2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用

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2025人教A版高中数学必修第一册
2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用
基础过关练
题组一　对基本不等式的理解
1.下列说法正确的是(　　)
A.a2+b2≥2ab成立的前提条件是a≥0,b≥0
B.a2+b2>2ab成立的前提条件是a,b∈R
C.a+b≥2成立的前提条件是a≥0,b≥0
D.a+b>2成立的前提条件是ab>0
2.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是(　　)
A.a=2　　　　B.a=±2
C.a=　　　　D.a=±
3.(2024广东惠州实验中学月考)下列不等式以及不等式中的等号一定成立的是(　　)
A.+≥2　　　　
B.x+3+≥2(其中x>-3)
C.≥2　　　　
D.x-1+≥2(其中x>2)
题组二　利用基本不等式求最大(小)值
4.(2024湖南师大附中月考)已知x>2,则+4x的最小值是(　　)
A.6　　B.8　　C.12　　D.16
5.(2024河南郑州外国语学校月考)已知0A.　　B.4　　C.　　D.5
6.(2024山东日照实验高级中学段考)已知x<1,则x+的最大值是　　　　.
7.(教材习题改编)已知08.(2024天津耀华中学月考)(1)已知x<,求4x-2+的最大值;
(2)设x>-1,求的最小值.
题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用
9.(2024安徽安庆新安中学月考)设x>0,y>0,且不等式(ax+y)≥9恒成立,则正实数a的取值范围是(　　)
A.010.若 x>3,a11.(2024四川成都外国语学校月考)已知 x∈{x|x>1},>m恒成立,则实数m的取值范围是　　　　.
能力提升练
题组一　对基本不等式的理解
1.已知a,b为正实数,则“≤2”是“ab≤16”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(多选题)下列结论中正确的是(　　)
A.若a,b≠0,则≥2
B.若x<0,则x+≥-4
C.若a>0,b>0,则+≥a+b
D.若a,b∈R,则≥
3.(多选题)(2024四川成都七中月考)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.ab≤1　　　　B.+≤　　
C.a2+b2≥2　　　　D.+≥2
题组二　利用基本不等式求最大(小)值
4.(2024山东日照实验高级中学段考)已知0A.　　　　B.2　　
C.　　　　D.4
5.已知a>b>0,则a2+的最小值为(　　)
A.8　　B.8　　C.16　　D.16
6.(2024湖北宜昌部分省级示范高中月考)(1)已知正数x,y满足x+y=1,求+的最小值;
(2)求(x>-1)的最小值.
7.(2024江苏镇江扬中段考)已知a>0,b>0.
(1)若a+b=4,求+的最小值及此时a,b的值;
(2)若2a2+b2=4a+4b,求+的最小值及此时a,b的值;
(3)若a2+3b2+4ab-6=0,求5a+9b的最小值及此时a,b的值.
题组三　利用基本不等式求最大(小)值的应用
8.(多选题)(2024福建厦门段考)已知m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式+≥4恒成立,则m的值可以是(　　)
A.1　　B.　　C.2　　D.2
9.(2024广东广州执信中学月考)已知x>0,y>0,若不等式x+≤a(x+y)恒成立,则实数a的最小值为(　　)
A.　　B.-1　　C.+1　　D.
10.(2024山东青岛二中段考)当x>a时,关于x的不等式≥5恒成立,求实数a的取值范围.
教材深研拓展
11.(多选题)(2024福建三明一中月考)《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何 ”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边BC的中点,作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是(　　)
　　
A.由题图(1)和题图(2)的面积相等得d=
B.由AE≥AF可得≥
C.由AD≥AE可得≥
D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab
12.(2024湖南长沙市一中段考)设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数.如图,C为线段AB上的点,且AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,则图中线段OD的长度是a,b的算术平均数,线段　　　　的长度是a,b的几何平均数,线段　　　　的长度是a,b的调和平均数.
答案与分层梯度式解析
2.2　基本不等式
第1课时　基本不等式、求最大(小)值及其应用
基础过关练
1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 9.C
1.C　A错误,应为a,b∈R;B错误,应为a,b∈R,且a≠b;D错误,应为a≥0,b≥0,且a≠b;C正确.故选C.
