2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第二章 一元二次函数、方程和不等式（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第二章　一元二次函数、方程和不等式
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知M=x2+y2+1,N=2x+2y-2,则M与N的大小关系是(　　)
A.M≤N　　　　B.MC.M≥N　　　　D.M>N
2.已知a,b为非零实数,且a>b,则下列结论正确的是(　　)
A.>　　　　B.ab2>a2b　　
C.a2>b2　　　　D.>
3.若关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x<-1},则关于x的不等式ax2+bx>0的解集为(　　)
A.{x|x<0或x>1}　　　　B.{x|x<-1或x>0}
C.{x|-14.若x<-1,则(　　)
A.有最大值-5　　　　B.有最小值-5　　
C.有最大值3　　　　D.有最小值3
5.“-3A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
6.关于x的方程x2+(a-2)x+5-a=0在x∈{x|2A.-6C.-7.已知长为a,宽为b的长方形,如果它的面积与边长为k1的正方形的面积相等,它的周长与边长为k2的正方形的周长相等,它的对角线与边长为k3的正方形的对角线相等,它的面积和周长的比与边长为k4的正方形的面积和周长的比相等,那么k1,k2,k3,k4的大小关系为(　　)
A.k1≤k4≤k2≤k3　　　　B.k3≤k1≤k2≤k4
C.k4≤k1≤k3≤k2　　　　D.k4≤k1≤k2≤k3
8.在一次调查中,甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系:甲、丙同学的阅读量之和与乙、丁同学的阅读量之和相同,丙、丁同学的阅读量之和大于甲、乙同学的阅读量之和,乙同学的阅读量大于甲、丁同学的阅读量之和.那么这四名同学中阅读量最大的是(　　)
A.甲　　　　B.乙　　
C.丙　　　　D.丁
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知集合M=x≤0,x∈R,P=x≥1,x∈Z,下列说法正确的是(　　)
A.M={x|-1C.M∩P={0,1,2,3}　　　　D.M∪P={x|-110.关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且它们的乘积为正,关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且它们的乘积为正,下列结论中正确的是(　　)
A.这两个方程的根都是负根
B.这两个方程的根中可能存在正根
C.(m-1)2+(n-1)2≥2
D.-1≤2m-2n≤1
11.已知不等式+≥3m2-1对任意的x>1,y>1恒成立,则m的值可以是(　　)
A.-　　B.-1　　C.　　D.2
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.不等式14-4x2≥x的解集为　　　　.
13.已知关于x的不等式组有且仅有一个整数解,则a的取值范围为　　　　.
14.已知实数a>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,则(a+1)(b+2)的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(1)设a,b,c,d均为正数,ab=cd且a+b>c+d,证明:+>+;
(2)已知a>0,b>0且a≠b,比较+和a+b的大小.
16.(15分)已知关于x的不等式x2-x+≤0.
(1)当a=1,b=4时,求该不等式的解集;
(2)若该不等式仅有一个实数解,求+b的最小值.
17.(15分)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0.
(1)当a=-1,b=2,c=1时,求该不等式的解集;
(2)从下面两个条件中任选一个作为已知,并求出此时该不等式的解集.
①a=1,b=-2-m,c=2m;②a=m,b=m-2,c=-2.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
18.(17分)如图,设矩形ABCD(AB>AD)的周长为40 cm,把△ABC沿AC向△ADC翻折成△AEC,AE交DC于点P,设AB=x cm.
(1)若DP>AB,求x的取值范围;
(2)设△ADP的面积为S cm2,求S的最大值及相应的x的值.
19.(17分)学习与探究问题:已知正实数x,y满足x+y=1,求+的最小值.求解本题的方法很多,其中一种求解方法是:+=(x+y)=5++≥5+2=9,当且仅当=且x+y=1,即x=,y=时等号成立.这种解题方法叫做“1”的代换.
(1)利用上述求解方法解决下列问题:若实数a,b,x,y满足-=1,试比较a2-b2与(x-y)2的大小,并注明等号成立的条件;
(2)利用(1)中的结论,求T=-的最小值,并注明使T取得最小值时t的值.
答案全解全析
1.D　因为M=x2+y2+1,N=2x+2y-2,
所以M-N=(x2+y2+1)-(2x+2y-2)=x2+y2-2x-2y+3=(x-1)2+(y-1)2+1>0,所以M>N.故选D.
2.D　对于A,若a=1,b=-1,则=,因此A错误;对于B,若a=2,b=1,则ab2=2b,所以-=>0,所以>,因此D正确.故选D.
