2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
题组一　利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题
1.化简:=(　　)
A.sin 2-cos 2　　　　B.cos 2-sin 2
C.cos 2　　　　D.-cos 2
2.(2024江苏南京期末)若a=,b=cos2-sin2,c=,则(　　)
A.a3.(多选题)(2023安徽淮北一中期末)下列各式中,值为的有(　　)
A.sinsin　　
B.sin 173°cos 23°+sin 83°cos 67°
C.　　
D.
4.(2024江苏无锡期末)计算:sin 140°(tan 10°-)=(　　)
A.-　　B.-　　C.-1　　D.-
5.求下列各式的值:
(1)cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°;
(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
题组二　利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题
6.(2024安徽阜阳期末)已知tan θ=,则cos 2θ=　(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2023江苏无锡江阴期末)已知sin=-,则cos 2α+sin 2α=(　　)
A.　　B.-　　C.-　　D.
8.(2024天津耀华中学期末)已知tan=,tan=,则tan(α-2β)=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
9.已知tan=-2.
(1)求的值;
(2)求的值.
10.已知sin α=,α∈.
(1)求cos α,tan α的值;
(2)求sin的值.
题组三　二倍角的三角函数公式的综合运用
11.(多选题)若下列各式左右两边均有意义,则其中恒成立的有(　　)
A.=
B.·=tan α
C.(sin 2α-cos 2α)2=1-sin 4α
D.=tan2θ
12.若等腰三角形的一个底角的正弦值为,则这个三角形的顶角的正切值为　　　　.
13.求证:cos2(A+B)-sin2(A-B)=cos 2Acos 2B.
14.求值:sin2α+sin2+sin2.
15.在①sin α>0,②cos α<0,③tan α>0这三个条件中任选两个,补充在下面的问题中并解答.
已知　　　,且|sin α|=.
(1)求cos α和tan α的值;
(2)求sin 2α-cos 2α的值.
能力提升练
题组一　利用二倍角的三角函数公式解决给角求值问题
1.(多选题)(2024广东江门期末)下列计算结果正确的是(　　)
A.cos(-15°)=
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)·sin(25°+α)=-
D.=2
2.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=(　　)
A.4　　B.+1　　C.2　　D.-1
3.(多选题)(2023吉林长春外国语学校期末)下列等式成立的是(　　)
A.sin 40°+cos 40°=sin 70°
B.=-1
C.coscoscos=-
D.tan 255°=2+
4.(2023安徽皖北期末)计算:2cos 70°+=　　　　.
5.计算-的结果是　　　　.
题组二　利用二倍角的三角函数公式解决条件求值问题
6.(2023湖南岳阳期末)已知sin(π-x)=2sin,则3sin 2x+4cos 2x=(　　)
A.　　B.-　　C.0　　D.
7.对于锐角α,若sin=,则cos=(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.-
8.(2024浙江衢州期末)已知tan=,则cos 2α+sin 2α+2=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
9.(2024山西长治期末)已知α∈(0,π),且3cos 2α+14cos α+7=0,则tan 2α=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
10.(2023吉林长春东北师大附中期末)已知θ∈,且cos θ-sin θ=-,则等于(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
11.(2024安徽合肥一中期末)已知α,β∈(0,π),且cos α=,sin(α+β)=-,则cos(3α+β)=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
12.已知<α<π,-π<β<0,tan α=-,tan β=-,则2α+β=　　　　.
13.(2024浙江宁波镇海中学期末)已知sin+=,且x∈(π,2π),则cos=　　　　.
14.(2024吉林期末)在平面直角坐标系中,已知锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与圆心为原点的单位圆交于点.
(1)求tan α,cos 2α;
(2)在①tan β=,②sin 2β=sin β,③cos =这三个条件中任选一个条件补充在下面的横线上,并解答问题.
问题:已知β∈,　　　　,求2α-β.
题组三　二倍角的三角函数公式的综合运用
15.(2024重庆期末)在锐角△ABC中,已知sin Acos A=cos2A-,则A=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
16.(2024福建厦门一中月考)若方程sin2x-=在(0,π)上的解为x1,x2(x117.(2023河北保定期末)已知f(sin α+cos α)=sin 2α,则f=　　　　.
18.已知锐角α,β满足tan(α-β)=sin 2β,求证:tan α+tan β=2tan 2β.
19.已知函数f(x)=4cos xsin2+cos 2x-2cos x.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)已知B为△ABC的内角.
