2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第二章 一元二次函数、方程和不等式复习提升(含解析)

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名称 2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第二章 一元二次函数、方程和不等式复习提升(含解析)
格式 docx
文件大小 330.8KB
资源类型 试卷
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2024-06-19 19:22:41

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文档简介

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2025人教A版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 不能正确使用不等式的性质导致错误
1.(多选题)(2024安徽皖北地区部分学校月考)已知a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是(  )
A.若bc2B.若a3>b3且ab<0,则>
C.若a>b>c>0,则>
D.若c>b>a>0,则>
2.若-1易错点2 忽略基本不等式的应用条件而致错
3.(多选题)(2024河南郑州十所省级示范高中期中)下列说法正确的有(  )
A.已知x>1,则2x+-1的最小值为4+1
B.的最小值为2
C.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3
D.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最大值为3
4.(多选题)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则(  )
A.ab的最大值为
B.+的最小值为9
C.a2+b2的最小值为
D.(a+1)(b+1)的最大值为2
5.(2024天津河西期中)已知a,b,c>0,ab+ac=4,则++的最小值是    .
易错点3 忽略一元二次不等式中二次项系数的符号而致错
6.(2024湖北孝感高中调研)关于实数x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-27.(2024浙江宁波余姚中学质检)关于x的不等式(a2-25)x2-(a+5)x+1≤0的解集是 ,则实数a的取值范围是    .
易错点4 忽略分式不等式中的分母不为0而致错
8.已知集合A=,若1 A,则实数m的取值范围为    .
9.解关于x的不等式:≤0.
10.(2024四川成都双流中学月考)不等式≤1的解集为A.
(1)求集合A;
(2)若关于x的不等式ax2+(a-1)x-1≤0的解集为B,且A∩B=B,求a的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2024四川成都七中月考)已知当2≤x≤3,3≤y≤6时,不等式mx2-xy+y2≥0恒成立,则实数m的最小值为    .
2.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0对任意x∈{x|-2≤x≤4}恒成立,则m的取值范围为         .
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.(2024河南郑州外国语学校月考)(1)求不等式≤1的解集;
(2)求关于x的不等式ax2+2x+1>0(其中a>0)的解集.
4.(2023江西临川二中月考)设函数y=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围;
(2)解不等式:y<(m+1)x-3.
三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用
5.(2024湖北孝感高中调研)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1A.mC.x16.(多选题)(2024福建厦门一中适应性考试)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象开口向上,且对称轴为直线x=1,则下列选项正确的有(  )
A.|abc|+abc=0
B.当a≤x≤1-a时,ax2+bx+c的最大值为c-a2
C.关于x的不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)的解集为{x|x>或x<-}
D.若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值,则|b-1|≥
四、转化与化归思想在解不等式中的应用
7.(多选题)(2024山东济宁育才中学月考)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},则3a+2b+c的值不可以是(  )
A.  B.  C.  D.
8.(2023山东师范大学附属中学月考)已知a,b均为正数,且满足a+b+8=ab.
(1)求ab的最小值及取到最小值时a与b的值;
(2)求的最小值及取到最小值时a与b的值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.ABC 3.AC 4.BC
1.ABC 对于A,若bc20,可得bb3得a>b,结合ab<0,可知a>0>b,所以>0>,故B是真命题;对于C,由a>b>c>0,得ac>bc,所以ac+ab>bc+ab①,又>0,故①式两边同时乘,得>,故C是真命题;对于D,因为c>b>a>0,所以a-b<0,c-a>0,c-b>0,可得-=<0,即<,故D是假命题.故选ABC.
易错警示 运用不等式的性质解决问题,一要注意不等号的方向,二要注意不等式性质成立的条件.
2.答案 -解析 设t=x(a+b)+y(a-b),则2a+3b=(x+y)a+(x-y)b,∴解得∴t=(a+b)-(a-b),∵-1易错警示 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式的性质(如:先运用不等式的性质由条件求出a、b的范围,再运用不等式的性质求结论),否则易扩大范围.
3.AC 对于A,当x>1时,x-1>0,则2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当x=+1时,等号成立,因此A选项正确;对于B,当x<0时,<0,因此B选项错误;对于C,D,若正数x,y满足x+2y=3xy,则3==+,2x+y=(2x+y)=≥5+2=3,当且仅当x=y=1时,等号成立,故2x+y的最小值为3,因此C选项正确,D选项错误.故选AC.