3.D　由于关于x的不等式ax-b>0的解集是{x|x<-1},
所以则有b=-a且a<0,
因此ax2+bx>0等价于x<0,即x(x-1)<0,解得0即不等式ax2+bx>0的解集为{x|04.A　由题意可得=x+1+-1,
因为x<-1,所以x+1<0,从而-(x+1)>0,
所以-(x+1)+≥4,当且仅当-(x+1)=-,即x=-3时等号成立,所以x+1+≤-4,从而=x+1+-1≤-5.故选A.
5.A　对于不等式(m-1)x2+(m-1)x-1<0,
①当m=1时,不等式为-1<0,恒成立;
②当m≠1时,若不等式对任意的x∈R恒成立,则解得-3综上所述,若不等式对任意的x∈R恒成立,则m的取值范围为{m|-3∵{m|-3∴“-36.D　因为方程x2+(a-2)x+5-a=0在x∈{x|2所以解得-7.D　由题意得ab=①,a+b=2k2②,=k3③,==④,且a,b>0,
易知a+b≥2,a2+b2≥,≤=,当且仅当a=b时等号全部成立,
则由①②得2k2≥2k1,所以k2≥k1⑤,
由②③得2≥,所以k3≥k2⑥,
由①④得≤,所以k4≤k1⑦,
综合⑤⑥⑦可得k4≤k1≤k2≤k3.故选D.
8.C　设甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量分别为a,b,c,d,a≥0,b≥0,c≥0,d≥0,
根据题意得
②-①,得b-c②+①,得2a+b+ca,b>d,
因此a9.AC　由≤0,可得-1由≥1,可得≤0,解得-1则M∩P={0,1,2,3},M∪P={x|-1故选AC.
10.ACD　设方程x2+2mx+2n=0的两根为x1,x2,方程y2+2ny+2m=0的两根为y1,y2,
由题意知x1x2=2n>0,y1y2=2m>0,
又∵x1+x2=-2m,y1+y2=-2n,∴这两个方程的根都是负根,故A正确,B不正确;
∵4m2-8n≥0,4n2-8m≥0,∴m2-2n≥0,n2-2m≥0,
∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2n+1+n2-2m+1=(m2-2n)+(n2-2m)+2≥2,故C正确;
2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1,
由y1,y2均为负整数得y1≤-1,y2≤-1,故(y1+1)(y2+1)≥0,故2m-2n≥-1,
又2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1,∴2n-2m≥-1,∴2m-2n≤1,
∴-1≤2m-2n≤1,故D正确.故选ACD.
11.ABC　因为x>1,y>1,所以x-1>0,y-1>0,
则+=+
=+++++
≥2+2+2
=2+4≥2×2+4=8,
当且仅当x=y=2时等号全部取到,
所以=8.
又不等式+≥3m2-1对任意的x>1,y>1恒成立,
所以3m2-1≤8,解得-≤m≤,对比选项可知选ABC.
12.答案　
解析　∵14-4x2≥x,∴4x2+x-14≤0,即(x+2)(4x-7)≤0,解得-2≤x≤,∴不等式14-4x2≥x的解集为.
13.答案　{a|-5≤a<3或4解析　因为关于x的不等式组有且仅有一个整数解,所以不等式<0的解集与不等式2x2+(2a+7)x+7a<0(a∈R)的解集的交集中只有一个整数.
易得不等式<0的解集为{x|x>4或x<-2},
不等式2x2+(2a+7)x+7a<0可化为(x+a)<0.①
当-a<-,即a>时,不等式①的解集为,
要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,此整数只能为-4,因此有-5≤-a<-4,解得4当-a>-,即a<时,不等式①的解集为,
要使{x|x>4或x<-2}与的交集中只有一个整数,此整数只能为-3,所以-3<-a≤5,即-5≤a<3.
当-a=-,即a=时,不等式①的解集为 ,不满足题意,舍去.
综上所述,a的取值范围为{a|-5≤a<3或414.答案　25
解析　因为ab-a-2b-2=0,所以b=,
因为b>0,所以>0,又a>0,所以a>2,
又b==1+,
所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=a+2b+2+2a+b+2=3a+3b+4
=3a++7=3(a-2)++13≥2+13=25,
当且仅当3(a-2)=,即a=4时,等号成立,
故(a+1)(b+2)的最小值为25.
