单调递增　　
B. f(x)在(-∞,-1)上单调递减
C. f(x)在(1,+∞)上单调递增　　
D. f(x)在(-1,1)上单调递减
6.(2024山东泰安一中期中)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足 x∈R, f(x)≤f(3)恒成立,则函数f(x)的单调递增区间为　　　　.
7.(2024江苏苏州常熟中学调研)函数f(x)=x|x-1|的单调递减区间为　　　　.
8.(2024福建三明一中月考)函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是　　　　　　.
9.(2024安徽滁州名校期中联考)已知函数f(x)=
(1)求f(1), f(f(-6))的值;
(2)画出f(x)的图象(无需列表);
(3)根据(2)中的图象,写出f(x)的单调区间和值域.
10.(2024浙江衢温“5+1”联盟期中)已知函数f(x)=的图象经过点A(1,5),B(2,4).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性,并用定义证明.
题组三　单调性的应用
11.(2024重庆育才中学检测)函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,-3)　　　　B.(0,+∞)　　
C.(3,+∞)　　　　D.(-∞,-3)∪(3,+∞)
12.(易错题)(2024广东佛山一中质检)已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调函数,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2]∪[3,+∞)　　　　
B.[2,3]　　
C.(-∞,-3]∪[-2,+∞)　　　　
D.[-3,-2]
13.(易错题)(2024安徽淮南月考)若函数f(x)=是R上的单调函数,则a的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.(0,1]　　D.(0,1)
14.(2023天津河西期中)已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1),B(3,1)是函数图象上的两点,那么|f(x+1)|≥1的解集是(　　)
A.(-1,2)
B.(1,4)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞)
D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
15.(易错题)若函数f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[3,+∞),则实数a的值是　　　　.
16.(2024河南南阳六校期中)若函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.
17.(2024湖南三湘名校教育联盟期中联考)已知函数f(x)=x2-(3a-2)x+b.
(1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为(-2,3),求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间上单调递增,求实数a的取值范围.
能力提升练
题组一　单调性的判断
1.若函数f(x)在定义域[-9,9]上单调递增,则函数y=f(x2)的单调递增区间是(　　)
A.[-9,9]　　　　B.[0,9]
C.[-3,3]　　　　D.[0,3]
2.(多选题)(2024广东广州执信中学期中)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足: x1,x2∈(0,+∞),当x1≠x2时,恒有>0,则称f(x)为“理想函数”.则下列函数中是“理想函数”的是(　　)
A. f(x)=1　　　　B. f(x)=x2+2　　
C. f(x)=x3-x　　　　D. f(x)=x4
3.(2024浙江宁波余姚中学质检)函数f(x)=的单调递增区间是　　　　.
4.(2024重庆名校联盟期中)函数f(x)的定义域为(0,+∞), x,y∈(0,+∞),总有f(xy)=f(x)+f(y),且当x>1时, f(x)<0.
(1)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递减;
(2)若f=2,求不等式f(x)+f(x-1)+2>0的解集.
题组二　单调性的应用
5.(2024吉林省实验中学期中)已知函数f(x)=若 x1,x2∈R,且x1≠x2,都有<0,则a的取值范围是　(　　)
A.(0,3]　　B.[2,+∞)　　C.(0,+∞)　　D.[2,3]
6.(2024江苏扬州中学期中)已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上单调,若 x∈(0,+∞),都有f=2,则f=(　　)
A.　　B.2 023　　C.2 024　　D.2 025
7.(2024江西吉安期中)已知函数f(x)满足对任意x1,x2∈[0,+∞),当x1f(x2)-恒成立,若f(4)=4,则不等式f(2x)<+2的解集为(　　)
A.[0,2)　　B.[0,4)　　C.(2,+∞)　　D.(4,+∞)
8.(2024河北名校强基联盟期中)已知f(x)=ax2+1是定义在R上的函数,若 x1,x2∈[-3,-1],当x1A.{0}　　　　B.[0,+∞)　　
C.　　　　D.
9.(2024湖北荆州沙市中学月考)定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足<0,且f(3)=9,则不等式f(x)>3x的解集为　　　　.
