2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第四章 指数函数与对数函数（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
第四章　指数函数与对数函数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.函数f(x)=-log2x的零点所在区间是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　
C.(2,3)　　　　D.(3,4)
2.已知n∈N*,则“=a”是“a>0”的(　　)
A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件
C.充分必要条件　　　　D.既不充分也不必要条件
3.设a=0.50.4,b=log0.50.3,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a4.函数y=f(x)=x(ex-e-x)的图象大致为(　　)
　　　　　　
5.已知函数f(x)=ax-1-2(a>0,a≠1)的图象过定点M(m,n),则函数g(x)=m+xn的图象不经过(　　)
A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限
6.已知函数f(x)=ex+e-x+lg|x|,则不等式f(x+1)>f(2x-1)的解集为(　　)
A.(0,2)　　　　B.∪　　
C.(0,3)　　　　D.∪
7.荀子《劝学》中说:“不积跬步,无以至千里;不积小流,无以成江海.”学习是日积月累的过程,每天进步一点点,前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a,甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%,则n天后,甲同学的知识储备量为(1+2%)na,乙同学的知识储备量为(1-2%)na,则甲、乙的知识储备量之比为2∶1时需要经过的天数约为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 102≈2.008 6,lg 98≈1.991 2)(　　)
A.15　　　　B.18　　
C.30　　　　D.35
8.若定义在R上的函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,对任意的实数x,都有f(x+4)=-f(x),且f(3)=0,则函数y=f(x)在区间[0,2 024]上的零点最少有(　　)
A.2 020个　　　　B.1 768个　　
C.1 519个　　　　D.1 517个
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知函数f(x)=log2(1-x)+log2(1+x),则(　　)
A. f(x)的定义域为(-1,1)
B. f(x)为偶函数
C. f(x)在(0,1)上单调递增
D. f(x)的最大值是0
10.已知函数f(x)=,则(　　)
A.f(x)在[2,+∞)上单调递增
B. f(x)的值域为(0,+∞)
C.不等式f(x)<256的解集为(-1,5)
D.若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则实数a的取值范围为[-2,+∞)
11.已知函数f(x)=则下列说法正确的是(　　)
A.若y=f(x)的图象与直线y=t有三个交点,则实数t∈(0,1)
B.若f(x)=k有三个不同的实数根x1,x2,x3,则4C.不等式0≤f(f(x))≤1的解集是[0,3]
D.若f(x+a)>f(x)对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.若f(x)为定义在R上的偶函数,函数g(x)=f(x)(ex-e-x)+2,则g(-2 024)+g(2 024)=　　　　　.
13.已知函数f(x)=|log2(x+1)|,若-114.椭圆曲线y2+ay=x3+bx2+cx+d是代数几何中一类重要的研究对象.已知椭圆曲线C:y2=x3-3x+1,则C与x轴的交点个数n=　　　　;若f(x)=x2-2,C与x轴交点的横坐标从小到大排列为x1,x2,…,xn,则(f(xi)-xi+1)=　　　　.这里xn+1=x1,若n≥1,则ai=a1a2·…·an;若n=0,则ai=0
四、解答题(本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)求值:
(1)-(-9.6)0-+1.5-2;
(2)log25·log45-lo3-log24+.
16.(15分)设函数f(x)=lg(-2x),g(x)=4x-2x+2+3.
(1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并证明;
(2)写出函数y=f(g(x))的单调区间(直接写出结果);
(3)若 x∈[0,log23],g(x)≥a·2x-1成立,求a的取值范围.
17.(15分)中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明:某种红茶用95 ℃的水泡制,等到茶水温度降至55 ℃时饮用可以产生最佳口感,现在室温25 ℃下,某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1 min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据,如下表:
时间/min 0 1 2 3 4 5
水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.05 70.93 66.30
设茶水温度从95 ℃开始,经过x min后的温度为y ℃,现给出以下三种函数模型:
①y=(k>0);
②y=kax+b(k>0,0③y=loga(x+k)(a>1,k>0,x≥0).
(1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型,简单叙述理由,并利用前2 min的数据求出相应的解析式;
(2)根据(1)中所求的函数模型,求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间.
参考数据:lg 3≈0.477,lg 7≈0.845.
18.(17分)已知函数f(x)=ln x.
(1)若函数g(x)=且g(x)是增函数,求实数k的取值范围;
(2)若对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立,求a的取值范围.
19.(17分)已知函数f(x)=ln 为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为ln,ln,求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.D　函数f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,
又f(3)=2-log23>0, f(4)=-2=-<0,即f(3)·f(4)<0,
所以函数f(x)有唯一零点,且在(3,4)上,故选D.
2.B　若=a,推不出a>0,比如=-5,充分性不成立;
若a>0,则=a,必要性成立.
因此,“=a”是“a>0”的必要不充分条件.故选B.
3.C　∵0log0.50.5=1,c=log80.4∴c4.D　∵f(x)=x(ex-e-x)的定义域为R,且f(-x)=-x(e-x-ex)=x(ex-e-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,排除B,C;
取特殊值:f(0)=0, f(1)=e-, f(2)=2e2-,易得f(2)-f(1)>f(1)-f(0),∴当x>0时, f(x)增加的速度越来越快,即函数图象升高越来越快,排除A.故选D.
