2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第1课时　两角差的余弦公式（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2023河南郑州一中期末)sin 20°cos 40°+sin 70°sin 40°=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.cos(-75°)的值为　　　　.
3.(教材习题改编)计算:sin 75°+cos 75°=　　　　.
4.化简:=　　　　.
题组二　给值求值
5.(教材习题改编)设α∈,若sin α=,则cos=(　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
6.(2024浙江衢州期末)已知α,β∈,且cos(α+β)=,sin α=,则cos β=(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.
7.(2024上海建平中学期末)已知α为锐角,cos=,则cos α=　　　　.
8.已知2cos α-cos β=,2sin α-sin β=2,则cos(α-β)=　　　　.
9.(2024北京丰台期末)在平面直角坐标系xOy中,角α和角β的顶点均与坐标原点O重合,始边均为x轴的非负半轴,终边分别与单位圆交于P,Q两点,若P,Q两点关于y轴对称,点P位于第一象限,横坐标为.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)求的值.
题组三　给值求角
10.已知α为钝角,β为锐角,满足cos α=-,sin β=,则α-β=　　　　.
11.(2024天津耀华中学期末)已知α,β均为锐角,且cos α=,cos(α+β)=-,则β=　　　　.
12.已知α,β,γ∈,sin α+sin γ=sin β,cos β+cos γ=cos α,求β-α的值.
答案与分层梯度式解析
5.5　三角恒等变换
5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
基础过关练
1.D 5.A 6.C
1.D　sin 20°cos 40°+sin 70°sin 40°=cos 70°cos 40°+sin 70°sin 40°=cos(70°-40°)=cos 30°=,故选D.
2.答案　
解析　解法一:cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)cos 45°+sin(-30°)sin 45°=×-×=.
解法二:cos(-75°)=cos 75°=cos[30°-(-45°)]=cos 30°cos(-45°)+sin 30°sin(-45°)=×-×=.
3.答案　
解析　原式=sin 30°sin 75°+cos 30°cos 75°
=cos(75°-30°)=cos 45°=.
4.答案　
解析　
=
==.
5.A　∵sin α=,α∈,∴cos α=,
∴cos=
=cos α+sin α=+=.故选A.
6.C　因为α,β∈,所以α+β∈(0,π),
所以sin(α+β)==,cos α==,
所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=×+×=,故选C.
7.答案　
解析　因为α为锐角,所以0<α<,所以<α+<,所以sin>0,
又因为cos=,所以sin===,
所以cos α=cos=coscos +sinsin =×+×=.
8.答案　-
解析　由题意得(2cos α-cos β)2=4cos2α-4cos α·cos β+cos2β=,(2sin α-sin β)2=4sin2α-4sin α·sin β+sin2β=4,两式相加,得5-4(cos αcos β+sin αsin β)=5-4cos(α-β)=,故cos(α-β)=-.
9.解析　(1)由题意得,点P的坐标为,点Q的坐标为,
由三角函数的定义可得cos α=,sin α=,cos β=-,sin β=,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.
(2)原式===-7.
10.答案　
解析　∵α为钝角,β为锐角,且cos α=-,sin β=,
∴sin α==,cos β==,
则cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-×+×=-.
又α-β∈(0,π),∴α-β=.
11.答案　
解析　∵α,β均为锐角,
∴sin α==,sin(α+β)==,
∴cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)·sin α=-×+×=,∴β=.
12.解析　由已知,得sin γ=sin β-sin α①,
cos γ=cos α-cos β②,
①2+②2得1=(sin β-sin α)2+(cos α-cos β)2,
∴-2cos(β-α)=-1,∴cos(β-α)=,
∵α,β∈,∴β-α∈,∴β-α=±.
∵γ∈,∴sin γ=sin β-sin α>0,
∴β>α,∴β-α=.
易错警示　在解决三角函数求值问题时,既要注意角的范围对求值的影响,也要考虑三角函数值对角的范围的影响,如本题中“sin γ=sin β-sin α>0”是舍去“β-α=-”的依据.
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