10.(2024湖南三湘名校教育联盟期中)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
3.2　函数的基本性质
3.2.1　单调性与最大(小)值
第1课时　函数的单调性
基础过关练
1.C 2.A 3.A 4.D 5.C 11.C 12.A 13.B
14.D
1.C　由题图知函数f(x)的图象在区间(-3,-1)和(1,4)上是下降的,在区间(-5,-3)和(-1,1)上是上升的,因此该函数的单调递减区间为(-3,-1),(1,4).故选C.
2.A　任取x1,x2∈R,且x1所以-f(x1)>-f(x2),A选项一定成立.
其余三项不一定成立,如当f(x)=x时,B,C不成立,当a≤0时,D不成立.故选A.
3.A　因为f(x)在[a,b]上单调递增,
所以对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),
当x1>x2时, f(x1)>f(x2),所以x1-x2>0, f(x1)-f(x2)>0,所以>0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;
当x10,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0.
综上,>0,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,因此A正确,B不正确;
由于x1,x2的大小关系不确定,所以f(x1)与f(x2)的大小关系不确定,故C,D不正确.故选A.
4.D　
5.C　易得f(x)===1-,
画出函数f(x)的图象,如图所示.
所以函数f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均单调递增,故选C.
解题模板　对“一次分式”函数,常利用分离常数的方法转化解析式,然后通过反比例函数的图象结合平移变换解决问题.
6.答案　(-∞,3]
解析　因为 x∈R,都有f(x)≤f(3),
所以f(x)的图象开口向下,对称轴是直线x=3,
因此函数f(x)的单调递增区间为(-∞,3].
7.答案　
解析　由已知得f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图.
由图可得f(x)的单调递减区间是.
8.答案　(-∞,1)和
解析　令x2-3x+2=0,得x=1或x=2,则f(x)=|x2-3x+2|=作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和.
易错警示　求函数的单调区间,若单调递减(增)区间有多个,则写出单调区间时不能用“∪”连接.
9.解析　(1)f(1)=12-2×1=-1;f(-6)=-(-6)-3=3, f(f(-6))=f(3)=32-2×3=3.
(2)画出f(x)的图象,如图:
(3)由(2)中图象可知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,0),(0,1);单调递增区间为(1,+∞).
函数f(x)的值域为(-3,+∞).
10.解析　(1)∵f(x)的图象过点A(1,5),B(2,4),
∴解得∴f(x)=x+.
(2)函数f(x)=x+在(0,2)上单调递减.
证明:任取x1,x2∈(0,2),且x1则f(x1)-f(x2)=-
=,
∵00,x1x2-4<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(0,2)上单调递减.
11.C　∵函数y=f(x)在R上为增函数,且f(2m)>f(-m+9),∴2m>-m+9,解得m>3,故选C.
12.A　易知二次函数y=x2-2ax+1的图象的对称轴为直线x=a,若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递增函数,则有a≤2;若y=x2-2ax+1在区间(2,3)内是单调递减函数,则有a≥3.故选A.
易错警示　解决二次函数的单调性问题,其关键是确定二次函数图象的对称轴与单调区间之间的位置关系,由此对参数进行分类讨论.
13.B　根据题意,结合y=x2-2ax(x≥1)的图象,知f(x)必定为增函数,
则有解得0易错警示　由分段函数的单调性确定参数的值时,不仅要分别利用每段函数的单调性列出不等式,还要根据在分界点处的函数值的大小关系列出不等式.
14.D　|f(x+1)|≥1可化为f(x+1)≤-1或f(x+1)≥1,
因为f(0)=-1, f(3)=1,
所以f(x+1)≤f(0)或f(x+1)≥f(3),
又f(x)为R上的增函数,所以x+1≤0或x+1≥3,解得x≤-1或x≥2,
即不等式的解集为(-∞,-1]∪[2,+∞).故选D.
15.答案　-1
解析　易得f(x)=x2+2(a-2)x+2的单调递增区间为[2-a,+∞),∴2-a=3,∴a=-1.
易错警示　注意函数在某区间上单调递增(减)与函数的单调递增(减)区间为某区间的区别,对“某区间”:前者为单调递增(减)区间的子集,后者即为单调递增(减)区间.