5.D　令x-1=0,得x=1, f(1)=1-2=-1,因此定点M(1,-1),即m=1,n=-1,
于是g(x)=1+,其图象不经过第四象限.故选D.
6.B　∵f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)=e-x+ex+lg|-x|=ex+e-x+lg|x|=f(x),∴f(x)为偶函数.
当x>0时, f(x)=ex+e-x+lg x,
令t=ex(x>0),则t>1,
由y=t+的图象知,函数y=t+在(1,+∞)上单调递增,且t=ex是增函数,
∴函数f(x)=ex+e-x+lg|x|在(0,+∞)上单调递增,
因此,不等式f(x+1)>f(2x-1) |x+1|>|2x-1|,且x+1≠0,2x-1≠0,
解得0f(2x-1)的解集为∪.故选B.
7.B　由题意可得(1+2%)na=2(1-2%)na,则nlg 1.02=lg 2+nlg 0.98,
即n==≈≈17.3.故选B.
8.C　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,又f(x)的定义域为R,所以f(x)为奇函数.
因为f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=f((x+4)+4)=-f(x+4)=f(x).
易得f(0)=0, f(-3)=-f(3)=0,所以f(-3+4)=-f(-3)=0,即f(1)=0, f(4)=-f(0)=0, f(5)=f(1+4)=-f(1)=0, f(7)=f(3+4)=-f(3)=0, f(8)=f(0)=0,故在[0,8)上,0,1,3,4,5,7为函数f(x)的零点,即f(x)在[0,8)上最少有6个零点.
因为2 024=253×8,所以函数f(x)在区间[0,2 024]上的零点最少有253×6+1=1 519(个).故选C.
9.ABD　函数f(x)=log2(1-x)+log2(1+x),则解得-1故函数f(x)的定义域为(-1,1),因此A正确;
f(-x)=log2(1+x)+log2(1-x)=f(x),因此B正确;
f(x)=log2(1-x2),由复合函数的单调性可知, f(x)在(0,1)上单调递减,因此C错误;
f(x)=log2(1-x2)≤log21=0,因此D正确.故选ABD.
10.ACD　设t=x2-4x+3,则y=2t.
对于A,t=x2-4x+3的图象是开口向上,对称轴为直线x=2的抛物线,则t=x2-4x+3在[2,+∞)上单调递增,又y=2t在R上单调递增,故f(x)在[2,+∞)上单调递增,A正确.
对于B,t=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,则y=2t≥,则f(x)的值域为,B错误.
对于C,不等式f(x)<256=28,即x2-4x+3<8,解得-1对于D,g(x)=2-ax·f(x)=,设m=x2-(4+a)x+3,则y=2m,
若g(x)=2-ax·f(x)在(-∞,1]上单调递减,则m=x2-(4+a)x+3在(-∞,1]上单调递减,必有(4+a)≥1,解得a≥-2,即实数a的取值范围为[-2,+∞),D正确.
故选ACD.
11.ABD　对于A,如图1,作出函数y=f(x)的图象,
由图可知,若y=f(x)的图象与直线y=t有三个交点,则实数t∈(0,1),因此A正确;
对于B,如图2,作出函数y=f(x),y=k的图象,
由题意得,两函数图象交点的横坐标为x1,x2,x3,不妨设x1则x1+x2=2,2对于C,由函数y=f(x)的图象可知,当0≤f(x)≤1时,0≤x≤3,
则由0≤f(f(x))≤1,可得0≤f(x)≤3,
则或解得-2≤x≤2或2所以不等式0≤f(f(x))≤1的解集是[-2,3],因此C错误;
对于D,当a=0时, f(x)>f(x)显然不成立,故a=0舍去,
当a>0时, f(x+a)的图象可以通过f(x)的图象向左平移a个单位长度得到,如图3,显然f(x+a)>f(x)不恒成立,舍去,
当a<0时, f(x+a)的图象可以通过f(x)的图象向右平移|a|个单位长度得到,如图4,
以直线y=-x+1-a与曲线y=-x2+4x-3(x>2)相切为临界,
由-x+1-a=-x2+4x-3,得x2-5x+4-a=0,所以Δ=25-4(4-a)=0,解得a=-,此时x=,符合题意,所以a<-.
综上所述,实数a的取值范围是,因此D正确.故选ABD.
12.答案　4
解析　由题意知g(-x)=f(-x)(e-x-ex)+2=-f(x)(ex-e-x)+2=-g(x)+4,故g(x)+g(-x)=4,则g(-2 024)+g(2 024)=4.
13.答案　(2,+∞)
解析　因为f(x)=|log2(x+1)|=
所以-1易得a+1>0,所以a+b+2=a+1+b+1=a+1+>2=2(a≠0),所以a+b+2的取值范围是(2,+∞).
