2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第2课时　单调性与值域（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第2课时　单调性与值域
基础过关练
题组一　正、余弦(型)函数的单调性
1.(2024天津北辰段考)下列函数中,以为最小正周期且在区间上单调递增的是(　　)
A. f(x)=sin|x|　B. f(x)=cos|x|　　C. f(x)=|sin 2x|　　D. f(x)=|cos 2x|
2.(2024陕西西安高新一中月考)若函数f(x)=sin在区间上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　B.　　C.(0,1]　　D.[1,+∞)
3.(易错题)(2024湖南株洲二中期末)f(x)=的单调递减区间是　　　　　　.
4.函数y=sin,x∈[-2π,2π]的单调递增区间是　　　　.
题组二　利用正、余弦函数的单调性比较大小
5.下列关系式中正确的是(　　)
A.sin 11°C.sin 11°6.(教材习题改编)比较下列各组数的大小:
(1)sin 220°与sin 230°;
(2)cos 与cos ;
(3)sin与cos.
题组三　正、余弦(型)函数的值域与最大(小)值
7.(2024安徽部分学校期末联考)函数f(x)=sin在上的值域为(　　)
A.　　　　B.　　
C.　　　　D.[0,1]
8.(2022陕西西北大学附属中学月考)y=sin x-|sin x|的值域是(　　)
A.[-1,0]　　　　B.[0,1]
C.[-1,1]　　　　D.[-2,0]
9.函数y=的最小值是(　　)
A.2　　B.-2　　C.1　　D.-1
10.(易错题)若|x|≤,则y=cos2x+sin x的最小值是　　　　.
11.已知函数f(x)=3sin是奇函数.
(1)求函数f(x)的最大值与最小值,并分别写出取得最大值、最小值时自变量x的取值集合;
(2)求函数g(x)=f,x∈的单调递增区间.
能力提升练
题组一　正、余弦(型)函数的单调性与最大(小)值
1.(2024福建厦门一中月考)已知函数f(x)=2sin(ω>0),则“f(x)在上存在最大值”是“ω=1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2024江苏南京师大附中期末)已知常数ω>0,函数f(x)=sin ωx在区间上单调,则ω不可能等于(　　)
A.　　B.2　　C.　　D.
3.(2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知x,y∈,则“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.若关于x的方程cos2x-sin x+a=0在内有解,则实数a的取值范围是　　　　.
5.(2024湖北部分学校期末联考)已知函数f(x)=acos+b-2(a>0,b∈R),且函数f(x)在区间上的值域为[-2,1].
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)令函数g(x)=ln f(x),求函数g(x)的单调递增区间.
题组二　正、余弦(型)函数性质的综合运用
6.(多选题)(2024湖南湘西期末)已知函数f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,则(　　)
A.ω=2
B. f(x)的图象与y轴交于点
C. f(x)的图象关于直线x=对称
D. f(x)在区间上单调递增
7.(2024重庆巴蜀中学期末)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且在上有且仅有1个零点,则ω的取值范围为(　　)
A.　　　　B.∪
C.∪　　　　D.∪
8.(多选题)(2024江苏南京师范大学苏州实验学校学情调研)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|,下列选项正确的是(　　)
A. f(x)的最小正周期是2π
B. f(x)在区间上单调递减
C. f(x)在[-π,π]上有4个零点
D. f(x)的最大值为2
9.(2024河北沧州部分学校月考)已知,t是函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的两个零点,的最小值为,且=2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在上的值域.
10.(2024广东广州九区期末联考)已知函数f(x)=2sin,x∈R.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,求m的取值范围;
(3)若函数h(x)=f(x)-n(n∈R)有且仅有3个零点,求所有零点之和.
答案与分层梯度式解析
第2课时　单调性与值域
基础过关练
1.D 2.C 5.C 7.A 8.D 9.B
1.D　f(x)=sin|x|不是周期函数,因此A错误;
f(x)=cos|x|=cos x,它的最小正周期为2π,因此B错误;
f(x)=|sin 2x|的最小正周期为×=,当x∈时,2x∈,易知f(x)=|sin 2x|在该区间上单调递减,因此C错误;
f(x)=|cos 2x|的最小正周期为×=,当x∈时,2x∈,易知f(x)=|cos 2x|在该区间上单调递增,因此D正确.故选D.