16.答案　(1,+∞)
解析　函数f(x)==a+,由当x∈(1,+∞)时, f(x)单调递减,得a-1>0(根据反比例函数的单调性),解得a>1,∴a的取值范围为(1,+∞).
17.解析　(1)由关于x的不等式f(x)<0的解集为(-2,3),可得关于x的一元二次方程f(x)=0的两根为-2和3,
所以解得
当a=1,b=-6时, f(x)=x2-x-6=(x-3)(x+2),符合题意,故实数a,b的值分别为1,-6.
(2)由已知得二次函数y=f(x)的图象开口向上,且对称轴方程为x=,
若函数f(x)在上单调递增,
则≤-,解得a≤-,
故实数a的取值范围为.
能力提升练
1.D 2.CD 5.D 6.D 7.C 8.C
1.D　由题意知0≤x2≤9,解得-3≤x≤3,
∴函数y=f(x2)的定义域为[-3,3],
设g(x)=x2,则函数g(x)的单调递增区间为[0,3],单调递减区间为[-3,0],
由复合函数的单调性知,函数y=f(x2)在区间[0,3]上单调递增,故选D.
2.CD　不妨设x1>x2>0,由>0,可得x2 f(x1)-x1 f(x2)>0,∴>,∴函数y=在(0,+∞)上单调递增.
对于A,y==,易知函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以A不符合题意;
对于B,y==x+,易知函数y=x+在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以B不符合题意;
对于C,y==x2-1,易知函数y=x2-1在(0,+∞)上单调递增,所以C符合题意;
对于D,y==x3,易知函数y=x3在(0,+∞)上单调递增,所以D符合题意.故选CD.
3.答案　[2,+∞)
解析　由x2-3x+2≥0得x≤1或x≥2,因此函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪[2,+∞)易错点.
又y=在[0,+∞)上单调递增,u=x2-3x+2在上单调递减,在上单调递增,
∴f(x)的单调递增区间为[2,+∞).
4.解析　(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x11,故f<0,
因为f(x2)-f(x1)=f-f(x1)=f+f(x1)-f(x1)=f<0,
所以f(x2)(2)因为f=2,
所以f(x)+f(x-1)+2=f(x)+f(x-1)+f=f>0,
在f(xy)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,
所以f>f(1),
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以解得1名师点评　抽象函数问题的解决常用赋值法,赋值应以结论为依据.
5.D　由已知得函数f(x)在R上单调递减,
所以解得2≤a≤3.故选D.
6.D　由题意设f(x)-=c(c>0),故f(x)=c+,且f(c)=c+=2,所以c=1,所以f(x)=+1,则f=2 025.故选D.
7.C　由f(x1)->f(x2)-,得f(x1)--2>f(x2)--2,构建函数F(x)=f(x)--2,
可知 x1,x2∈[0,+∞),当x1F(x2),故F(x)在[0,+∞)上单调递减,
∵f(2x)<+2, f(4)=4,∴F(2x)=f(2x)--2<0,且F(4)=f(4)--2=0,
∴2x>4,解得x>2,因此不等式f(2x)<+2的解集为(2,+∞).故选C.
8.C　由已知得f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2对任意x1,x2∈[-3,-1],x1设g(x)=f(x)-2x=ax2-2x+1,则g(x)在[-3,-1]上单调递减,
当a=0时,g(x)=-2x+1,符合题意;
当a>0时,易得≥-1,解得a≤-1或a>0,所以a>0;
当a<0时,易得≤-3,解得-≤a<0.
综上,a≥-.故选C.
9.答案　(0,3)
解析　不妨设x1>x2>0,因为<0,
所以x2 f(x1)-x1 f(x2)<0,即<,
令g(x)=,则g(x1)不等式f(x)>3x的两边同时除以x得 >3,
因为f(3)=9,所以g(3)==3,所以g(x)>g(3),
因为g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以0所以原不等式的解集为(0,3).
10.答案　
解析　易得二次函数y=-x2+ax+的图象的对称轴方程为x=-=4a,
函数y=|x-a|的单调递减区间为(-∞,a),单调递增区间为[a,+∞),
若函数f(x)在R上单调递增,则解得≤a≤,故实数a的取值范围为.
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