2.D　该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D.
3.B　对于A,当x<0时,不等式不成立,因此A错误;
对于B,因为x>-3,所以x+3>0,所以x+3+≥2=2,当且仅当x+3=,即x=-2时,等号成立,因此B正确;
对于C,因为≥2,所以==+≥2,当且仅当=1时等号成立,与≥2矛盾,因此C错误;
对于D,因为x>2,所以x-1>1,则x-1+≥2,
当且仅当x-1=1,即x=2时等号成立,与x>2矛盾,因此D错误.故选B.
易错警示　利用基本不等式解题要注意验证“一正、二定、三相等”,只有三条同时满足才能得出结论.
4.D　因为x>2,所以x-2>0,
所以+4x=+4(x-2)+8≥2+8=16,当且仅当=4(x-2),即x=3时取等号,
故选D.
5.C　因为0所以+=(a+2-a)=5++≥5+2=,
当且仅当=,即a=时取等号.故选C.
解题模板　解决分式类型代数式的最大(小)值问题,常需找出各个分式间的关系,即“隐含条件”,如本题中的“a+(2-a)=2”是定值,从而得到解决问题的方法.
6.答案　-3
解析　因为x<1,所以x-1<0,因此1-x>0,
所以x+=(x-1)++1=-+1≤-2+1=-4+1=-3,
当且仅当1-x=,即x=-1时等号成立,所以x+的最大值是-3.
易错警示　求整式+分式形式代数式的最大(小)值时,要验证各项为正数,若均不是正数可提取负号再用基本不等式,如本题中将所求式子变形为-+1求解.
7.答案　
解析　∵00,∴x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤·=,
当且仅当3x=4-3x,即x=时取等号.
8.解析　(1)∵x<,∴5-4x>0,
∴4x-2+=4x-5++3=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立,∴4x-2+的最大值为1.
(2)∵x>-1,∴x+1>0,设x+1=t>0,则x=t-1,
∴===t++5≥2+5=9,
当且仅当t=,即t=2,x=1时,等号成立,
∴的最小值为9.
9.C　∵x>0,y>0,a>0,
∴(ax+y)=a+1++≥a+1+2=(+1)2(最小值),当且仅当=时取“=”,又∵(ax+y)≥9恒成立,∴(+1)2≥9,解得a≥4,故选C.
10.答案　{a|a<15}
解析　 x>3,x2-9>0,则x2+=x2-9++9≥2+9=15,当且仅当x2-9=,即x=2时,等号成立,所以=15,故a<15.
解题模板　解决不等式恒成立问题,常将不等式变形(分离变量等),再将不等式恒成立问题转化为最大(小)值问题,符合“一正、二定、三相等”的则利用基本不等式求解最大(小)值.
11.答案　m<2+2
解析　∵ x∈{x|x>1},>m恒成立,
∴m<,
由x>1得x-1>0,令t=x-1,t>0,则x=t+1,
则===t++2≥2+2,
当且仅当t=,即x=1+时,取得等号,
∴m<2+2.
能力提升练
1.B 2.AC 3.ACD 4.C 5.C 8.CD 9.D 11.BCD
1.B　∵a,b为正实数,∴a+b≥2,当且仅当a=b时等号成立.
由ab≤16,可得≤=≤=2,故必要性成立;
当a=2,b=10时,≤2,但ab=20>16,故充分性不成立.
因此“≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件.故选B.
2.AC　=+≥2,当且仅当a=±b时取等号,故A正确;
当x<0时,-x>0,则x+=-≤-2×=-4当且仅当-x=-,即x=-2时,取“=”,故B错误;
当a>0,b>0时,+a≥2=2b,+b≥2=2a(当且仅当a=b时,等号同时成立),相加可得+≥a+b,故C正确;
当a<0,b<0时,≥不成立,故D错误.故选AC.
3.ACD　当a>0,b>0时,由≥得ab≤1,当且仅当a=b=1时取“=”,因此A正确;
由≤=1得+≤2,当且仅当a=b=1时取“=”,故+≤不恒成立,因此B错误(也可令a=1,b=1,得+=2);由1=≤得a2+b2≥2,当且仅当a=b=1时取“=”,因此C正确;由≤=1得+≥2,当且仅当a=b=1时取“=”,因此D正确.故选ACD.
