2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第三章 函数的概念与性质拔高练（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　函数的概念与表示
1.(2022北京,11)函数f(x)=+的定义域是　　　　　　　　.
2.(浙江高考,12)设函数f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,则实数a=　　　　,b=　　　　.
考点2　分段函数的应用
3.(2022浙江,14)已知函数f(x)=则f =　　　　;若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.
4.(2022北京,14)设函数f(x)=若f(x)存在最小值,则a的一个取值为　　　;a的最大值为　　　　.
5.(2023北京,15)设a>0,函数f(x)=给出下列四个结论:
①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减;
②当a≥1时, f(x)存在最大值;
③设M(x1, f(x1))(x1≤a),N(x2, f(x2))(x2>a),则|MN|>1;
④设P(x3, f(x3))(x3<-a),Q(x4, f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,则a的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
考点3　函数的基本性质及运用
6.(2021全国乙理,4)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A. f(x-1)-1　　　　B. f(x-1)+1
C. f(x+1)-1　　　　D. f(x+1)+1
7.(2022天津,3)函数f(x)=的图象为(　　)
　
　
8.(2021新高考Ⅱ,8)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则(　　)
A. f =0　　　　B. f(-1)=0
C. f(2)=0　　　　D. f(4)=0
9.(2021全国甲理,12)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f =(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
10.(2022新高考Ⅱ,8)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)=(　　)
A.-3　　B.-2　　C.0　　D.1
考点4　幂函数及其应用
11.(2020全国Ⅱ,10)设函数f(x)=x3-,则f(x)　　(　　)
A.是奇函数,且在(0,+∞)单调递增　　　　
B.是奇函数,且在(0,+∞)单调递减
C.是偶函数,且在(0,+∞)单调递增　　　　
D.是偶函数,且在(0,+∞)单调递减
12.(2023上海,18)已知a,c∈R,函数f(x)=.
(1)若a=0,求函数的定义域,并判断是否存在c使得f(x)是奇函数,说明理由;
(2)若函数f(x)的图象过点(1,3),且与x轴负半轴有两个不同交点,求此时c的值和a的取值范围.
三年模拟练
应用实践
1.(2024安徽淮南月考)已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是(　　)
A.　　B.[-1,4]　　C.[-5,5]　　D.[-3,7]
2.(2024湖南常德期中)已知函数f(x)的定义域为R,函数g(x)=f(x)+x2为奇函数,且g(x-4)=g(x),则f(-6)的值为(　　)
A.-4　　B.-36　　C.0　　D.36
3.(多选题)(2024吉林省实验中学期中)对于函数y=的图象及性质,下列结论正确的是(　　)
A.图象上点的纵坐标不可能为1
B.图象关于点(1,1)成中心对称图形
C.图象与x轴无交点
D.函数在区间(-∞,1),(1,+∞)上均单调递减
4.(2024湖南长沙雅礼中学期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(2)=2,若对任意x1,x2∈(0,+∞),且x10,则不等式f(x)-x>0的解集为(　　)
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)　　　　B.(-2,2)
C.(-2,0)∪(0,2)　　　　D.(-2,0)∪(2,+∞)
5.(2023浙江温州期中)若幂函数f(x)=mxα的图象过点(2,8),则函数g(x)=α-x+的值域为　(　　)
A.　　　　B.[2,+∞) C.　　　　D.(-∞,2]
6.(2024福建厦门一中适应性考试)已知函数f(x)的定义域为R,且f(3)=5,若对任意不相等的实数x,y,恒有>-2,则不等式f(2x-1)<4x-3的解集为(　　)
A.(-∞,-1)　　　　B.(-1,+∞)　　C.(-∞,2)　　　　D.(2,+∞)
7.(多选题)(2024湖南长沙长郡中学期中)已知函数f(x)是定义在R上的函数.对任意a,b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b), f(-1)=,且x<0时, f(x)>0恒成立,则注:1+2+…+n=(　　)
A. f(2)=-B. f(x)是偶函数
C. f(x)在(0,+∞)上单调递减D. f+f+…+f=-
8.(2024天津河西期中)已知函数f(x)=则f(f(1))=　　　　;不等式f(x2-2x)9.设函数f(x)=,若函数f(x)在R上的最大值为M,最小值为m,则M+m=　　　　.
