2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第2课时　基本不等式的其他应用（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第2课时　基本不等式的其他应用
基础过关练
题组一　利用基本不等式比较大小
1.设0A.　　B.a2+b2　　C.2ab　　D.a
2.已知a,b,x,y都是正实数,且+=1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系是　　　　.
3.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价 %,若p,q>0,且p≠q,则提价较多的方案是　　　　.
题组二　利用基本不等式证明不等式
4.(2024湖南师大附中月考)已知a>0,b>0,a+b=ab.
(1)求证:a+b≥4;
(2)求证:≤.
5.(教材习题改编)已知a,b,c是三个不全相等的正数.求证:++>3.
6.(2024湖南长沙雅礼中学月考)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1.
(1)求证:≥8;
(2)求证:++≥9.
题组三　利用基本不等式解决实际问题
7.(教材习题改编)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为900元,若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元,为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(　　)
A.30件　　　　B.60件
C.80件　　　　D.100件
8.(2024湖北孝感一中摸底考试)用一长度为2 m的铁丝围成一个长方形,则其面积的最大值为　　　　.
9.(2024山西大学附中模块诊断)为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg/L)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过　　　　h后池水中药品的浓度达到最大.
10.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4 000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s(单位:元)满足s=3 000+50x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层 每平方米的平均综合费用的最小值是多少
注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=
11.(2024江西南昌一中月考)某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD,如图)上设计四个等高的宣传栏(栏面分别为两个全等的等腰三角形和两个全等的直角三角形且GH=2EF),宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为36 000 cm2.为了美观,要求海报上所有方向的留空宽度均为10 cm,设EF=x cm.
(1)当x=100时,求海报纸的面积;
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
能力提升练
题组一　利用基本不等式比较大小
1.(2024湖北宜昌部分省级示范高中月考)已知a,b>0,则下列不等式中不成立的是(　　)
A.a+b+≥2　　　　
B.(a+b)≥4
C.≥2　　　　
D.>
2.(多选题)(2024江苏部分重点中学联考)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)
A.≥　　　　B.+≥1　　C.≥2　　　　D.a2+b2≥8
3.(2022河南豫西名校联考)设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(aA.v=　　　　B.v=
C.4.(2024山东青岛二中段考)近来牛肉价格起伏较大,假设第一周、第二周的牛肉价格分别为a元/斤、b元/斤(a≠b),学校甲食堂和乙食堂在这两周中购买牛肉的方式不同,甲食堂每周购买6 000元的牛肉,乙食堂每周购买80斤牛肉,甲、乙食堂两次购买牛肉的平均单价分别记为m1元,m2元,则下列结论正确的是(　　)
A.m1=m2　　　　B.m1>m2　　
C.m2>m1　　　　D.m1,m2的大小无法确定
题组二　利用基本不等式证明不等式
5.(2024河南洛阳强基联盟联考)已知集合D={(x1,x2)|x1+x2=2,x1>0,x2>0}.
(1)求+的最小值;
(2)对任意(a,b)∈D,证明:+≥.
6.(2024湖南长沙市一中段考)若正数a,b,c满足a+b+c=1.
(1)求ab+bc+ca的最大值;
(2)求证:++≥.
题组三　基本不等式的综合应用
7.(2022江西南昌八一中学月考)已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=求得,其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足a=6,b+c=10,则此三角形面积的最大值为　　　　.
8.(2024辽宁省实验中学段考)在只剩一面墙的破屋基础上要求修建新屋(修四面墙),旧墙长12米,新屋的面积预定为112平方米,且保留一部分旧墙作为一面墙来修建新屋.已知这项工程的费用要求是:①新料砌墙的费用为a元/米;②修理旧墙的费用相当于砌新墙的25%;③拆旧墙的一部分,利用旧料来砌同样长度的新墙,这费用相当于用新料砌墙的50%.在这种情况下旧墙保留约多少米最为合算
9.(2024湖南师大附中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血养身机,具体原理是:在足浴盆右侧离中心x(0(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y;
(2)求(1)中y的最小值.
