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资源详情
高中数学
人教A版(2019)
必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
本章复习与测试
2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第二章 一元二次函数、方程和不等式复习提升(含解析)
文档属性
名称
2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第二章 一元二次函数、方程和不等式复习提升(含解析)
格式
docx
文件大小
330.8KB
资源类型
试卷
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2024-06-19 19:22:41
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文档简介
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2025人教A版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1 不能正确使用不等式的性质导致错误
1.(多选题)(2024安徽皖北地区部分学校月考)已知a,b,c∈R,则下列命题为真命题的是( )
A.若bc2
B.若a3>b3且ab<0,则>
C.若a>b>c>0,则>
D.若c>b>a>0,则>
2.若-1
易错点2 忽略基本不等式的应用条件而致错
3.(多选题)(2024河南郑州十所省级示范高中期中)下列说法正确的有( )
A.已知x>1,则2x+-1的最小值为4+1
B.的最小值为2
C.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最小值为3
D.若正数x,y满足x+2y=3xy,则2x+y的最大值为3
4.(多选题)已知a>0,b>0,且a+2b=1,则( )
A.ab的最大值为
B.+的最小值为9
C.a2+b2的最小值为
D.(a+1)(b+1)的最大值为2
5.(2024天津河西期中)已知a,b,c>0,ab+ac=4,则++的最小值是 .
易错点3 忽略一元二次不等式中二次项系数的符号而致错
6.(2024湖北孝感高中调研)关于实数x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-2
7.(2024浙江宁波余姚中学质检)关于x的不等式(a2-25)x2-(a+5)x+1≤0的解集是 ,则实数a的取值范围是 .
易错点4 忽略分式不等式中的分母不为0而致错
8.已知集合A=,若1 A,则实数m的取值范围为 .
9.解关于x的不等式:≤0.
10.(2024四川成都双流中学月考)不等式≤1的解集为A.
(1)求集合A;
(2)若关于x的不等式ax2+(a-1)x-1≤0的解集为B,且A∩B=B,求a的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想在解不等式中的应用
1.(2024四川成都七中月考)已知当2≤x≤3,3≤y≤6时,不等式mx2-xy+y2≥0恒成立,则实数m的最小值为 .
2.若关于x的不等式x2-mx+m+2>0对任意x∈{x|-2≤x≤4}恒成立,则m的取值范围为 .
二、分类讨论思想在解不等式中的应用
3.(2024河南郑州外国语学校月考)(1)求不等式≤1的解集;
(2)求关于x的不等式ax2+2x+1>0(其中a>0)的解集.
4.(2023江西临川二中月考)设函数y=mx2-mx-1.
(1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求m的取值范围;
(2)解不等式:y<(m+1)x-3.
三、数形结合思想在三个“二次”问题中的应用
5.(2024湖北孝感高中调研)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(x1,0)与(x2,0),其中x1
A.m
C.x1
6.(多选题)(2024福建厦门一中适应性考试)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数)的图象开口向上,且对称轴为直线x=1,则下列选项正确的有( )
A.|abc|+abc=0
B.当a≤x≤1-a时,ax2+bx+c的最大值为c-a2
C.关于x的不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)的解集为{x|x>或x<-}
D.若关于x的函数t=x2+bx+1与关于t的函数y=t2+bt+1有相同的最小值,则|b-1|≥
四、转化与化归思想在解不等式中的应用
7.(多选题)(2024山东济宁育才中学月考)若关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},则3a+2b+c的值不可以是( )
A. B. C. D.
8.(2023山东师范大学附属中学月考)已知a,b均为正数,且满足a+b+8=ab.
(1)求ab的最小值及取到最小值时a与b的值;
(2)求的最小值及取到最小值时a与b的值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.ABC 3.AC 4.BC
1.ABC 对于A,若bc2
0,可得b
b3得a>b,结合ab<0,可知a>0>b,所以>0>,故B是真命题;对于C,由a>b>c>0,得ac>bc,所以ac+ab>bc+ab①,又>0,故①式两边同时乘,得>,故C是真命题;对于D,因为c>b>a>0,所以a-b<0,c-a>0,c-b>0,可得-=<0,即<,故D是假命题.故选ABC.
易错警示 运用不等式的性质解决问题,一要注意不等号的方向,二要注意不等式性质成立的条件.
2.答案 -
解析 设t=x(a+b)+y(a-b),则2a+3b=(x+y)a+(x-y)b,∴解得∴t=(a+b)-(a-b),∵-1
易错警示 利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式的性质(如:先运用不等式的性质由条件求出a、b的范围,再运用不等式的性质求结论),否则易扩大范围.
3.AC 对于A,当x>1时,x-1>0,则2x+-1=2(x-1)++1≥2+1=4+1,当且仅当x=+1时,等号成立,因此A选项正确;对于B,当x<0时,<0,因此B选项错误;对于C,D,若正数x,y满足x+2y=3xy,则3==+,2x+y=(2x+y)=≥5+2=3,当且仅当x=y=1时,等号成立,故2x+y的最小值为3,因此C选项正确,D选项错误.故选AC.
