2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
题组一　给角求值
1.(2024福建漳州期末)sin 102°cos 48°+cos 78°·cos 138°=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
2.(2024湖南岳阳期末)求值:tan 18°tan 42°+tan 18°-tan 138°=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
3.计算:2sin 14°cos 31°+sin 17°=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
题组二　给值求值
4.(2024北京海淀期末)已知tan=2,则tan α的值为(　　)
A.3　　B.1　　C.-3　　D.-1
5.(2024浙江温州期末)已知sin α=,α∈,则cos=　　　　.
6.(2024江苏南通期末)已知α∈,β∈,tan α=,cos(α-β)=.
(1)求sin;
(2)求sin β.
题组三　给值求角
7.(2024山西太原期末)已知α,β∈,且tan α=3,tan β=2,则α+β=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2024湖南衡阳期末)若cos θcos 2θ-sin θ·sin 2θ=-,θ∈,则θ=　　　　.
9.(2022四川内江期中)已知α,β为锐角,且sin α=,cos β=,求α+β.
题组四　利用两角和与差的三角函数公式进行化简
10.(2022山西运城期末)函数f(x)=sin+cos的最大值是(　　)
A.　　B.1　　C.　　D.2
11.(多选题)(2024广东深圳期末)在△ABC中,下列结论正确的为(　　)
A.cos Acos Bcos C>0
B.sin =cos
C.sin C=sin Acos B+cos Asin B
D.cos C=cos Acos B-sin Asin B
12.(2023重庆十八中期末)化简:=　　　.
能力提升练
题组一　利用两角和与差的三角函数公式解决求值和求角问题
1.(2024山东泰安期末)已知2tan θ-tanθ-=-7,则tan θ=(　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
2.(2024山东滨州期末)已知0<α<,0<β<,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2024天津北辰期末)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β的值是(　　)
A.　　B.　　C.或　　D.或
4.(2024湖北武汉新洲部分学校期末)设α,β∈R,且+=7,则tan(α-β)=(　　)
A.-1　　B.1　　C.　　D.-
5.(2024陕西宝鸡期末)若角α,β满足2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,则α的值可能为(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
6.(2023湖北武汉期末)已知tan α=3,tan β=1,则=　　　　.
7.(2024重庆万州中学入学考试)已知cos=,tan(α+β)=,α∈,β∈.
(1)求tan的值;
(2)求β的值.
题组二　两角和与差的三角函数公式的综合应用
8.(2024浙江绍兴期末)已知sin(α+2β)=3sin α,则tan α的最大值是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(2024河北唐山期末)在△ABC中,tan A=2tan B,AB边上的高等于AB,则tan C=　　　　.
10.(2023北京东城期末)如图,单位圆被点A1,A2,…,A12分为12等份,其中A1(1,0).角α的始边与x轴的非负半轴重合,若α的终边经过点A5,则cos α=　　　　;若sin α=sin,则角α的终边与单位圆交于点　　　　.(从A1,A2,…,A12中选择,写出所有满足要求的点)
答案与分层梯度式解析
第2课时　两角和与差的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
1.C 2.A 3.A 4.C 7.C 10.C 11.BC
1.C　sin 102°cos 48°+cos 78°cos 138°=sin 78°cos 48°-cos 78°sin 48°=sin(78°-48°)=sin 30°=.故选C.
2.A　由tan 60°=tan(18°+42°)==,得tan 18°+tan 42°=(1-tan 18°tan 42°),
则tan 18°+tan 42°+tan 18°tan 42°=.
所以tan 18°tan 42°+tan 18°-tan 138°
=tan 18°tan 42°+tan 18°+tan 42°=.故选A.
3.A　2sin 14°cos 31°+sin 17°
=2sin 14°cos 31°+sin(31°-14°)
=2sin 14°cos 31°+sin 31°cos 14°-cos 31°sin 14°
=sin 31°cos 14°+cos 31°sin 14°
=sin(31°+14°)=sin 45°=.故选A.
4.C　∵tan=2,
∴tan α=tan===-3.故选C.
5.答案　
解析　因为sin α=,α∈,所以cos α=-,则cos=cos αcos-sin αsin =-×-×=.
6.解析　(1)由tan α=,得又α∈,所以
因此sin=sin αcos -sin cos α=-.
(2)因为α∈,β∈,
所以α-β∈(-π,0),又cos(α-β)=,
所以sin(α-β)=-=-,
则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos α·sin(α-β)=×-×=.
7.C　因为tan α=3,tan β=2,所以tan(α+β)===-1,
因为α,β∈,所以0<α+β<π,因此α+β=.
故选C.
8.答案　-
解析　因为cos θcos 2θ-sin θsin 2θ=-,
所以cos 3θ=-,
又θ∈,所以3θ∈(-π,0),
所以3θ=-,解得θ=-.