教材深研拓展
10.(2024四川成都七中月考)现有一架坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的质量,他将物体放在左右托盘各称一次,记两次称量的结果分别为a,b,设物体的真实质量为G,则(　　)
A.=G　　B.≤G　　C.>G　　D.11.(2024河南郑州外国语学校月考)一家黄金专卖店使用一架两臂不等长的天平称黄金,其中左臂长和右臂长之比为λ(λ≠1),一位顾客到店里购买10克黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g砝码放在天平右盘中,然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡,最后将两次称得的黄金交给顾客.
(1)试分析顾客购得的黄金是小于10 g,等于10 g,还是大于10 g 为什么
(2)如果售货员又将10 g的砝码放在天平左盘中,然后取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡,请问要使得三次黄金质量总和最小,商家应该将左臂长和右臂长之比λ设置为多少 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
第2课时　基本不等式的其他应用
基础过关练
1.B　解法一:因为02a,所以a<.又因为a2+b2>2ab,所以四个数中的最大数一定不是a和2ab.又因为1=a+b>2,所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,即a2+b2>,故选B.
解法二(特值检验法):取a=,b=,则2ab=,a2+b2=.因为>>>,所以a2+b2最大,故选B.
2.答案　ab≥xy
解析　因为a>0,b>0,+=1,所以ab=ab·=a+b≥2,当且仅当a=b=2时等号成立,所以ab≥4.因为xy≤=4,当且仅当x=y=2时等号成立,所以ab≥xy.
3.答案　乙
解析　不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为,
易知≤=1+,当且仅当1+p%=1+q%,即p=q时等号成立,又p≠q,所以(1+p%)(1+q%)<,所以提价较多的方案是乙.
4.证明　(1)因为a>0,b>0,所以a+b=ab≤,解得a+b≥4,
当且仅当a=b=2时取等号,所以a+b≥4成立.
(2)因为a>0,b>0,所以ab=a+b≥2,所以ab≥4,当且仅当a=b=2时取等号,
所以=1+++=1++=2+≤2+=,所以≤成立.
5.证明　∵a,b,c是三个不全相等的正数,
∴三个不等式+≥2,+≥2,+≥2的等号不能同时成立,
则+++++>6,
∴++>3,
即++>3.
6.证明　(1)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以
=
=
≥==8=右边,当且仅当a=b=c=时等号成立,
故≥8.
(2)因为a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,
所以++=++
=+++3
≥2+2+2+3=2×3+3=9,当且仅当a=b=c=时等号成立,
故++≥9.
7.B　设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元,
则y==+≥2=30,当且仅当=,即x=60时等号成立,
故每批应生产产品60件.故选B.
8.答案　 m2
解析　设围成的长方形的一边的长为x m,则其邻边长为(1-x)m,
设该长方形的面积为S m2,
则S=x(1-x)≤=,当且仅当x=时取等号,
所以面积的最大值为 m2.
9.答案　2
解析　当t=0时,C=0,当t>0时,C==≤=5,当且仅当t=,即t=2时取等号.
因此经过2 h后池水中药品的浓度达到最大.
10.解析　设楼房每平方米的平均综合费用为y元.
依题意得y=s+=50x++3 000(x≥12,x∈N*).
因为50x++3 000≥2×+3 000=5 000,
当且仅当50x=,即x=20时,等号成立,
所以当x=20时,y取得最小值5 000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5 000元.
11.解析　(1)设阴影部分直角三角形EF边上的高为y cm,则阴影部分的面积S=2×xy+2××2xy=3xy=36 000(cm2),
所以xy=12 000,又x=100,所以y=120,
由题图知AD=y+20=140(cm),
AB=3x+50=350(cm),
∴S矩形ABCD=140×350=49 000(cm2),即海报纸的面积为49 000 cm2.
(2)由(1)知xy=12 000,x>0,y>0,
则S矩形ABCD=(3x+50)(y+20)=3xy+60x+50y+1 000≥3xy+2+1 000=49 000,当且仅当60x=50y,即x=100,y=120时取“=”.
此时AB=350 cm,AD=140 cm,
所以选择长为350 cm,宽为140 cm的海报纸可使用纸量最少.
能力提升练
1.D 2.ABD 3.D 4.C 10.C
1.D　选项A中,a+b≥2,当且仅当a=b时取“=”,2+≥2,当且仅当ab=时取“=”,
∴a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b=时取“=”,∴该不等式成立;
选项B中,(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式成立;
选项C中,≥=2,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式成立;
选项D中,≤=,当且仅当a=b时取“=”,∴该不等式不成立.故选D.
