2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第二章 一元二次函数、方程和不等式拔高练（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　一元二次不等式及其应用
1.(2023新课标Ⅰ,1)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N=(　　)
A.{-2,-1,0,1}　　　　
B.{0,1,2}
C.{-2}　　　　
D.{2}
2.(2018课标全国Ⅰ,2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则 RA=(　　)
A.{x|-1B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x<-1}∪{x|x>2}
D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}
3.(2019天津文,10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　.
4.(2021上海,4)不等式<1的解集为　　　　.
考点2　基本不等式及其应用
5.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(多选题)(2022新高考Ⅱ,12)若x,y满足x2+y2-xy=1,则(　　)
A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1
7.(2021天津,13)若a>0,b>0,则++b的最小值为　　　　.
8.(2020江苏,12)已知5x2y2+y4=1(x,y∈R),则x2+y2的最小值是　　　　.
9.(2020天津,14)已知a>0,b>0,且ab=1,则++的最小值为　　　　.
考点3　不等式的实际应用
10.(2019课标全国Ⅰ理,4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是(　　)
A.165 cm　　　　B.175 cm　　
C.185 cm　　　　D.190 cm
11.(2019北京,14)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.
①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付　　　　元;
②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2024湖北孝感一中摸底考试)已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于O点,且AO、BO的长是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的两个根,则m等于(　　)
A.-3　　B.5　　C.5或-3　　D.-5或3
2.(2023江苏南京外国语学校月考)已知a>0,b>0,且+=1,则下列不等式错误的是(　　)
A.ab≥16　　　　B.2a+b≥6+4
C.a-b<0　　　　D.+≥
3.(2024河南郑州十所省级示范高中期中)已知正实数x,y满足4x+3y=4,则+的最小值为(　　)
A.+　　B.+　　C.+　　D.+
4.(多选题)(2023河南郑州外国语学校月考)若关于x的不等式ax2-(a2+6a+9)x+a+1<0的解集是{x|mA.9　　B.8　　C.4　　D.2
5.(2024湖北宜昌部分省级示范高中月考)若<0(m≠0)对一切x≥4恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.{m|m<3}　　　　B.　　
C.{m|m>2}　　　　D.{m|-26.(多选题)(2024浙江宁波余姚中学质检)已知关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b,下列结论正确的是(　　)
A.当aB.当a=1,b=4时,该不等式的解集为{x|0≤x≤4}
C.当a=2,b≥a时,该不等式的解集可以写成{x|c≤x≤d}(cD.如果该不等式的解集恰为{x|a≤x≤b},那么b-a=4
7.(2024湖南长沙市一中段考)当a∈{a|0≤a≤2}时,不等式ax2+(a+1)x+1-a<0恒成立,则x的取值范围为　　　　　　.
8.(2024湖北孝感高中调研)科技创新是企业发展的源动力,是一个企业能够实现健康持续发展的重要基础.某科技企业最新研发了一款大型电子设备,并投入生产应用.经调研,该企业生产此设备获得的月利润p(单位:万元)与投入的月研发经费x(15≤x≤40,单位:万元)有关:当投入的月研发经费不高于36万元时,p=-x2+8x-90;当投入的月研发经费高于36万元时,p=0.4x+54.对于企业而言,研发利润率y=×100%是优化企业管理的重要依据之一,y越大,研发利润率越高,反之越小.
(1)求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及相应月研发经费x的值;
(2)若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%,求月研发经费x的取值范围.
9.已知x,y均为正实数,x+2y+xy=30.
(1)求xy的取值范围;
(2)求x+y的取值范围.
迁移创新
10.(2024重庆育才中学月考)若实数x,y,m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y更远离m.
(1)若x比更远离1,求实数x的取值范围;
(2)若m≤1,x+y=2,则x与x2+y2哪一个更远离m 并说明理由.
11.我们学习了二元基本不等式:如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立.利用基本不等式可以证明其他不等式,也可以利用“和定积最大,积定和最小”求最值.
(1)请猜想:对于三元基本不等式,设a>0,b>0,c>0,则　　　　≤,当且仅当a=b=c时,等号成立(把横线补全即可,不需要证明);
(2)利用(1)中猜想的三元基本不等式证明:当a>0,b>0,c>0时,(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc;
(3)利用(1)中猜想的三元基本不等式求最值:设a>0,b>0,c>0,a+b+c=1,求(1-a)(1-b)·(1-c)的最大值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
高考风向　1.考查形式
本章内容在高考中一般作为解决其他问题的工具,如化为一元二次不等式求范围,运用基本不等式求最大(小)值,利用不等式的性质进行放缩变形等,也可单独考查1~2个小题,分值占5~10分.
2.考查内容
(1)全国卷主要考查一元二次不等式的解法及其运用、基本不等式的运用.自主命题地区考查难度增加,主要是与基本不等式求最大(小)值有关的问题.
(2)在考查函数问题时,含参数的一元二次不等式的分类讨论是不等式考查的难点.
3.作用地位
本章内容作为解决数学问题的工具,从数学运算、逻辑推理等方面,贯穿整个高中阶段的学习.