2.C　当x∈时,ωx+∈,
由于函数f(x)=sin在区间上单调递增,因此ω>0,且+≤,解得0<ω≤1,则ω的取值范围是(0,1].故选C.
3.答案　,k∈Z
解析　函数f(x)的定义域满足sin x≥,解得+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的定义域为,k∈Z,
又y=在[0,+∞)上单调递增,故f(x)的单调递减区间即为y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间,易知y=sin x-在,k∈Z上的单调递减区间为,k∈Z,
所以函数f(x)=的单调递减区间为,k∈Z.
4.答案　
解析　令-+2kπ≤x+≤+2kπ(k∈Z),
得-+4kπ≤x≤+4kπ(k∈Z),
因为x∈[-2π,2π],所以k=0,则-≤x≤,
所以所求单调递增区间是.
一题多解　由-2π≤x≤2π得-≤x+≤,当-≤x+≤,即-≤x≤时,函数y=sin单调递增,故单调递增区间为.
5.C　易得sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°,cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°,∵y=sin x在上单调递增,0°<11°<12°<80°<90°,
∴sin 11°即sin 11°6.解析　(1)因为函数y=sin x在上单调递减,且90°<220°<230°<270°,所以sin 220°>sin 230°.
(2)cos =cos=cos ,cos =cos=cos .
因为函数y=cos x在[0,π]上单调递减,且0<<<π,所以cos >cos ,即cos >cos .
(3)sin=sin =-sin ,cos=cos =-cos =-sin .
因为函数y=sin x在上单调递增,且-<<<,所以sin -sin ,即sin>cos.
7.A　由x∈,可得2x+∈,所以f(x)=sin∈,
即f(x)在上的值域为.故选A.
8.D　y=sin x-|sin x|=当-1≤sin x<0时,-2≤2sin x<0,因此函数的值域为[-2,0].
9.B　因为y==2-,所以当sin x=-1时,y=取得最小值,为-2.
10.答案　
解析　y=cos2x+sin x=1-sin2x+sin x=+,因为|x|≤,所以-≤sin x≤,所以当sin x=-时,y取得最小值,为.
11.解析　(1)由题意得f(0)=0,即3sin=0,因此-+φ=kπ,k∈Z,即φ=kπ+,k∈Z,
又0<φ<,所以φ=,故f(x)=3sin 2x.
当2x=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z)时,f(x)取得最大值,为3;当2x=2kπ-(k∈Z),即x=kπ-(k∈Z)时,f(x)取得最小值,为-3,
所以f(x)取最大值3时,自变量x的取值集合是, f(x)取最小值-3时,自变量x的取值集合是.
(2)由(1)得g(x)=f=3sin=-3sin,x∈,
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数g(x)=f,x∈的单调递增区间为.
能力提升练
1.B 2.C 3.A 6.ACD 7.C 8.BD
1.B　∵00,∴<ωx+<ω+,
∴f(x)在上存在最大值,等价于ω+>,等价于ω>,
所以“f(x)在上存在最大值”是“ω=1”的必要不充分条件.故选B.
2.C　因为x∈,ω>0,所以ωx∈,所以当f(x)在区间上单调时,在内不含形如+kπ,k∈Z的值.对于A,当ω=时,区间即,因此A符合条件;对于B,当ω=2时,区间即,因此B符合条件;对于C,当ω=时,区间即,由于∈,因此C不符合条件;对于D,当ω=时,区间即,因此D符合条件.故选C.
3.A　设F(x)=x3+sin x,x∈,定义域关于原点对称,
又F(-x)=(-x)3+sin(-x)=-(x3+sin x)=-F(x),所以函数F(x)为奇函数,
又y=x3与y=sin x在x∈上均单调递增,所以函数F(x)在上单调递增.
若x3+y3>-sin x-sin y,则x3+sin x>-y3-sin y,即F(x)>F(-y),
所以x>-y,即x+y>0,此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充分条件;
当x+y>0,即x>-y时,有F(x)>F(-y),
即x3+sin x>-y3-sin y,即x3+y3>-sin x-sin y,此时“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的必要条件.