10.(2024浙江浙南名校联盟期中)设函数f(x)=|2x-a|-+a,若关于x的方程f(x)=2有且仅有两个不同的实数根,则实数a的值为　　　　.
11.(2024重庆育才中学检测)已知函数f(x)=x++b,a,b∈R.
(1)若a=-1,说明函数f(x)在(0,+∞)上的单调性,并证明;
(2)若对任意x∈[1,5],不等式2≤f(x)≤5恒成立,求b-a的最小值.
12.(2024安徽池州期中)已知函数f(x)=
(1)解不等式f()+2f(x)<0;
(2)若区间(-∞,2)上存在x1,x2满足f(x1)=f(x2),且x1迁移创新
13.(2023湖南湘东名校期中联考)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,可以将其进行推广:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数,已知函数f(x)=.
(1)求f(x)的图象的对称中心;
(2)已知函数g(x)同时满足:①y=g(x+1)-1是奇函数;②当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
高考风向　1.考查形式
本章内容可以单独考查,也可与基本初等函数、导数综合考查,若单独考查,一般设置1个小题,分值为5分左右.
2.考查内容
主要考查函数与幂函数的概念及其应用,分段函数的求值,函数单调性与奇偶性的判断,函数奇偶性、单调性及周期性的综合应用.在考查函数问题时,含参函数的分类讨论是考查的难点.
3.作用地位
本章为解决函数问题的基础,其研究函数的概念和基本性质,贯穿整个高中函数部分的学习过程.
6.B 7.D 8.B 9.D 10.A 11.A
1.答案　{x|x≤1且x≠0}
解析　要使f(x)=+有意义,
则解得x≤1且x≠0,
∴f(x)的定义域为{x|x≤1且x≠0}.
2.答案　-2;1
解析　f(x)-f(a)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)[x2+ax+a2+3(x+a)]=(x-a)[x2+(a+3)x+a2+3a]=(x-a)(x-a)·(x-b),则x2+(a+3)x+a2+3a=x2-(a+b)x+ab,即又a≠0,∴
3.答案　;3+
解析　∵f =-+2=>1,
∴f =f =+-1=.
由解得-1≤x≤1,
由解得1∴不等式1≤f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤2+},
∴b-a的最大值为2+-(-1)=3+.
4.答案　1(答案不唯一);1
解析　当a=0时, f(x)=易知f(x)的最小值为0,
当a=1时, f(x)=易知f(x)的最小值为0,
当a>1时,作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知f(x)无最小值,
当0由图可知f(x)的最小值为0,
当a<0时,作出f(x)的图象,如图所示,
由图可知f(x)无最小值.
综上,a可取[0,1]内的任意实数,a的最大值为1.
5.答案　②③
解析　f(x)的大致图象如图所示,
易知f(x)在(-∞,-a)上单调递增,在[-a,0)上单调递增,在[0,a]上单调递减,在(a,+∞)上单调递减.
对于①,当对于②,当x<-a时, f(x)<-a+2≤1,当-a≤x≤a时,0≤f(x)≤a,当x>a时, f(x)<--1≤-2,
所以当x=0时, f(x)取得最大值a,故②正确.
对于③,令M'(a,0),N'(a,--1),
显然|MN|>|M'N'|=+1>1,故③正确.
对于④,若|PQ|存在最小值,则点(0,0)到直线x+2=y的距离大于a,且直线y=-x与y=x+2的交点(-1,1)在射线y=x+2(x<-a)上,则>a,且-1<-a,又a>0,所以0综上,所有正确结论的序号是②③.
6.B　解法一:f(x)=-1+,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位长度,再沿y轴向上平移1个单位长度可得函数f(x-1)+1的图象,且该图象关于点(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.
解法二:选项A, f(x-1)-1=-2,此函数既不是奇函数也不是偶函数;选项B, f(x-1)+1=,此函数为奇函数;选项C, f(x+1)-1=,此函数既不是奇函数也不是偶函数;选项D, f(x+1)+1=,此函数既不是奇函数也不是偶函数.故选B.
7.D　函数f(x)=的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,且f(-x)==-=-f(x),
所以函数f(x)为奇函数,A选项错误;
当x<0时, f(x)=≤0,C选项错误;
当x>1时, f(x)===x-,易知f(x)单调递增,B选项错误.
故选D.