1.C 2.B 5.A 6.BC 10.B
1.C　因为M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0}={x|x≤-2或x≥3},所以M∩N={-2},故选C.
考场速决　取x=0,不满足x2-x-6≥0,排除A,B;再取x=-2或x=2,可知-2∈N,2 N,故选C.
2.B　因为A={x|x2-x-2>0}={x|x>2或x<-1},所以 RA={x|-1≤x≤2}.故选B.
考场速决　集合A中不等式无等号,且满足“大于分两边”,故 RA中不等式有等号,且满足“在中间”,故选B.
3.答案　x-1解析　3x2+x-2<0 (x+1)(3x-2)<0,所以-14.答案　{x|-7解析　<1 -1<0 <0 (x+7)(x-2)<0,解得-75.A　由a>0,b>0,得4≥a+b≥2,即ab≤4(当且仅当a=b=2时取等号),充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab≤4,但a+b=5>4,不满足a+b≤4,必要性不成立.故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,故选A.
6.BC　由x2+y2-xy=1,
得(x+y)2-1=3xy≤3,
当且仅当x=y=±1时取等号,所以(x+y)2≤4,即-2≤x+y≤2,故A错误,B正确;
因为-≤xy≤,
所以-≤x2+y2-1≤,所以≤x2+y2≤2,故C正确,D错误.故选BC.
7.答案　2
解析　因为a>0,b>0,所以++b≥2+b=+b≥2=2,
当且仅当即a=b=时,等号成立,故++b的最小值为2.
8.答案　
解析　由5x2y2+y4=1知y≠0,∴x2=,∴x2+y2=+y2==+≥2=,当且仅当=,即y2=,x2=时取“=”.故x2+y2的最小值为.
9.答案　4
解析　++=+=+≥2=4,
当且仅当=,即a+b=4时取等号.
又∵ab=1,∴或时取等号,
∴++的最小值为4.
10.B　解法一:由人体特征可知,头顶至咽喉的长度应小于头顶至脖子下端的长度,故咽喉至肚脐的长度应小于≈42 cm,可得到此人的身高应小于26+42+≈178 cm;
同理,肚脐至足底的长度应大于腿长105 cm,故此人的身高应大于105+105×0.618≈170 cm,结合选项可知,只有B选项符合题意,故选B.
解法二:用线段代替人,如图.
已知==≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,设此人身高为h cm,则a+b=h,由 a>64.89,
由 d<42.07,
所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,
由 b<110.15,
整理可得64.89+105即169.8911.答案　①130　②15
解析　①x=10时,一次购买草莓和西瓜各1盒,共140元,由题可知顾客需支付140-10=130元.
②设每笔订单金额为m元,则只需考虑m≥120时的情况.
根据题意得(m-x)80%≥m×70%,
所以x≤,而m≥120,
为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x≤,而=15,
所以x≤15.所以x的最大值为15.
三年模拟练
1.A 2.C 3.A 4.AB 5.B 6.ABD
1.A　由直角三角形的三边关系可得AO2+BO2=25,
又由根与系数的关系可得AO+BO=-2m+1,AO·BO=m2+3,
∴AO2+BO2=(AO+BO)2-2AO·BO=(-2m+1)2-2(m2+3)=25,
整理得m2-2m-15=0,解得m=-3或m=5.
又∵Δ>0,∴(2m-1)2-4(m2+3)>0易错点,
解得m<-,∴m=-3,故选A.
2.C　A选项,因为a>0,b>0,所以1=+≥2,解得ab≥16,当且仅当=,即a=2,b=8时,等号成立,故A中不等式正确;
B选项,因为a>0,b>0,+=1,所以2a+b=(2a+b)·=++6≥2+6=6+4,当且仅当=,即a=+1,b=4+2时,等号成立,故B中不等式正确;
C选项,当a=b=5时,+=1成立,此时a-b=0,故C中不等式错误;
D选项,+=-=1-,由A知ab≥16,所以1-≥,即+≥,故D中不等式正确.故选C.
3.A　由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8,
令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8,
所以+=+=×(2a+b)×
=×≥×=+,
当且仅当即时取等号,
所以+的最小值为+,故选A.
方法技巧　条件与结论分别是整式与分式形式的求最大(小)值问题,常把分式的分母看作一个整体进行换元,运用乘“1”的技巧求解.
4.AB　根据题意可得m和n是方程ax2-(a2+6a+9)x+a+1=0的两个根,且a>0,
由根与系数的关系得m+n=,mn=.
故+===
=a+1++4≥2+4=8,当且仅当a+1=,即a=1时,等号成立.结合选项知选AB.
5.B　不等式<0(m≠0)等价于(m2x-1)(mx+1)<0,
∵m≠0,∴令(m2x-1)(mx+1)=0,解得x=或x=-.
(1)当m>0时,-<,此时(m2x-1)(mx+1)<0的解集为,
此时原不等式不可能对一切x≥4恒成立,故不合题意.
(2)当m<0时,令+==0,得m=-1,
则①当m<-1时,-<0,即<-,
此时(m2x-1)(mx+1)<0的解集为xx<或x>-.
