2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第三章 函数的概念与性质（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第三章　函数的概念与性质
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=的定义域为(　　)
A.[-2,2]　　　　B.(-2,3)
C.[-2,1)∪(1,2]　　　　D.(-2,1)∪(1,2)
2.函数f(x)=的大致图象为(　　)
　　　　　　
3.设函数f(x)的定义域为R,则“函数y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“函数f(x)为奇函数”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
4.设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x),若f=,则f=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
5.已知函数f(x)=x2-4x+5在[m,n]上的值域是[1,10],则n-m的最大值是(　　)
A.3　　B.6　　C.4　　D.8
6.某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时获得的利润为100元,要使生产100千克该产品获得的利润最大,则x=(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.6
7.已知定义在[a-1,2a]上的偶函数f(x)满足:当x∈[0,2a]时, f(x)单调递减,则关于x的不等式f(x-1)>f(2x-3a)的解集是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且满足f(xy)=f(x)+f(y), f =1,如果对于任意x,y∈(0,+∞),且xf(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为(　　)
A.[-4,0)　　B.[-1,0)　　　　C.(-∞,0]　　D.[-1,4]
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.函数f(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A. f(0)=2
B. f(x)的定义域为[-2,2]
C. f(x)的值域为[-3,2]
D.若f(x)=0,则x=或x=2
10.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递减;②存在区间[a,b] D,使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b],则把y=f(x)(x∈D)称为闭函数.下列结论正确的是(　　)
A.函数y=x2+1是闭函数
B.函数y=-x3是闭函数
C.函数y=是闭函数
D.若函数y=k+是闭函数,则k∈
11.给出定义:若m-A.函数y=f(x)的定义域为R,值域为
B.函数y=f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称
C.函数y=f(x)是偶函数
D.函数y=f(x)在上单调递增
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm是R上的增函数,则m的值为　　　　　.
13.用max{a,b}表示a,b中的较大者.设f(x)=max{x+2,x2-3x+5},则函数f(x)的最小值是　　　　.
14.已知图象连续不断的函数f(x)是定义域为[-4,4]的偶函数,若对任意的x1,x2∈(0,4],当x10,则满足不等式(a+2)f(a+2)<(1-a)f(1-a)的a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时, f(x)=x2+2x.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)若函数f(x)在区间[-1,m-1]上单调递增,求实数m的取值范围.
16.(15分)已知函数f(x)=2x2-2ax+3.
(1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,2]上的值域;
(2)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(a),求g(a).
17.(15分)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位:分钟)满足5≤t≤20,t∈N.经测算,该路无人驾驶公交车的载客量p(t)(单位:人)与发车时间间隔t满足p(t)=其中t∈N.
(1)求p(6),并说明p(6)的实际意义;
(2)若该路无人驾驶公交车每分钟的净收益y(单位:元)满足y=-10,则当发车时间间隔为多少时,该路无人驾驶公交车每分钟的净收益最大 并求出每分钟的最大净收益.
18.(17分)已知函数f(x)=x(m|x|+1),m∈R.
(1)若m=-1,写出函数f(x)在[-1,1]上的单调区间,并求f(x)在[-1,1]内的最小值;
(2)设关于x的不等式f(x-m)19.(17分)设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)=.
(1)证明:函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称;
(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.C　要使函数有意义,则解得-2≤x≤2,且x≠1,
故函数f(x)的定义域为[-2,1)∪(1,2].故选C.
2.C　由题意知x≠0,故f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),因为f(-x)==-f(x),所以f(x)为奇函数,其图象关于原点对称,排除A,B.
当x>1时, f(x)>0,排除D.故选C.
3.B　取f(x)=3,则y=|f(x)|=3,其图象关于y轴对称,但函数f(x)为奇函数不成立;
若函数f(x)为奇函数,则|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,即y=|f(x)|是偶函数,其图象关于y轴对称,即必要性成立.
因此“函数y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件,故选B.
4.C　由题意得f(-x)=-f(x),所以f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=f(x),又f=,所以f=f=f=.故选C.
5.B　f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,
因为函数f(x)在[m,n]上的值域为[1,10],所以要取到最小值1,需满足2∈[m,n].
令f(x)=10,得x=-1或x=5,所以当n=5,m=-1时,n-m取得最大值,为6.故选B.