14.答案　3;-9
解析　设g(x)=x3-3x+1,
则g(-2)=-1<0,g(-1)=3>0,g(0)=1>0,g(1)=-1<0,g(2)=3>0,
又因为三次方程至多有3个根,所以x3-3x+1=0有三个实根x1,x2,x3,且-2不妨设t是x3-3x+1=0的一个根,即t3-3t+1=0,则t2-2=1-,3t-1=t3,
则(t2-2)3-3(t2-2)+1=-3+1=-3+1=-3+1=0,所以t2-2也是x3-3x+1=0的一个根.
因为-2所以-2=1->1,-2=1-<0,-2=1-∈(0,1),
因此-2=x3,-2=x1,-2=x2,即f(x1)=x3, f(x2)=x1, f(x3)=x2.
因为x3-3x+1=0恰有三个实根x1,x2,x3,且x1所以g(x)=x3-3x+1=(x-x1)(x-x2)(x-x3),
因此(f(x1)-x2)(f(x2)-x3)(f(x3)-x1)=(x3-+2)(x1-+2)(x2-+2)=-(-1-x3)(2-x3)(-1-x1)(2-x1)(-1-x2)(2-x2)=-g(-1)g(2)=-9,即(f(xi)-xi+1)=-9.
15.解析　(1)-(-9.6)0-+1.5-2
=-1-+(3分)
=-1-+=-1=.(6分)
(2)log25·log45-lo3-log24+
=log52·log25+log33-2log22+2(10分)
=-+1-2+2=.(13分)
16.解析　(1)函数y=f(x)是奇函数.(1分)
证明:因为>=2|x|≥2x,
所以函数f(x)=lg(-2x)的定义域为R,(3分)
又f(-x)+f(x)=lg[-2(-x)]+lg(-2x)
=lg{[-2(-x)](-2x)}=lg 1=0,
所以函数y=f(x)是奇函数.(5分)
(2)函数y=f(g(x))的单调递增区间为[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).(10分)
(3)因为 x∈[0,log23],g(x)≥a·2x-1成立,g(x)=4x-2x+2+3,
所以4x-(4+a)2x+4≥0,
令t=2x,则t∈[1,3],因此t2-(4+a)t+4≥0,t∈[1,3]恒成立,所以a≤t+-4,(13分)
而t+-4≥2-4=0,当且仅当t=2时,等号成立,
因此a≤0,故a的取值范围为(-∞,0].(15分)
17.解析　(1)选择②y=kax+b(k>0,0对于模型①,当x=0时,函数无意义,故排除.(3分)
对于模型③,由题表中数据可知,当自变量增大时,函数值减小,故排除.(5分)
对于模型②,所给函数单调递减,且符合茶水温度不低于室温的要求,
故应选择模型②.
将前2 min的数据代入,得解得(8分)
所以所求函数解析式为y=70×0.9x+25.(9分)
(2)由(1)中模型可得70×0.9x+25=55,即0.9x=,(11分)
所以x=log0.9,即x==≈==8,
所以刚泡好的红茶放置8 min能达到最佳饮用口感.(15分)
18.解析　(1)因为函数g(x)是R上的增函数,
所以即(4分)
解得2≤k≤3,故k的取值范围为[2,3].(6分)
(2)因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以(8分)
由(2-a)ex-1>0得a<2-在x∈(0,+∞)上恒成立,
因为x>0,所以ex>1,所以0<<1,所以2->1,所以0因为对任意的正数x,不等式f((2-a)ex-1)≤f(a)+2x恒成立,
所以f((2-a)ex-1)≤f(ae2x),
因为f(x)在(0,+∞)上为增函数,
所以(2-a)ex-1≤ae2x在(0,+∞)上恒成立,
所以a≥在(0,+∞)上恒成立,(13分)
令t=2ex-1,t∈(1,+∞),则ex=,
所以a≥在t∈(1,+∞)上恒成立,
因为=≤=4-2,当且仅当t=时,等号成立,
所以a≥4-2.(16分)
综上,a的取值范围为[4-2,1].(17分)
19.解析　(1)因为函数f(x)=ln 为奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,(2分)
即ln +ln =ln =ln =0对定义域内任意x恒成立,所以k2=1,即k=±1,(4分)
显然k≠-1,又当k=1时, f(x)=ln 的定义域关于原点对称,
所以k=1为满足题意的值.(5分)
(2)结论:f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上均单调递增.(6分)
证明:由(1)知f(x)=ln ,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),不妨设x1则f(x1)-f(x2)=ln -ln =ln ,(7分)
因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,
且(x1-1)(x2+1)>0,(x1+1)(x2-1)>0,
所以0<<1,
所以f(x1)-f(x2)=ln <0,(9分)
即f(x1)同理, f(x)在(-∞,-1)上单调递增.(11分)
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上单调递增,
又因为函数f(x)在[α,β]上的值域为ln,ln,
所以m>0,且即(13分)
即α,β是方程=mx-的两实根,即方程mx2-x+1-=0在(1,+∞)上有两个不等实根,(14分)
令h(x)=mx2-x+1-,其图象的对称轴方程为x=-,
则即(16分)
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