若原不等式对一切x≥4恒成立,只需-<4.
由解得m<-1.
②当-10,即>-,
此时(m2x-1)(mx+1)<0的解集为,
若原不等式对一切x≥4恒成立,只需<4.
由解得-1③当m=-1时,原不等式为<0,解得x≠1,满足题意.
综上,实数m的取值范围是.故选B.
6.ABD　由x2-3x+4≤b得3x2-12x+16-4b≤0,
当a所以不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为 ,故A正确.
当a=1时,不等式a≤x2-3x+4为x2-4x+4≥0,其解集为R,
当b=4时,不等式x2-3x+4≤b为x2-4x≤0,其解集为{x|0≤x≤4},所以原不等式的解集为{x|0≤x≤4},故B正确.
在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2-3x+4=(x-2)2+1的图象及直线y=a和y=b,如图所示.
由图知,当a=2,b≥a时,不等式a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|xA≤x≤xC或xD≤x≤xB}的形式,故C错误.
由a≤x2-3x+4≤b的解集为{x|a≤x≤b},知a≤,即a≤1,因此当x=a,x=b时,函数y=x2-3x+4的值都是b.
由当x=b时,函数值是b,得b2-3b+4=b,解得b=或b=4.
当b=时,由a2-3a+4=,解得a=或a=,不满足a≤1,不符合题意;
当b=4时,由a2-3a+4=4,解得a=0或a=4(舍去),所以b-a=4,故D正确.故选ABD.
7.答案　{x|-2思路分析　将不等式进行变形,转化为关于a的一次不等式a+x+1<0对任意a∈{a|0≤a≤2}恒成立,结合一次函数的图象(直线)列出不等式组,求解即可.
解析　由ax2+(a+1)x+1-a<0得a+x+1<0,故原不等式可转化为关于a的一次不等式a+x+1<0对任意a∈{a|0≤a≤2}恒成立关键点,所以解得-2方法总结　解决不等式恒成立问题,要弄清自变量与参数.一般求解方法:参变量分离法、数形结合法、最值法等.
8.解析　(1)由已知得当15≤x≤36时,y=×100%=×100%≤×100%=200%,
当且仅当x=,即x=30时取等号;
当36∵36∴≤0.4+<,∴175%≤y<190%.
∵200%>190%,∴当月研发经费为30万元时,研发利润率取得最大值200%.
(2)由(1)可知,此时研发利润率为×100%,
令-x-+8≥1.9,整理得x2-61x+900≤0,解得25≤x≤36.
因此,当研发利润率不小于190%时,月研发经费(单位:万元)的取值范围是{x|25≤x≤36}.
9.解析　(1)因为x,y均为正实数,x+2y+xy=30,
所以30-xy=x+2y≥2,当且仅当x=2y,即x=6,y=3时取等号,
整理得(30-xy)2≥8xy,解得xy≤18或xy≥50,
因为x,y均为正实数,x+2y+xy=30,所以0所以0(2)因为x,y均为正实数,
所以30=x+2y+xy=x+y+y(x+1)≤x+y+,
当且仅当x+1=y,即x=4-2,y=4-1时取等号,
所以(x+1+y)2+4(x+1+y)-124≥0,
所以x+y+1≥8-2或x+y+1≤-8-2(舍去),
故x+y≥8-3.
因为x,y均为正实数,x+2y+xy=30,所以x+y<30,
所以8-3≤x+y<30.
10.解析　(1)由题意可得|x-1|>,
即|x-1|>,
所以x-1>或x-1<-,解得x>或x<,
故实数x的取值范围是.
(2)x2+y2比x更远离m,理由如下:
因为x2+y2≥=2,m≤1,
所以|x2+y2-m|=x2+y2-m,
从而|x-m|-|x2+y2-m|=|x-m|-(x2+y2-m).
①当x≥m时,|x-m|-(x2+y2-m)=x-m-(x2+y2-m)=x-x2-y2=x-x2-(2-x)2=-2x2+5x-4=-2-<0,即|x-m|<|x2+y2-m|;
②当x综上,|x-m|<|x2+y2-m|,即x2+y2比x更远离m.
素养评析　(1)由x比更远离1得到关于x的不等式,解含绝对值的不等式得到结论,主要考查数学运算;
(2)由x比y更远离m的定义比较两个含有绝对值的式子的大小,首先判断符号、分类讨论去绝对值,然后转化为一元二次不等式,主要考查逻辑推理与数学运算.
11.解析　(1)对照二元基本不等式,可以得到当a>0,b>0,c>0时,≤,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)证明:由(1)可得当a>0,b>0,c>0时,≥,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴·≥·==abc,当且仅当a=b=c时,等号成立,
∴(a2+b2+c2)(a+b+c)≥9abc.
(3)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴1-a=b+c>0,1-b=a+c>0,1-c=a+b>0,
∴(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≤===,当且仅当b+c=a+c=a+b,即a=b=c=时取等号,故(1-a)(1-b)(1-c)的最大值为.
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