15.解析　(1)证明:因为a,b,c,d均为正数,ab=cd,a+b>c+d,所以(+)2-(+)2=a+b+2-(c+d+2)=(a+b)-(c+d)+(2-2)=(a+b)-(c+d)>0,(4分)
所以+>+.(6分)
(2)因为a>0,b>0且a≠b,
所以+-(a+b)=-(8分)
==
=>0,(12分)
所以+>a+b.(13分)
16.解析　(1)当a=1,b=4时,原不等式为x2-2x+≤0,(2分)
即4x2-8x+3≤0,解得≤x≤,(5分)
故不等式的解集为.(6分)
(2)由题意可得ab>0,
若不等式x2-x+≤0仅有一个实数解,
则Δ=ab-4×=0,(8分)
所以ab=b-1>0,即b>1,a=,(10分)
因此+b=+b=1++b=2++b-1≥2+2=4,(13分)
当且仅当b-1=,即b=2时取等号,
所以+b的最小值为4.(15分)
17.解析　(1)当a=-1,b=2,c=1时,
不等式ax2+bx+c≥0即-x2+2x+1≥0,即x2-2x-1≤0,(3分)
解得1-≤x≤1+,
故当a=-1,b=2,c=1时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|1-≤x≤1+}.(6分)
(2)选择条件①a=1,b=-2-m,c=2m,
则不等式ax2+bx+c≥0即x2-(2+m)x+2m≥0,即(x-2)(x-m)≥0.(8分)
当m=2时,不等式(x-2)(x-m)≥0即(x-2)2≥0,解集为R; (10分)
当m>2时,不等式(x-2)(x-m)≥0的解集为{x|x≤2或x≥m};(12分)
当m<2时,不等式(x-2)(x-m)≥0的解集为{x|x≤m或x≥2}.(14分)
综上所述,当m=2时,原不等式的解集为R;当m>2时,原不等式的解集为{x|x≤2或x≥m};当m<2时,原不等式的解集为{x|x≤m或x≥2}. (15分)
选择条件②a=m,b=m-2,c=-2,
则不等式ax2+bx+c≥0即mx2+(m-2)x-2≥0,即(mx-2)(x+1)≥0.(7分)
当m=0时,不等式(mx-2)(x+1)≥0即-2(x+1)≥0,解得x≤-1.(9分)
当m>0时,不等式(mx-2)(x+1)≥0即(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥.(11分)
当m<0时,不等式(mx-2)(x+1)≥0即(x+1)≤0.
(i)当=-1,即m=-2时,(x+1)≤0即(x+1)2≤0,解得x=-1;(12分)
(ii)当>-1,即m<-2时,解(x+1)≤0,得-1≤x≤;(13分)
(iii)当<-1,即-2综上所述,当m<-2时,原不等式的解集为;当m=-2时,原不等式的解集为{-1};当-20时,原不等式的解集为.(15分)
18.解析　(1)由矩形周长为40 cm,可知AD=(20-x)cm,设DP=a cm,则PC=(x-a)cm,
易得△ADP≌△CEP,∴AP=PC=(x-a)cm.(3分)
在Rt△ADP中,AD2+DP2=AP2,即(20-x)2+a2=(x-a)2,
得a=20-,(5分)
由题意得20->x,即x2-60x+600<0,(6分)
解得30-10由AB>AD>0得,10∴x的取值范围是{x|30-10(2)由(1)得AD=(20-x)cm,DP=cm,10∵x>0,∴x+≥2=20,(14分)
当且仅当x=,即x=10时取等号,∴=20,
∴Smax=300-200,此时x=10.(17分)
19.解析　(1)a2-b2=(a2-b2)=x2+y2-,(2分)
又+≥2=2|xy|,
当且仅当=时,等号成立,(4分)
所以x2+y2-≤x2+y2-2|xy|≤x2+y2-2xy=(x-y)2,(6分)
因此a2-b2≤(x-y)2,
当且仅当=且-=1,x,y同号时等号成立.(7分)
(2)令x=,y=,t≥1,设-=1,则-=1,(9分)
即t+=0对任意t≥1恒成立,
则=,+=1,解得a2=1,b2=,所以x2-9y2=1.(11分)
因为9t-8=t-1+8t-7>t-1,所以T=x-y>0,(12分)
由(1)中的结论得(x-y)2≥a2-b2=1-=,
所以T=x-y≥=,(14分)
当且仅当=,x2-9y2=1,且x,y>0,
即x=,y=时等号成立,此时t=.(16分)
所以当t=时,T有最小值.(17分)
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