4.BC ∵a,b均为正数,且a+2b=1,
∴由基本不等式可得,1=a+2b≥2,解得ab≤,当且仅当a=2b=,即a=,b=时等号成立,故A选项不正确;
+=(a+2b)=1+++4 ≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立,故B选项正确;
∵∴0∴a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5+,0∵a>0,b>0,且a+2b=1,
∴(a+1)(b+1)=(a+1)(2b+2)≤×=2,
当且仅当a+1=2b+2,且a+2b=1,即a=1,b=0时等号成立,
又b>0,故等号不成立,故D选项不正确.
故选BC.
易错警示 利用基本不等式求最大(小)值时,要验证“一正、二定、三相等”,在本题中要注意选项D中等号不成立,解题时易忽视等号成立的条件导致解题错误.
5.答案 4
解析 设a=x,b+c=y,问题转化为已知x>0,y>0,且xy=4,求++的最小值.
由++=+=(y+x)+≥2=4,
当且仅当(y+x)=,即x=y=2时,等号成立.
所以++的最小值为4,即++的最小值为4.
易错警示 利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑由条件得出两项和或两项积为定值.
6.答案 {x|x<0或x>2}
解析 由题意可得ax2+bx+c=0的解为-2,1,且a<0易错点,
可得解得
则不等式a(x2+1)+b(x+1)+c<3ax,
即为a(x2+1)+a(x+1)-2a<3ax,且a<0,
则x2+1+x+1-2>3x,整理得x2-2x>0,解得x<0或x>2,即解集为{x|x<0或x>2}.
7.答案 a≤-5或a>
解析 当a2-25=0易错点时,a=±5,
若a=5,则不等式可化为-10x+1≤0,解得x≥,不符合题意;
若a=-5,则不等式可化为1≤0,解集为 ,符合题意.
当a2-25≠0时,a≠±5,
则解得a<-5或a>.
综上,a≤-5或a>.
8.答案 {m|-1≤m<1}
解析 由≤0,得①
当m=0时,不等式为≤0,此时A= ,符合题意;
当m>0时,解①得-m因为1 A,所以m<1,此时0当m<0时,解①得m≤x<-m,则A={x|m≤x<-m},
因为1 A,所以-m≤1,解得m≥-1,此时-1≤m<0.
综上可得,实数m的取值范围是{m|-1≤m<1}.
易错警示 把含等号的分式不等式化为整式不等式求解时,切记不要忽略分母不等于零这一条件.
9.解析 ≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0易错点.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1此时原不等式的解集为{x|-1当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-110.解析 (1)∵≤1,∴≤0,即≤0,
因此或解得-2故A={x|-2(2)由ax2+(a-1)x-1≤0,得(ax-1)(x+1)≤0,
∵A∩B=B,∴B A,
当a=0时,B={x|x≥-1},不符合题意,舍去.
当a>0时,不等式可化为(x+1)≤0,
注意到-1<0<,∴B=,
∴≤3,又a>0,∴a≥.
当a<0时,不等式可化为(x+1)≥0,不符合题意,舍去.
综上,a的取值范围是.
思想方法练
5.C 6.ACD 7.AD
1.答案 0
解析 ∵2≤x≤3,∴≤≤,
又3≤y≤6,∴1≤≤3.①
∴不等式mx2-xy+y2≥0恒成立可转化为m≥-,1≤≤3恒成立,
易得-=-+,1≤≤3,
(利用二次函数图象的特点求出最大值)
结合二次函数的图象,得当=1时,-取得最大值,为0,∴m≥0,因此m的最小值为0.
2.答案 {m|2-2解析 设函数y=x2-mx+m+2,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=,
(设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解)
①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,与m≤-4矛盾,不符合题意;
②当-2<<4,即-40,解得2-2③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0,
解得m<6,与m≥8矛盾,不符合题意.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2思想方法 函数与方程思想在本章中的体现
(1)利用函数图象讨论方程根的个数及分布情况,讨论不等式的解集情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用;
(3)利用方程解决与函数有关的问题.
  函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.
3.解析 (1)由≤1,可得≤0,
不等式≤0 解得-2≤x<2.
所以不等式≤1的解集为{x|-2≤x<2}.