8.B　∵函数f(x)的定义域为R,且f(2x+1)为奇函数,
∴f(2×0+1)=0,即f(1)=0,且f(-2x+1)=-f(2x+1).设-2x+1=t,则2x=1-t,∴f(t)=-f(2-t).①
又∵f(x+2)为偶函数,∴f(-x+2)=f(x+2).②
结合①②,得f(t)=-f(2-t)=-f(t+2),∴f(-1)=-f(1)=0.故选B.
9.D　由题知
即
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又因为f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
由①②得从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
所以f=f=-f=f=-f=-=.故选D.
10.A　令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1)=f(x),则f(x+1)=f(x)-f(x-1),故f(x+2)=f(x+1)-f(x),f(x+3)=f(x+2)-f(x+1),
故f(x+3)=-f(x),故f(x+6)=f(x),
故函数f(x)的值每6个为一组重复出现,
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0) f(0)=2,
则f(2)=f(1)-f(0)=-1,
f(3)=f(2)-f(1)=-2,
f(4)=f(3)-f(2)=-1,
f(5)=f(4)-f(3)=1,
f(6)=f(5)-f(4)=2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
f(k)=3[f(1)+f(2)+…+f(6)]+f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3,故选A.
11.A　由函数y=x3和y=-都是奇函数,知函数f(x)=x3-是奇函数.由函数y=x3和y=-都在区间(0,+∞)上单调递增,知函数f(x)=x3-在区间(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)=x3-是奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增.故选A.
12.解析　(1)若a=0,则f(x)==x++1,
要使函数有意义,则x≠0,
即f(x)的定义域为{x|x≠0},
∵y=x+是奇函数,y=1是偶函数,
∴函数f(x)=x++1为非奇非偶函数,不可能是奇函数,故不存在实数c,使得f(x)是奇函数.
(2)若函数f(x)的图象过点(1,3),则f(1)===3,得3a+2+c=3+3a,得c=3-2=1,
此时f(x)=,若函数f(x)的图象与x轴负半轴有两个不同的交点,则f(x)==0,即x2+(3a+1)x+1=0有两个不相等的负根,且x≠-a,设g(x)=x2+(3a+1)x+1,
则解得a>,
若x=-a是方程x2+(3a+1)x+1=0的根,
则a2-(3a+1)a+1=0,即2a2+a-1=0,得a=或a=-1,
则实数a的取值范围是a>且a≠,即a∈∪.
三年模拟练
1.A 2.B 3.ABD 4.D 5.C 6.D 7.ACD
1.A　∵函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],∴x∈[-2,3],则x+1∈[-1,4],
即函数f(x)的定义域为[-1,4],
由-1≤2x-1≤4,得0≤x≤,∴函数y=f(2x-1)的定义域为.故选A.
2.B　因为函数g(x)=f(x)+x2为奇函数,
所以有g(-2)=-g(2),
又g(x-4)=g(x),所以g(-2)=g(2),
得g(-2)=g(2)=0,则g(-6)=g(-2)=0,
即g(-6)=f(-6)+(-6)2=0,所以f(-6)=-36.故选B.
3.ABD　y===1+,
则函数y=的图象可由y=的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,
∴y=的图象上点的纵坐标不可能为1,A正确;
图象关于点(1,1)成中心对称图形,B正确;
令y=0,得x=-2,故图象与x轴的交点为(-2,0),C不正确;函数在区间(-∞,1),(1,+∞)上均单调递减,D正确.
故选ABD.
4.D　因为0设函数g(x)=,则函数g(x)=在(0,+∞)上单调递增,且g(2)==1,
当x>0时,不等式f(x)-x>0等价于f(x)>x,即>1,
即g(x)>g(2),解得x>2,
又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,
所以当x=0时,不等式f(x)-x>0无解,
因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)=为偶函数,且在(-∞,0)上单调递减,g(-2)=g(2)=1,
当x<0时,不等式f(x)-x>0等价于f(x)>x,即 <1,即g(x)综上,不等式f(x)-x>0的解集为(-2,0)∪(2,+∞).故选D.
5.C　∵幂函数f(x)=mxα的图象过点(2,8),
∴m=1,且8=2α,∴α=3,∴f(x)=x3.
则g(x)=α-x+=3-x+.