2.ABD　∵a>0,b>0,a+b=4,∴≤=2(当且仅当a=b=2时取“=”),∴ab≤4,∴≥,∴A正确,C错误;
由以上分析得+==≥=1,∴B正确;
∵2(a2+b2)≥(a+b)2=16,∴a2+b2≥8,当且仅当a=b=2时取等号,∴D正确.故选ABD.
3.D　设甲、乙两地之间的距离为s,则全程所需的时间为+,∴v==,故A错误;
∵b>a>0,∴由基本不等式可得a+b>2,∴v=<=,故B,C错误;
∵v-a=-a=>=0,
∴v>a,则a4.C　甲食堂购买牛肉的平均单价(元)为m1===,
乙食堂购买牛肉的平均单价(元)为m2==,
所以==≤=1,当且仅当a=b时取“=”,
也可直接用调和平均数与算术平均数的关系得≤,且等号不成立
因为a≠b,所以m15.解析　(1)因为x1>0,x2>0,且x1+x2=2,
所以x1+x2≥2,所以x1x2≤1,(当且仅当x1=x2=1时等号成立)
则+=-2x1x2≥4-2=2,
故+的最小值为2.
(2)证明:因为(a,b)∈D,所以a>0,b>0,a+b=2,
所以+=+=+
=(a+2+b+2)
=≥=,
当且仅当=,即a=b=1时取等号.
6.思路点拨　(1)由a+b+c、ab+bc+ca、a2+b2+c2的关系,利用已知(消去a+b+c)及基本不等式求出最大值;(2)利用基本不等式得+≥a、+≥b、+≥c,即可证明结论.
解析　(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=(2a2+2b2+2c2)+2(ab+bc+ca)≥(2ab+2ac+2bc)+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca),当且仅当a=b=c=时等号成立,
所以ab+bc+ca≤,所以ab+bc+ca的最大值为.
(2)证明:+≥2=a,当且仅当=,即2a=b+c=时等号成立,
+≥2=b,当且仅当=,即2b=c+a=时等号成立,
+≥2=c,当且仅当=,即2c=a+b=时等号成立,
故++≥a+b+c-==,当且仅当a=b=c=时等号成立.
7.答案　12
解析　∵a=6,b+c=10,∴p==8,
结合三角形的三边关系可得2∴三角形的面积S==4≤4×=12,
当且仅当b=c=5时,等号成立,此时三边可以构成三角形.
因此,该三角形面积的最大值为12.
8.解析　根据题意可设保留旧墙x米,易知0利用旧料来砌的新墙长度为(12-x)米,
又新屋的面积预定为112平方米,所以砌新墙的长度应为2×+x-(12-x)=米,
因此总费用(元)为25%·ax+(12-x)·50%·a+a=a,0利用基本不等式可得+≥2=28,
当且仅当x=8时,等号成立,
又x=8≈11.3<12,满足题意,
所以旧墙保留约11.3米最为合算.
9.解析　(1)依题意得y=+,
把x=10,y=0.065代入上式可得0.065=+,解得k=9,∴y=+(0(2)令t=x2,则y=+(0∴y=×(t+400-t)
=×4+++9
≥×13+2=0.062 5.
当且仅当t=160,即x=4时等号成立,
∴y的最小值为0.062 5.
10.C　根据题意,设天平左、右两臂的长度分别为m、n,
由两次称量的结果分别为a,b,得ma=nG且nb=mG(杠杆原理),且a≠b,
两式联立可得G2=ab,即G=,
而>,则>G,故选C.
11.解析　(1)设天平左臂长为m,右臂长为n,第一次放的黄金为x g,第二次为y g.
则5m=xn,my=5n,得x=,y=,
所以x+y=+≥2=10,当且仅当=,即m=n时取等号,
又m≠n,所以x+y>10,因此顾客购得的黄金大于10 g.
(2)设第三次放的黄金为z g,
则10m=zn(杠杆原理),代入=,可得2x=z,
故三次黄金质量总和为x+y+z=3x+y≥2=10,当且仅当3x=y,即x=,y=5时取等号,
此时λ===,
因此当λ=时,三次黄金质量总和最小.
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