(2)由已知得Δ=4-4a,
(不等式ax2+2x+1>0对应方程根的情况不确定,要对判别式Δ=4-4a是大于0、等于0还是小于0进行讨论)
当Δ=0,即a=1时,不等式为x2+2x+1>0,所以x≠-1,
即不等式ax2+2x+1>0的解集为{x|x≠-1};
当Δ<0,即a>1时,不等式的解集为R;
当Δ>0,即0所以不等式ax2+2x+1>0的解集为xx<或x>.
综上,当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1};当a>1时,不等式的解集为R;当0.
4.解析 (1)(二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论)
当m=0时,y=-1<0恒成立,满足题意;
当m≠0时,由题意得解得-4综上所述,m的取值范围是{m|-4(2)不等式y<(m+1)x-3,即mx2-mx-1-(m+1)x+3<0,可化为(mx-1)(x-2)<0.
(解二次项系数含有参数的一元二次不等式,首先要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论)
当m=0时,原不等式就是x-2>0,解得x>2.
当m<0时,<2,原不等式可化为(x-2)>0,解得x<或x>2.
当m>0时,原不等式可化为(x-2)<0,
与2都是正数,要对它们的大小进行分类讨论
若m=,则原不等式就是(x-2)2<0,解集为 ;
若02,解原不等式得2若m>,则0<<2,解原不等式得综上所述,当m<0时,原不等式的解集为;当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2};当0时,原不等式的解集为.
思想方法 在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况:
(1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
5.C 方程ax2+bx+c+a=0的两根为m,n,即ax2+bx+c=-a的两根为m,n,且m可转化为y=ax2+bx+c与y=-a图象的交点的横坐标为m,n,且m当a>0时,如图1,结合函数图象可知,x1 
当a<0时,如图2,结合函数图象可知,x1综上,x16.ACD A选项,由二次函数的图象开口向上,得a>0,
由对称轴为直线x=-=1,得b=-2a<0,
由图象与y轴的交点在y轴正半轴上,得c>0,
所以abc<0,因此|abc|+abc=-abc+abc=0,因此A正确;
B选项,因为a>0,所以1-a<1,
由函数y=ax2+bx+c的图象知,当a≤x≤1-a<1时,
ax2+bx+c的最大值为a·a2+a·(-2a)+c=a3-2a2+c,因此B错误;
C选项,因为b=-2a,所以ax4+bx2=ax4-2ax2,
a(x2-2)2+b(x2-2)=ax4-4ax2+4a-2a(x2-2)=ax4-6ax2+8a,
故不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)可变形为4ax2-8a>0,
因为a>0,所以不等式为x2>2,解得x>或x<-,因此C正确;
D选项,t=x2+bx+1=+1-,
当x=-时,t取得最小值,最小值为1-,故t≥1-.
y=t2+bt+1=+1-,
(根据两函数有相同的最小值以及t的取值范围求解)
所以当t=-时,y取得最小值,最小值为1-,且-≥1-,
因此b2-2b-4≥0,所以(b-1)2≥5,即|b-1|≥,因此D正确.
故选ACD.
思想方法 数形结合思想在本章主要体现在三个“二次”的关系中,解题时要充分利用二次函数的图象,分析一元二次方程的根与一元二次不等式的解集.
7.AD 关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},
(不等式0≤ax2+bx+c恒成立,将条件进行转化)
所以不等式ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},且Δ=b2-4ac≤0.
(将不等式的解集的端点转化为对应一元二次方程的根)
由根与系数的关系知解得
所以Δ=(-a)2-4a·(-2a+1)=9a2-4a≤0,解得0≤a≤,又a>0,所以0所以3a+2b+c=3a-2a-2a+1=-a+1,
(利用a、b、c的关系,将3a+2b+c转化为关于a的表达式,进而求出范围)
由08.解析 (1)∵a>0,b>0,
∴a+b≥2,
由已知得a+b=ab-8,
(利用基本不等式将原等式转化为关于的不等式,解不等式求取值范围)
∴ab-8≥2,即()2-2-8≥0,
因此(+2)(-4)≥0,
∵+2>0,∴-4≥0,解得ab≥16,
当且仅当即a=b=4时,等号成立,
所以当a=b=4时,ab取最小值,最小值为16.
(2)由已知得===++5,
(把ab-8用a+b表示,将分式转化为齐次分式,考虑到分式的分母是单项式,运用除法将分式转化为积为定值的和式,运用基本不等式求解)
∵a>0,b>0,
∴++5≥2+5=9,
当且仅当即时,等号成立,
所以当a=,b=时,取最小值,最小值为9.
思想方法 转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化.
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