9.解析　∵sin α=,且α是锐角,∴cos α==,∵cos β=,且β是锐角,
∴sin β==,
∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,
∵0°<α<90°,0°<β<90°,∴0°<α+β<180°,
∴α+β=45°.
易错警示　已知三角函数值求角时,角的范围是关键,一方面要利用角的范围对角进行选择,另一方面要由角的范围选择所求值的三角函数名称.
10.C　f(x)=sin xcos -cos xsin +cos xcos +sin xsin =sin x-cos x+cos x+sin x=sin x,
∵-1≤sin x≤1,∴-≤f(x)≤,
∴函数f(x)的最大值是.故选C.
11.BC　对于A,若△ABC为钝角三角形,不妨设C为钝角,则A,B为锐角,所以cos A>0,cos B>0,cos C<0,则cos Acos Bcos C<0,因此A错误;对于B,sin =sin =sin=cos ,因此B正确;对于C,sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,因此C正确;对于D,cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cos Acos B-sin Asin B)=sin Asin B-cos Acos B,因此D错误.故选BC.
12.答案　-
解析　原式
=
=
=-tan 30°=-.
能力提升练
1.A 2.C 3.B 4.A 5.B 8.B
1.A　∵2tan θ-tan=-7,∴2tan θ-=-7,
整理得tan2θ+4tan θ+4=0,即(tan θ+2)2=0,
∴tan θ=-2.故选A.
2.C　∵0<α<,0<β<,∴α+β∈(0,π),又cos(α+β)=,
∴sin(α+β)==,
∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
又sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
∴sin αcos β=,cos αsin β=,
则===.故选C.
3.B　由α∈,得2α∈,又sin 2α=,
所以2α∈,所以cos 2α=-=-,α∈,又β∈,所以β+α∈,β-α∈,
又sin(β-α)=,所以β-α∈,则cos(β-α)=-=-,
所以cos(α+β)=cos(2α+β-α)=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,
又α+β∈,所以α+β=.故选B.
4.A　因为1≤2+sin α≤3,所以1≤≤3,
因为1≤2+sin 2β≤3,所以≤≤4,
由于+=7,所以sin α=-1,sin 2β=-1,
所以α=2k1π-(k1∈Z),2β=2k2π-(k2∈Z),故β=k2π-(k2∈Z),
因此tan(α-β)=tan
=tan=-1(k1,k2∈Z).故选A.
5.B　由2(cos2αcos2β-sin2αsin2β)[tan(α+β)+tan(α-β)]=1,得2(cos αcos β+sin αsin β)(cos αcos β-sin αsin β)
=2cos(α-β)cos(α+β)×
=2[sin(α+β)cos(α-β)+sin(α-β)cos(α+β)]
=2sin[(α+β)+(α-β)]
=2sin 2α=1,
所以sin 2α=,因此2α=+2kπ或2α=+2kπ(k∈Z),
即α=+kπ或α=+kπ(k∈Z),
逐项检验可得α的值可能为-,故选B.
6.答案　-1
解析　∵tan α=3,tan β=1,
∴==
==-1.
7.解析　(1)因为0<α<,所以<α+<,
又cos=,所以sin=,
故tan=.
(2)因为cos α=cos=cos·cos +sinsin =×+×=,
所以sin α===,
所以tan α===,
又tan(α+β)=,
所以tan β=tan[(α+β)-α]===,
又β∈,所以β=.
8.B　∵sin(α+2β)=3sin α,∴sin(α+β+β)=3sin(α+β-β),
∴sin(α+β)cos β+sin βcos(α+β)=3sin(α+β)cos β-3sin βcos(α+β),
化简得sin(α+β)cos β=2sin βcos(α+β),
即tan(α+β)=2tan β,
因此tan α=tan(α+β-β)==,
若tan α取得最大值,则tan β>0,
此时=≤=,当且仅当tan β=时取等号.故选B.
9.答案　-3
解析　在△ABC中,由tan A=2tan B,得tan A=2tan B>0,即A,B均为锐角,
过点C作CD⊥AB交AB于点D,如图,则tan A=,tan B=,由tan A=2tan B得BD=2AD,设CD=t,
又AB边上的高等于AB,所以BD=2t,AD=t,
则tan A=1,tan B=,
因此tan C=-tan(A+B)===-3.
10.答案　-;A3,A9
解析　∵=,角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点A5,∴α=(5-1)×+2kπ=+2kπ,k∈Z,
∴cos α=cos=-,k∈Z.
若sin α=sin,
则sin α=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α,
∴sin α=cos α,
∴tan α=,∴α=+2kπ或α=+2kπ,k∈Z.
由=(3-1)×,=(9-1)×,知满足条件的点为A3,A9.
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