(i)若f(B)=2,求B的大小;
(ii)若f(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
基础过关练
1.A 2.B 3.BCD 4.C 6.D 7.A 8.B 11.ACD
1.A　==|cos 2-sin 2|,
∵2弧度角的终边位于第二象限,∴sin 2>0,cos 2<0,
∴=sin 2-cos 2,故选A.
2.B　b=cos2-sin2=cos =,
c===sin=sin =,a=<<<,所以a故选B.
3.BCD　sinsin=cossin=sin=;
sin 173°cos 23°+sin 83°cos 67°=sin 7°cos 23°+cos 7°·sin 23°=sin(7°+23°)=sin 30°=;
=tan 45°=;
由tan(22°+23°)==1得tan 22°+tan 23°+tan 22°tan 23°=1,
所以(1+tan 22°)(1+tan 23°)=1+tan 23°+tan 22°+tan 22°tan 23°=2,
所以=.故选BCD.
4.C　sin 140°(tan 10°-)=sin 40°
=
=
=-=-=-1.
故选C.
5.解析　(1)原式=sin215°+cos215°+sin 15°cos 15°=1+sin(2×15°)=1+sin 30°=1+=.
(2)原式=sin 10°sin 50°sin 70°=cos 80°cos 40°·cos 20°=···
=·=·=.
6.D　因为tan θ=,所以cos 2θ=cos2θ-sin2θ====.故选D.
7.A　∵sin=-,
∴cos 2α+sin 2α=2sin=2cos
=2=2×=,故选A.
8.B　由tan=,得tan===,
因此tan(α-2β)=tan===-.故选B.
9.解析　由tan=-2,可得=-2,
解得tan α=-3.
(1)tan 2α===,故==-.
(2)=
===.
10.解析　(1)∵sin α=,α∈,
∴cos α=-=-,tan α==-.
(2)由(1)可得,sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=1-2sin2α=1-=-,
∴sin=sin 2αcos+cos 2αsin=-×-×=-.
11.ACD　=
==,故A正确;
·=·=tan 2α,故B错误;
(sin 2α-cos 2α)2=sin22α+cos22α-2sin 2αcos 2α=1-sin 4α,故C正确;
==tan2θ,故D正确.
故选ACD.
12.答案　-
解析　设等腰三角形的一个底角为α,则α必为锐角,顶角为π-2α.由题意可知,sin α=,∴cos α=,∴tan α=,则tan(π-2α)=-tan 2α=-=-=-.
13.证明　左边=-
=
=(cos 2Acos 2B-sin 2Asin 2B+cos 2Acos 2B+sin 2Asin 2B)=cos 2Acos 2B=右边,
∴原等式成立.
14.解析　原式=++
=-cos 2α-
=-cos 2α-coscos 2α
=-cos 2α+cos 2α=.
15.解析　方案一:选择①②.
(1)由已知可得,α为第二象限角,sin α=,所以cos α=-,tan α==-.
(2)sin 2α=2sin αcos α=-,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-,
则sin 2α-cos 2α=--=-.
方案二:选择①③.
(1)由已知可得,α为第一象限角,sin α=,所以cos α=,tan α==.
(2)sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-,
则sin 2α-cos 2α=-=.
方案三:选择②③.
(1)由已知可得,α为第三象限角,sin α=-,所以cos α=-,tan α==.
(2)sin 2α=2sin αcos α=,cos 2α=cos2α-sin2α=-=-,
则sin 2α-cos 2α=-=.
能力提升练
1.BD 2.A 3.CD 6.B 7.D 8.C 9.D 10.A
11.C 15.B
1.BD　对于A,cos(-15°)=cos 15°=cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°=,所以A错误;
对于B,sin 15°sin 30°sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=sin 15°cos 15°=sin 30°=,所以B正确;
对于C,cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α)=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos 60°=,所以C错误;
对于D,==2×=2×=2,所以D正确.
故选BD.
2.A　由已知得m=2sin 18°,
∴====4.故选A.
3.CD　选项A,sin 40°+cos 40°=sin(40°+60°)=sin 100°=sin 80°,故A错误;
选项B,===1,故B错误;
选项C,coscoscos=·sincos·coscos=··sincoscos=··sincos=··sin=··=-,故C正确;
选项D,tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+,故D正确.故选CD.
4.答案　
解析　2cos 70°+=2sin 20°+==
==.
5.答案　-4
解析　-=-
=-=
==
===-4.
6.B　因为sin(π-x)=2sin,所以sin x=-2cos x,即tan x=-2,所以3sin 2x+4cos 2x====-.故选B.
7.D　由α为锐角,得-<α-<,
因为sin=,所以cos=,
所以cos=cos
=-sin2=-2sincos
=-2××=-.故选D.