令=t,则t≥0,x=t2+1≥1,
则g(x)可转化为F(t)=3-(t2+1)+t=-,
易知函数y=-的图象开口向下,对称轴方程为t=,
因此函数F(t)在上单调递增,在上单调递减,
当t=时,F(t)取得最大值,为,
所以F(t)的值域为,即g(x)的值域为.故选C.
6.D　对任意不相等的实数x,y,恒有>-2,
即>0,(解题关键:将条件不等式进行转化,构造函数,确定单调性)
令g(x)=f(x)-2x,则对任意不相等的实数x,y,恒有>0,即<0,
不妨设x>y,则y-x<0,所以g(y)-g(x)>0,即g(x)所以f(2x-1)<4x-3即为f(2x-1)-2(2x-1)<-1,
又因为f(3)=5,所以-1=f(3)-2×3,(技巧点拨:根据g(x)的形式,构造特殊函数值)
所以f(2x-1)-2(2x-1)即g(2x-1)因此2x-1>3,解得x>2,所以不等式f(2x-1)<4x-3的解集为(2,+∞).故选D.
7.ACD　由对任意a,b∈R,总有f(a+b)=f(a)+f(b),
可令a=b=0,则f(0+0)=f(0)+f(0),则f(0)=0,
令a=x,b=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
则有f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(-x)=-f(x),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,故f(x)是奇函数,故B错误;
由f(-1)=,可得f(1)=-,则f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=-+=-,故A正确;
设任意x1,x2∈(0,+∞),且x1又x1-x2<0,所以f(x1-x2)>0,则f(x1)>f(x2),则f(x)在(0,+∞)上单调递减,故C正确;
f+f+…+f=f
=f=f
=f=2 023×1 012×f.
由f+f+f=f=f(1)=-,可得f=-,
则2 023×1 012×f=2 023×1 012×=-,故D正确.故选ACD.
8.答案　15;(1,4)
解析　∵f(x)=∴f(1)=-1+6=5,
∴ f(f(1))=f(5)=3×5=15.
作出函数f(x)的图象,如图,
由图可知,函数f(x)在R上单调递增,
则由f(x2-2x)∴不等式f(x2-2x)9.答案　2
解析　易知f(x)==
=1-,
令g(x)=,易知其定义域为R,且g(-x)=-g(x),故g(x)为R上的奇函数,
因为g(x)=1-f(x),
所以若函数f(x)在R上的最大值为M,则g(x)min=1-M,
若函数f(x)在R上的最小值为m,则g(x)max=1-m,
由于g(x)为R上的奇函数,故g(x)min+g(x)max=0,即1-M+1-m=0,则M+m=2.
10.答案　4或1+2或1-2
解析　由已知得+=+1有两个不同的解,
令h(x)=+,g(x)=+1,则h(x)=且曲线y=h(x)的顶点在直线y=x上,
易得直线y=x与g(x)=+1的图象的交点坐标为(2,2),(-1,-1).
联立得x2+(1-a)x+2=0,由Δ=(1-a)2-8=0,解得a=1±2,
作出图象,如下:
由图可知a=1±2符合题意;
当函数h(x)的图象过点(2,2)时,符合题意,此时a=4.
故实数a的值为4或1+2或1-2.
11.解析　(1)当a=-1时, f(x)=x-+b,此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
证明: x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1-+b-=x1-x2+=.
因为x1,x2∈(0,+∞),且x10,x1-x2<0,x1x2+1>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(2)当a<0时,y=和y=x+b在[1,5]上都单调递增,所以f(x)在[1,5]上单调递增;
当a=0时,显然f(x)在[1,5]上单调递增;
当0当1当a≥25时,由对勾函数的性质可知, f(x)在(0,]上单调递减,所以f(x)在[1,5]上单调递减.
综上,当a≤1或a≥25时, f(x)在[1,5]上单调,要使不等式2≤f(x)≤5恒成立,
必有|f(x)max-f(x)min|≤3,
即|f(1)-f(5)|=≤3,解得≤a≤,不满足a≤1或a≥25;
当1由f(5)-f()=5++b-(2+b)≤3,解得5-≤≤5+,所以5-≤≤;
当50,所以f(x)max=f(1), f(x)min=f(),
由f(1)-f()=1+a+b-(2+b)≤3,解得1-≤≤1+,所以<≤1+.
综上,5-≤≤1+.