6.C　设生产100千克该产品获得的利润为f(x)元,
则f(x)=·100=10 000
=10 000,1≤x≤10,
令t=,则≤t≤1,y=10 000(-2t2+t+3)=-20 000,
因此当t=,即x=4时, f(x)最大.故选C.
7.D　 因为f(x)是偶函数,所以a-1+2a=0,解得a=,所以函数f(x)的定义域为,当x∈时, f(x)单调递减,
原不等式为f(x-1)>f(2x-1),等价于f(|x-1|)>f(|2x-1|),
则|x-1|<|2x-1|,两边平方得x2-2x+1<4x2-4x+1,
化简得3x2-2x>0,解得x>或x<0.
由得8.B　令x=y=1,得f(1)=2f(1),即f(1)=0;令x=,y=2,得f(1)=f(2)+f ,即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.
由f(-x)+f(3-x)≥-2,可得f(x2-3x)≥f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对于任意x,y∈(0,+∞),且xf(y),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以即解得-1≤x<0,即不等式f(-x)+f(3-x)≥-2的解集为[-1,0).
9.CD　由题图知f(0)=-2,故A错误;
函数的定义域为[-3,2],故B错误;
函数的值域为[-3,2],故C正确;
当0≤x≤1时,由f(0)=-2和f(1)=2易知f(x)=4x-2,令4x-2=0,得x=,因此若f(x)=0,则x=或x=2,故D正确.
故选CD.
10.BD　因为y=x2+1在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+1不是闭函数,A错误.
y=-x3在定义域上是减函数,若y=-x3是闭函数,则存在区间[a,b],使得函数的值域为[a,b],即解得因此存在区间[-1,1],使y=-x3在[-1,1]上的值域为[-1,1],B正确.
y==1-在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递增,函数在定义域上不单调,从而该函数不是闭函数,C错误.
y=k+在定义域[-2,+∞)上单调递增,若y=k+是闭函数,则存在区间[a,b],使函数的值域为[a,b],即所以a,b为方程x=k+的两个实数根,即方程x2-(2k+1)x+k2-2=0(x≥-2,x≥k)有两个不等的实数根.
设g(x)=x2-(2k+1)x+k2-2,
当k≤-2时,有可得-当k>-2时,有无解.
综上所述,k∈,D正确.
故选BD.
11.ABC　根据{x}的定义可得函数f(x)的定义域为R,
由{x}-由题意得f(x)=|x-{x}|=|x-m|,m∈Z,
当m=-1时,-当m=0时,-当m=1时,当m=2时,……
由此可画出函数y=f(x)的图象,如图所示,
由图象可得,y=f(x)的图象关于直线x=(k∈Z)对称,故B正确;
y=f(x)是偶函数,故C正确;y=f(x)在上单调递减,在上单调递增,故D不正确.
故选ABC.
12.答案　3
解析　函数f(x)=(m2-5m+7)xm是幂函数,则m2-5m+7=1,解得m=2或m=3.
当m=2时, f(x)=x2,在R上不是增函数,不满足题意;
当m=3时, f(x)=x3,在R上是增函数,满足题意.
因此m的值为3.
13.答案　3
解析　在同一直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2-3x+5的图象,则f(x)的图象如图中实线部分所示,
由图象可得, f(x)min=f(1)=3.