4.BC ∵a,b均为正数,且a+2b=1,
∴由基本不等式可得,1=a+2b≥2,解得ab≤,当且仅当a=2b=,即a=,b=时等号成立,故A选项不正确;
+=(a+2b)=1+++4 ≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立,故B选项正确;
∵∴0
∴a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1=5+,0
∵a>0,b>0,且a+2b=1,
∴(a+1)(b+1)=(a+1)(2b+2)≤×=2,
当且仅当a+1=2b+2,且a+2b=1,即a=1,b=0时等号成立,
又b>0,故等号不成立,故D选项不正确.
故选BC.
易错警示 利用基本不等式求最大(小)值时,要验证“一正、二定、三相等”,在本题中要注意选项D中等号不成立,解题时易忽视等号成立的条件导致解题错误.
5.答案 4
解析 设a=x,b+c=y,问题转化为已知x>0,y>0,且xy=4,求++的最小值.
由++=+=(y+x)+≥2=4,
当且仅当(y+x)=,即x=y=2时,等号成立.
所以++的最小值为4,即++的最小值为4.
易错警示 利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑由条件得出两项和或两项积为定值.
6.答案 {x|x<0或x>2}
解析 由题意可得ax2+bx+c=0的解为-2,1,且a<0易错点,
可得解得
则不等式a(x2+1)+b(x+1)+c<3ax,
即为a(x2+1)+a(x+1)-2a<3ax,且a<0,
则x2+1+x+1-2>3x,整理得x2-2x>0,解得x<0或x>2,即解集为{x|x<0或x>2}.
7.答案 a≤-5或a>
解析 当a2-25=0易错点时,a=±5,
若a=5,则不等式可化为-10x+1≤0,解得x≥,不符合题意;
若a=-5,则不等式可化为1≤0,解集为 ,符合题意.
当a2-25≠0时,a≠±5,
则解得a<-5或a>.
综上,a≤-5或a>.
8.答案 {m|-1≤m<1}
解析 由≤0,得①
当m=0时,不等式为≤0,此时A= ,符合题意;
当m>0时,解①得-m
因为1 A,所以m<1,此时0
当m<0时,解①得m≤x<-m,则A={x|m≤x<-m},
因为1 A,所以-m≤1,解得m≥-1,此时-1≤m<0.
综上可得,实数m的取值范围是{m|-1≤m<1}.
易错警示 把含等号的分式不等式化为整式不等式求解时,切记不要忽略分母不等于零这一条件.
9.解析 ≤0 ax(x+1)≤0且x+1≠0易错点.
当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≤0且x+1≠0 -1
此时原不等式的解集为{x|-1
当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};
当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0 x(x+1)≥0且x+1≠0 x<-1或x≥0,
此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.
综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1
10.解析 (1)∵≤1,∴≤0,即≤0,
因此或解得-2
故A={x|-2
(2)由ax2+(a-1)x-1≤0,得(ax-1)(x+1)≤0,
∵A∩B=B,∴B A,
当a=0时,B={x|x≥-1},不符合题意,舍去.
当a>0时,不等式可化为(x+1)≤0,
注意到-1<0<,∴B=,
∴≤3,又a>0,∴a≥.
当a<0时,不等式可化为(x+1)≥0,不符合题意,舍去.
综上,a的取值范围是.
思想方法练
5.C 6.ACD 7.AD
1.答案 0
解析 ∵2≤x≤3,∴≤≤,
又3≤y≤6,∴1≤≤3.①
∴不等式mx2-xy+y2≥0恒成立可转化为m≥-,1≤≤3恒成立,
易得-=-+,1≤≤3,
(利用二次函数图象的特点求出最大值)
结合二次函数的图象,得当=1时,-取得最大值,为0,∴m≥0,因此m的最小值为0.
2.答案 {m|2-2
解析 设函数y=x2-mx+m+2,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=,
(设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解)
①当≤-2,即m≤-4时,有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,与m≤-4矛盾,不符合题意;
②当-2<<4,即-4
0,解得2-2
③当≥4,即m≥8时,有42-m×4+m+2>0,
解得m<6,与m≥8矛盾,不符合题意.
综上所述,m的取值范围为{m|2-2
思想方法 函数与方程思想在本章中的体现
(1)利用函数图象讨论方程根的个数及分布情况,讨论不等式的解集情况;
(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用;
(3)利用方程解决与函数有关的问题.
函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.
3.解析 (1)由≤1,可得≤0,
不等式≤0 解得-2≤x<2.
所以不等式≤1的解集为{x|-2≤x<2}.
(2)由已知得Δ=4-4a,
(不等式ax2+2x+1>0对应方程根的情况不确定,要对判别式Δ=4-4a是大于0、等于0还是小于0进行讨论)
当Δ=0,即a=1时,不等式为x2+2x+1>0,所以x≠-1,
即不等式ax2+2x+1>0的解集为{x|x≠-1};
当Δ<0,即a>1时,不等式的解集为R;
当Δ>0,即0
所以不等式ax2+2x+1>0的解集为xx<或x>.
综上,当a=1时,不等式的解集为{x|x≠-1};当a>1时,不等式的解集为R;当0
.