因为f()=2+b≥2,所以b≥2-2,
所以b-a≥2-2-a=-(+1)2+3,
由二次函数的性质可知,当=1+时,b-a取得最小值,为-(+2)2+3=-4-4.
12.解析　(1)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,0≤≤1,
此时f()=1-x2, f(x)=x|x|,则原不等式即为1-x2+2x|x|<0,-1≤x≤1,
①当x∈[-1,0]时,不等式为1-x2-2x2<0,
解得x<-或x>,所以x∈;
②当x∈(0,1]时,不等式为1-x2+2x2<0,此时不等式的解集为 .
综上所述,原不等式的解集为.
(2)证明:函数f(x)=的大致图象如图,(点拨:借助图象确定x1,x2的大致范围)
由图可知,当x∈(-∞,1]时,函数单调递增,当x∈(1,2)时,函数单调递减,
所以若f(x1)=f(x2),则x1<1由x2<2知,当x1≤0时,x1+x2<2成立,
下面通过构造函数,对0若x1>0,要证明x1+x2<2,只需证x2<2-x1,
(证明含有两个变量的不等式,通过分析法,结合两个变量x1,x2的关系: f(x1)=f(x2),化为一个变量的不等式进行证明)
易知1f(2-x1),(运用条件,将自变量间的不等关系转化为函数值间的不等关系)
因为f(x1)=f(x2),即只需证f(x1)>f(2-x1),(得到一个变量的不等式,构造函数)
构造函数F(x)=f(x)-f(2-x),x∈(0,1),则F(x)=x2-,(证明单调性可以得出结论)
任取x3,x4∈(0,1),且x3则F(x3)-F(x4)=+--=(x3+x4)(x3-x4)+=(x3-x4),
因为02,
所以(x3-x4)>0,即F(x3)-F(x4)>0,F(x3)>F(x4),
所以F(x)在(0,1)上单调递减,
又因为F(1)=f(1)-f(1)=0,
因此当x∈(0,1)时,F(x)>F(1)=0,即f(x)>f(2-x),所以f(x2)>f(2-x1),从而x1+x2<2得证.
名师点评　对于双变量函数,解题时一种方案是利用条件将其中的一个变量转化为另一个变量(如本题的解法),另一种方案是将两个变量化为统一形式后采用换元法.构造新的函数后既要得出解析式又要关注定义域,既要运用函数的性质又要借助函数的图象,从而探究解题思路.
13.解析　(1)f(x)===x-,
设f(x)的图象的对称中心为(a,b),
由题意得函数y=f(x+a)-b为奇函数,
则f(-x+a)-b=-[f(x+a)-b],即f(a-x)+f(a+x)=2b,即a-x-+a+x-=2b,
整理得(a-b)x2-[(a-b)(a+1)2-6(a+1)]=0,易知该式对任意x≠-1恒成立,
∴a-b=(a-b)(a+1)2-6(a+1)=0,解得a=-1,b=-1,∴函数f(x)的图象的对称中心为(-1,-1).
(2)设函数y=g(x),x∈[0,2]的值域为集合A,y=f(x),x∈[1,5]的值域为B,若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),则A B.易知函数f(x)=x-在[1,5]上单调递增,
∴B=[-2,4],
∵函数y=g(x+1)-1是奇函数,
∴函数g(x)的图象关于(1,1)成中心对称图形,
又当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m,
∴g(1)=1,∴函数g(x)的图象恒过定点(1,1).
当≤0,即m≤0时,函数g(x)在[0,2]上单调递增,又g(0)=m,g(2)+g(0)=2,
∴g(2)=2-m,∴A=[m,2-m],
由A B得解得-2≤m≤0.
当0<<1,即0g(x)max=max,
要使A B,
只需要
解得0当≥1,即m≥2时,函数g(x)在[0,2]上单调递减,
∴A=[2-m,m],
由A B,得
解得2≤m≤4.
综上,实数m的取值范围是[-2,4].
素养评析　本题考查函数的单调性、值域及函数图象的对称性问题,考查转化思想、分类讨论思想的应用以及运算求解能力.(1)中计算对称中心的过程主要考查数学运算;(2)中将问题转化为A B,考查逻辑推理;利用单调性求B,对参数分类讨论并结合函数图象求m的范围,主要考查逻辑推理及数学运算.
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