一题多解　设α-=β,则α=β+,sin β=,且-<β<,因此cos β=,所以cos= cos=cos=-sin 2β=-2sin β·cos β=-2××=-.故选D.
8.C　由tan==,解得tan α=3,
所以cos 2α+sin 2α+2=2cos2α+2sin αcos α+1====.
故选C.
9.D　因为3cos 2α+14cos α+7=0,所以3(2cos2α-1)+14cos α+7=0,即3cos2α+7cos α+2=0,
解得cos α=-或cos α=-2(舍去),
又α∈(0,π),所以sin α===,
从而tan α==-2,
因此tan 2α===.故选D.
10.A　∵cos θ-sin θ=-,∴1-sin 2θ=,
∴sin 2θ=-.∵θ∈,∴cos θ+sin θ<0,
∴sin θ+cos θ=-=-=-=-,∴==(cos θ+sin θ)=-.故选A.
11.C　∵α∈(0,π),cos α=>0,∴α∈,且sin α==,∴cos 2α=cos2α-sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=,
由α∈得2α∈(0,π),又cos 2α=-<0,∴2α∈,∴α∈,
又β∈(0,π),∴α+β∈,
∵sin(α+β)=-<0,∴α+β∈,
∴cos(α+β)=-=-,
∴cos(3α+β)=cos(α+β+2α)=cos(α+β)cos 2α-sin(α+β)sin 2α=×+×=.
故选C.
12.答案　
解析　∵tan α=-,∴tan 2α==-,
又tan β=-,
∴tan(2α+β)===-1,
由<α<π,且tan 2α<0得<2α<2π,
由-π<β<0,且tan β<0得-<β<0,
因此2α+β∈(π,2π),∴2α+β=.
13.答案　
解析　因为x∈(π,2π),sin=>0,所以+∈,则cos<0,
所以cos=-=-,
因此cos=2cos2-1=-1=,
sin=2sincos=-,
所以cos=cos=cos·cos -sinsin =×-×=.
14.解析　(1)由题知sin α=,α为锐角,
∴cos α===,
∴tan α===2,
cos 2α=1-2sin2α=1-2×=-.
(2)∵α∈,∴2α∈(0,π),
∵cos 2α=-,∴sin 2α==,且2α∈.
若选①:∵tan β=,∴
∵β∈,∴
∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=×+×=0,
∵0<β<,∴-<-β<0,∴0<2α-β<π,
∴2α-β=.
若选②:∵β∈,∴sin β>0,
∵sin 2β=2sin βcos β=sin β,
∴cos β=,∴sin β==,
∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=0,
下同①.
若选③:∵cos =,∴cos β=2cos2-1=,
∵β∈,∴sin β>0,∴sin β==,
∴cos(2α-β)=cos 2αcos β+sin 2αsin β=0,
下同①.
15.B　在锐角△ABC中,若sin Acos A=cos2A-,
则sin 2A=cos 2A,即sin 2A=cos 2A,∴tan 2A=1,∵0∴A=.故选B.
16.答案　-
解析　由00,所以0<2x-<π,
根据正弦函数的性质可知=x1+x2-=,所以x1+x2=,且0<2x1-<<2x2-<π,所以cos==,
所以sin(2x1-2x2)=2sin(x1-x2)cos(x1-x2)
=2sincos
=2sincos
=2sincos
=-2cossin=-2××=-.
17.答案　-
解析　设t=sin α+cos α,
因为(sin α+cos α)2=1+sin 2α,所以sin 2α=t2-1,所以f(t)=t2-1,
因此f=f=-1=-.
18.证明　因为tan(α-β)=,
sin 2β=2sin βcos β==,
所以=,整理得tan α=,
所以tan α+tan β===2tan 2β.
19.解析　(1)f(x)=4cos xsin2+cos 2x-2cos x=4cos x+cos 2x-2cos x
=2cos x+cos 2x-2cos x
=2cos x(1+sin x)+cos 2x-2cos x
=2cos x+2sin xcos x+cos 2x-2cos x
=sin 2x+cos 2x=2sin,
∴函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)由题及(1)得f(B)=2sin,0(i)由f(B)=2,得sin=1,
∴2B+=+2kπ,k∈Z,∴B=+kπ,k∈Z.
又0(ii)f(B)-m>2恒成立,即f(B)>m+2恒成立,
∴f(B)min>m+2,
∵0因此-1≤sin≤1,即-2≤2sin≤2,
∴f(B)min=-2,∴-2>m+2,∴m<-4,
∴实数m的取值范围为(-∞,-4).
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