综上所述,“x3+y3>-sin x-sin y”是“x+y>0”的充要条件.故选A.
4.答案　
解析　方程可化为a=sin x-cos2x,设f(x)=sin x-cos2x,x∈,则f(x)=sin x-(1-sin2x)=sin2x+sin x-1=-,x∈.
由x∈知,sin x∈(-1,1],∴当sin x=-时, f(x)取得最小值,为-,当sin x=1时, f(x)取得最大值,为1,∴f(x)的值域为.
原方程在内有解等价于a=f(x)有解,
∴实数a的取值范围是.
5.解析　(1)当x∈时,2x+∈,
所以cos∈,又a>0,所以f(x)的值域是-a+b-2,+b-2,
由题意得解得所以函数f(x)=2cos.
(2)由题意得g(x)=ln f(x)=ln,
令2cos>0,得-+2kπ<2x+<+2kπ,k∈Z,得-+kπ即g(x)的定义域为,k∈Z,因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以求g(x)的单调递增区间,即求f(x)的单调递增区间.令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,得-+kπ≤x≤-+kπ,k∈Z,结合g(x)的定义域得函数g(x)的单调递增区间为,k∈Z.
6.ACD　∵f(x)=2cos(ω>0)的最小正周期为π,∴T==π,∴ω=2,故A正确;
由A知f(x)=2cos,当x=0时,f(0)=2cos=1,故B错误;
f=2cos π=-2,为最小值,∴f(x)的图象关于直线x=对称,故C正确;
∵x∈,∴2x-∈,
又 (-π,0),∴f(x)在区间上单调递增,故D正确.
故选ACD.
7.C　因为x∈,ω>0,所以ωx-∈.
因为f(x)在上单调递增,
因此-ω-≥-,则0<ω≤2.
当x∈时,ωx-∈,
由0<ω≤2得ω-∈,ω-∈.
因为函数f(x)=sin(ω>0)在上有且仅有1个零点,
所以或解得<ω<或<ω≤.
综上,ω的取值范围为∪.故选C.
8.BD　选项A,令x=-,得f=sin+=+=1, f=sin+=-+=0,此时f(x)≠f(x+2π),故A错误;
选项B,当x∈时,sin x>0,所以f(x)=sin|x|+|sin x|=2sin x,则f(x)在区间上单调递减,故B正确;
选项C,f(x)=sin|x|+|sin x|=
若x∈[-π,0),令f(x)=0,得-2sin x=0,解得x=-π,
若x∈[0,π],令f(x)=0,得2sin x=0,解得x=0或x=π,
所以函数f(x)在[-π,π]上有3个零点,故C错误;
选项D,因为sin|x|≤1,|sin x|≤1,所以f(x)=sin|x|+|sin x|≤2,
又f=sin+=2,所以f(x)的最大值为2,故D正确.故选BD.
9.解析　(1)设f(x)的最小正周期为T,
因为,t是函数f(x)的两个零点,的最小值为,所以==,故ω=2.
由f=0得cos=0,所以+φ=+kπ,k∈Z,得φ=+kπ,k∈Z,
因为0<φ<,所以φ=,
由=2,可得===|-A|=2,
又A>0,所以A=2,所以f(x)=2cos.
(2)令t=2x+,由-π≤x≤-,得-≤t≤-,
易知y=cos t在上单调递减,在上单调递增,
且cos=cos=cos =,cos(-π)=-1,cos=-,
所以-2≤2cos t≤,即f(x)在上的值域为[-2,].
10.解析　(1)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为函数g(x)=f(x)-m在区间上有两个零点,
所以方程f(x)=m在区间上有两个根,
由(1)知f(x)在上单调递增,在上单调递减,
又f(0)=2sin=-,f=2sin =2,f=2sin =,所以若f(x)=m在上有两个根,则≤m<2,
所以m的取值范围为[,2).
(3)令2x-=kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以函数f(x)=2sin的图象的一个对称中心为,
又直线y=n关于点中心对称,
所以函数h(x)的图象关于点中心对称,
且h=0,
故可设函数h(x)=f(x)-n(n∈R)的另两个零点分别为a,b,
易得a+b=,故所有零点之和为+=.
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