4.解析 (1)(二次项系数含有参数的一元二次不等式恒成立问题,要分二次项系数为0与不为0两种情况讨论)
当m=0时,y=-1<0恒成立,满足题意;
当m≠0时,由题意得解得-4
综上所述,m的取值范围是{m|-4
(2)不等式y<(m+1)x-3,即mx2-mx-1-(m+1)x+3<0,可化为(mx-1)(x-2)<0.
(解二次项系数含有参数的一元二次不等式,首先要对二次项系数为正、为负、为0进行分类讨论)
当m=0时,原不等式就是x-2>0,解得x>2.
当m<0时,<2,原不等式可化为(x-2)>0,解得x<或x>2.
当m>0时,原不等式可化为(x-2)<0,
与2都是正数,要对它们的大小进行分类讨论
若m=,则原不等式就是(x-2)2<0,解集为 ;
若0
2,解原不等式得2
若m>,则0<<2,解原不等式得
综上所述,当m<0时,原不等式的解集为;当m=0时,原不等式的解集为{x|x>2};当0
时,原不等式的解集为.
思想方法 在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况:
(1)二次项系数含参数且没有给出具体范围时,要分二次项系数大于0,等于0,小于0三种情况讨论;
(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;
(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.
5.C 方程ax2+bx+c+a=0的两根为m,n,即ax2+bx+c=-a的两根为m,n,且m
可转化为y=ax2+bx+c与y=-a图象的交点的横坐标为m,n,且m
当a>0时,如图1,结合函数图象可知,x1
当a<0时,如图2,结合函数图象可知,x1
综上,x1
6.ACD A选项,由二次函数的图象开口向上,得a>0,
由对称轴为直线x=-=1,得b=-2a<0,
由图象与y轴的交点在y轴正半轴上,得c>0,
所以abc<0,因此|abc|+abc=-abc+abc=0,因此A正确;
B选项,因为a>0,所以1-a<1,
由函数y=ax2+bx+c的图象知,当a≤x≤1-a<1时,
ax2+bx+c的最大值为a·a2+a·(-2a)+c=a3-2a2+c,因此B错误;
C选项,因为b=-2a,所以ax4+bx2=ax4-2ax2,
a(x2-2)2+b(x2-2)=ax4-4ax2+4a-2a(x2-2)=ax4-6ax2+8a,
故不等式ax4+bx2>a(x2-2)2+b(x2-2)可变形为4ax2-8a>0,
因为a>0,所以不等式为x2>2,解得x>或x<-,因此C正确;
D选项,t=x2+bx+1=+1-,
当x=-时,t取得最小值,最小值为1-,故t≥1-.
y=t2+bt+1=+1-,
(根据两函数有相同的最小值以及t的取值范围求解)
所以当t=-时,y取得最小值,最小值为1-,且-≥1-,
因此b2-2b-4≥0,所以(b-1)2≥5,即|b-1|≥,因此D正确.
故选ACD.
思想方法 数形结合思想在本章主要体现在三个“二次”的关系中,解题时要充分利用二次函数的图象,分析一元二次方程的根与一元二次不等式的解集.
7.AD 关于x的不等式0≤ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},
(不等式0≤ax2+bx+c恒成立,将条件进行转化)
所以不等式ax2+bx+c≤1(a>0)的解集为{x|-1≤x≤2},且Δ=b2-4ac≤0.
(将不等式的解集的端点转化为对应一元二次方程的根)
由根与系数的关系知解得
所以Δ=(-a)2-4a·(-2a+1)=9a2-4a≤0,解得0≤a≤,又a>0,所以0
所以3a+2b+c=3a-2a-2a+1=-a+1,
(利用a、b、c的关系,将3a+2b+c转化为关于a的表达式,进而求出范围)
由0
8.解析 (1)∵a>0,b>0,
∴a+b≥2,
由已知得a+b=ab-8,
(利用基本不等式将原等式转化为关于的不等式,解不等式求取值范围)
∴ab-8≥2,即()2-2-8≥0,
因此(+2)(-4)≥0,
∵+2>0,∴-4≥0,解得ab≥16,
当且仅当即a=b=4时,等号成立,
所以当a=b=4时,ab取最小值,最小值为16.
(2)由已知得===++5,
(把ab-8用a+b表示,将分式转化为齐次分式,考虑到分式的分母是单项式,运用除法将分式转化为积为定值的和式,运用基本不等式求解)
∵a>0,b>0,
∴++5≥2+5=9,
当且仅当即时,等号成立,
所以当a=,b=时,取最小值,最小值为9.
思想方法 转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化.
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同课章节目录
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.2 集合间的基本关系
1.3 集合的基本运算
1.4 充分条件与必要条件
1.5 全称量词与存在量词
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
2.2 基本不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
第三章 函数概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
3.2 函数的基本性质
3.3 幂函数
3.4 函数的应用(一)
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
4.2 指数函数
4.3 对数
4.4 对数函数
4.5 函数的应用(二)
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.2 三角函数的概念
5.3 诱导公式
5.4 三角函数的图象与性质
5.5 三角恒等变换
5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)
5.7 三角函数的应用
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