解题模板　与平均值有关的数可用基本不等式求解,解题时注意运用不等式链:≤≤≤(a>0,b>0),当且仅当a=b时取“=”.
4.C　因为00,所以+=+=[2x+(3-2x)]利用[2x+(3-2x)]=1进行代换
=2+++2
≥=,
当且仅当=,即x=时等号成立,所以+的最小值为.故选C.
5.C　∵a>b>0,∴a-b>0,则b(a-b)≤=,∴a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当即时,等号成立.故选C.
易错警示　两次利用基本不等式求最大(小)值时要注意两点:一是不等号的方向相同,二是不等式中的等号能同时成立.
6.解析　(1)由x+y=1可得x+y+1=2,
则+=[x+(1+y)]=1+4++≥=,当且仅当=且x+y=1,即x=,y=时取等号,故+的最小值为.
(2)∵x>-1,∴x+1>0,∴==x+1++5≥2+5=9,当且仅当x+1=,即x=1时取等号,
故的最小值为9.
7.解析　(1)∵a+b=4,a>0,b>0,
∴+=(a+b)=++≥+2=,当且仅当4a2=b2,即a=,b=时取等号,
∴+的最小值为,此时a=,b=.
(2)∵2a2+b2=4a+4b,
∴+===+≥2=,
当且仅当2a2=b2,即a=1+,b=+2时取等号,
∴+的最小值为,此时a=1+,b=+2.
(3)∵a2+3b2+4ab-6=0,∴(a+3b)(a+b)=6,
∴5a+9b=2(a+3b)+3(a+b)≥2=12,当且仅当2(a+3b)=3(a+b),即a=,b=时取等号,∴5a+9b的最小值为12,此时a=,b=.
8.CD　由xy>0,且x+y=2,得x>0,y>0,又m>0,
所以+=(x+y)=++m+2≥(2+m+2),当且仅当=时,等号成立,
又因为不等式+≥4恒成立,所以(2+m+2)≥4,整理得(+3)(-)≥0,
又+3>0,因此≥,即m≥2.
结合选项知选CD.
9.D　∵x>0,y>0,∴不等式x+≤a(x+y)可化为a≥,即a≥,
令t=1+(t>1),则a≥,
∵t>1,∴==≤==,
当且仅当t=,即t=时取“=”,
故的最大值为,∴a≥,
∴实数a的最小值为,故选D.
10.解析　不等式≥5,即x+≥,
因为x>a,所以x-a>0,所以x+=x-a++a≥a+2,当且仅当x-a=,即x=a+1时,等号成立,因此a+2≥,解得a≥,
所以实数a的取值范围是.
11.答案　BCD　
信息提取　AF是斜边上的高,AD是斜边上的中线,AE是正方形的对角线,AE等于正方形边长的倍.
解析　由题图(1)和题图(2)的面积相等可得ab=(a+b)d,得d=,故A错误;
由题意知题图(3)的面积为ab=·AF,故AF=,由D是斜边中点得AD=BC=,
设题图(3)中正方形的边长为x,由三角形相似,得=,解得x=,则AE=,
由AE≥AF可得≥,化简可得≥,故B正确;
由AD≥AE可得≥,化简可得≥,故C正确;
由AD≥AF可得≥,化简可得a2+b2≥2ab,故D正确.故选BCD.
12.答案　CD;DE
思路点拨　在Rt△ADB中,DC⊥AB,根据射影定理可得CD2=AC·CB,开方可得第一空答案(a,b的几何平均数为);用a,b表示OC,OD,CD,根据△OCD面积的两种算法表示出CE,进而得出OE,DE,结合调和平均数的定义知DE的长度为a,b的调和平均数.
解析　在Rt△ADB中,DC为斜边AB上的高,则由射影定理可得CD2=AC·CB,
∴CD=,即CD的长度为a,b的几何平均数.
易得OC=a-=,在Rt△OCD中,由OD·CE=OC·CD,
可得CE==,故OE==,
∴DE=OD-OE=,
∴DE的长度为a,b的调和平均数.
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