14.答案　
解析　对任意的x1,x2∈(0,4],当x10,
即x1f(x1)>x2f(x2),令g(x)=xf(x),则g(x)在(0,4]上单调递减,
因为f(x)为[-4,4]上的偶函数,所以f(-x)=f(x),
故g(-x)=-xf(-x)=-xf(x)=-g(x),即g(x)为[-4,4]上的奇函数,
根据奇函数图象的对称性可知,g(x)在[-4,4]上单调递减,
由不等式(a+2)f(a+2)<(1-a)f(1-a)可得g(a+2)所以解得-15.解析　(1)当x≤0时, f(x)=x2+2x,
则当x>0时,-x<0, f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x,(3分)
又y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=-x2+2x.(4分)
综上, f(x)=(6分)
(2)易知当x≤0时, f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在[-1,0]上单调递增;(8分)
当x>0时, f(x)在(0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
则f(x)在[-1,1]上单调递增.(10分)
因为函数f(x)在区间[-1,m-1]上单调递增,所以-116.解析　(1)当a=2时, f(x)=2x2-4x+3,其图象开口向上,对称轴方程为x=1,则f(x)=2x2-4x+3在[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,(3分)
于是在区间[-1,2]上, f(x)min=f(1)=1, f(x)max=f(-1)=9,(5分)
所以函数f(x)在区间[-1,2]上的值域为[1,9].(6分)
(2)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴方程为x=.(7分)
当≤-1,即a≤-2时, f(x)在[-1,1]上单调递增,则g(a)=f(-1)=5+2a;(9分)
当-1<<1,即-2当≥1,即a≥2时, f(x)在[-1,1]上单调递减,则g(a)=f(1)=5-2a.(13分)
综上,g(a)=(15分)
17.解析　(1)p(6)=60-16=44,(2分)
p(6)的实际意义为:当发车时间间隔为6分钟时,该路无人驾驶公交车的载客量为44人.(5分)
(2)∵p(t)=t∈N,
∴当5≤t<10时,y=-10=110-≤110-2=38,当且仅当6t=,即t=6时,等号成立,此时y的最大值为38;(9分)
当10≤t≤20时,y=-10=-10,
易知y=-10在t∈[10,20]上单调递减,
∴当t=10时,y取最大值,为28.4.(13分)
∵38>28.4,∴当发车时间间隔为6分钟时,该路无人驾驶公交车每分钟的净收益最大,最大净收益为38元.(15分)
18.解析　(1)若m=-1,则f(x)=x(1-|x|)=(2分)
因此f(x)在区间上单调递增,在区间和上单调递减.(4分)
又f=-, f(1)=0,故f(x)在[-1,1]内的最小值为-.(6分)
(2)由题可知f(x-m)由f(-x)=-x(m|-x|+1)=-x(m|x|+1)=-f(x),得f(x)为R上的奇函数.(7分)
①当m>0时, f(x)=mx·|x|+x,x>0时, f(x)=mx2+x单调递增,故f(x)为R上的增函数,此时恒有f(x-m)②当m<0时,令x=0,得f(-m)(i)x∈[-1,0)时,x-m>0,由f(x-m)又m<-1,∴2x2-2mx+m2-1>0,令h(x)=2x2-2mx+m2-1,
则h(-1)=m2+2m+1=(m+1)2>0,h(0)=m2-1>0,
∴当<-1,即m<-2时,h(x)>0恒成立,
当-2≤m<-1时,只需h=-1>0,得-2≤m<-,
∴m<-.(13分)
(ii)x∈(0,1]时,x-m>1,由f(x-m)0,显然恒成立.(15分)
综上所述,m的取值范围为(-∞,-)∪(0,+∞).(17分)
19.解析　(1)证明:∵g(x)=,x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),
∴g(-2-x)=.(2分)
∴g(x)+g(-2-x)=+=10,即对任意的x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞),都有g(x)+g(-2-x)=10成立,∴函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称.(5分)
(2)g(x)==5-,易知g(x)在上单调递增,∴g(x)在x∈上的值域为[-1,4].
记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A.
若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈,使得h(x1)=g(x2)成立,则A [-1,4].(7分)
∵当x∈[0,1]时,h(x)=x2-mx+m+1,
∴h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心点(1,2).
①当≤0,即m≤0时,函数h(x)在[0,1]上单调递增.由图象的对称性知,h(x)在[1,2]上单调递增,∴函数h(x)在[0,2]上单调递增.(8分)
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,则A=[m+1,3-m].
由A [-1,4],得解得m≥-1,又m≤0,∴-1≤m≤0.(10分)
②当0<<1,即0∴结合图象的对称性,知A=[h(2),h(0)]或A=.
∵0③当≥1,即m≥2时,函数h(x)在[0,1]上单调递减.由图象的对称性知,h(x)在[1,2]上单调递减,∴函数h(x)在[0,2]上单调递减.(14分)
易知h(0)=m+1,又h(0)+h(2)=4,∴h(2)=3-m,则A=[3-m,m+1].
由A [-1,4],得解得m≤3,又m≥2,∴2≤m≤3.(16分)
综上,实数m的取值范围为[-1,3].(17分)
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