2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第四章 指数函数与对数函数拔高练（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　指数、对数运算
1.(2022天津,6)化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为(　　)
A.1　　B.2　　C.4　　D. 6
2.(2021全国甲理,4)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5　　B.1.2　　C.0.8　　D.0.6
3.(2022浙江,7)已知2a=5,log83=b,则4a-3b=(　　)
A.25　　B.5　　C.　　D.
4.(2023北京,11)已知函数f(x)=4x+log2x,则f =　　　　.
考点2　指数函数、对数函数的综合运用
5.(2023北京,4)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)
A. f(x)=-ln x　　　　B. f(x)=
C. f(x)=-　　　　D. f(x)=3|x-1|
6.(2023新课标Ⅱ,4)若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a=(　　)
A.-1　　B.0　　C.　　D.1
7.(2021天津,3)函数y=的图象大致为(　　)
8.(2023天津,3)若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.c>a>b　　B.c>b>a　　C.a>b>c　　D.b>a>c
9.(2023新课标Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是(　　)
A.(-∞,-2]　　　　B.[-2,0)
C.(0,2]　　　　D.[2,+∞)
10.(2020全国Ⅱ理,11)若2x-2y<3-x-3-y,则(　　)
A.ln(y-x+1)>0　　　　B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0　　　　D.ln|x-y|<0
11.(2023全国甲文,11)已知函数f(x)=.记a=f,b=f,c=f,则(　　)
A.b>c>a　　B.b>a>c　　C.c>b>a　　D.c>a>b
12.(2022全国乙文,16)若f(x)=ln+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.
考点3　函数零点及其应用
13.(2020浙江,9)已知a,b∈R且ab≠0,对于任意x≥0均有(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0,则(　　)
A.a<0　　B.a>0　　C.b<0　　D.b>0
14.(2020天津,9)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是(　　)
A.∪(2,+∞)
B.∪(0,2)
C.(-∞,0)∪(0,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
15.(2021北京,15)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时, f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是　　　　.
考点4　函数模型的综合运用
16.(2020全国Ⅰ,5改编)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:℃)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在10 ℃至40 ℃之间,下面四个函数模型中最适宜作为发芽率y和温度x的函数模型的是(　　)
A.y=a+bx　　　　B.y=a+bx2
C.y=a+bex　　　　D.y=a+bln x
17.(多选题)(2023新课标Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则(　　)
A.p1≥p2　　　　B.p2>10p3
C.p3=100p0　　　　D.p1≤100p2
三年模拟练
应用实践
1.(2024陕西西安期中)已知f(x)=在R上单调递减,那么a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　B.　　C.　　D.
2.(2023福建福州期中)已知a=log52,b=,c=ln,则下列判断正确的是(　　)
A.cC.a3.(2024江苏徐州期末)2023年12月30日,我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭成功发射卫星互联网技术试验卫星.在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)的函数关系是v=alg(a是参数).当M=5 000m时,v大约为(参考数据:lg 2≈0.301 0)(　　)
A.2.097a　　B.3.699a　　C.3.903a　　D.4.699a
4.(2024江苏苏州期末)某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动.一张纸每对折一次,纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张(其厚度等同于0.076 6毫米的胶版纸)进行无限次的对折.借助计算工具进行运算,整理记录了其中的三次数据如下:
折纸次数 纸张厚度 参照物
22 321米 苏州东方之门的高度约为301.8米
27 10 281米 珠穆朗玛峰的高度约为8 848.86米
38 2.1万公里 地球直径约为1.3万公里
已知地球到月亮的距离约为38万公里,若纸张的厚度超过地球到月亮的距离,则理论上至少对折的次数为(　　)
A.41　　B.43　　C.45　　D.47
5.(2023浙江温州中学期中)函数f(x)=(x∈[0,3])的值域是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
6.(2023吉林长春东北师大附中期中)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时, f(x)=如果关于x的方程m[f(x)]2+nf(x)+1=0恰有7个不同的实数根,那么m-n的值等于(　　)
A.2　　B.-2　　C.1　　D.-1
7.(2024天津和平期末)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=m有4个不同的解x1,x2,x3,x4,其中x18.(2024浙江台金七校联盟期中)已知函数f(x)与函数g(x)满足g(x)=f(-x),若f(x)和g(x)在区间[a,b]上的单调性不同,则称区间[a,b]为函数f(x)的“异动区间”.若区间[-1,2]是函数f(x)=的“异动区间”,则t的取值范围是　　　　　　　　.
9.(2023湖北新高考协作体联考)计算:
(1)[(lg 2)2+lg 2lg 5]+;
(2)(-0.1)0+++-+.
10.(2024辽宁沈阳期末)如图,沈阳东塔桥是沈阳唯一一座“双塔钢结构自锚式悬索桥”,悬索的形状是平面几何中的悬链线,悬链线方程为y=(+)(c为参数,e≈2.718 28).当c=1时,该方程就是双曲余弦函数cosh x=(ex+e-x),类似的有双曲正弦函数sinh x=(ex-e-x).
(1)证明:cosh(2x)=(cosh x)2+(sinh x)2;
(2)当x∈[0,ln 2]时,求f(x)=2cosh(2x)-4ksinh x的最小值h(k);
(3)设g(x)=cosh x+sinh x+ln(cosh x+sinh x)-2,证明:g(x)有唯一的正零点x0,并比较x0和ln 的大小.
迁移创新
11.(2024重庆一中期末)高一年级的小红学习了基本不等式后,和高三年级的哥哥小东说:“哥哥,我知道你以前说的‘基本不等式’是怎么回事了,我还可以对它扩充呢!”然后小红在草稿本上工工整整地写下了“若a>0,b>0,则≤≤≤”.小东微笑着说:“恭喜你获得了新知识,加油!等你上高三了还可以往这个不等式里面补充内容,看我写一个.”于是小东在本上写下了“若a>0,b>0,a≠b,则<<<<”,小东看着小红崇拜的眼睛,又补充说:“虽然你现在还不能完全证明它,但是你可以用‘若a>0,b>0,a≠b,则<<’作为条件来证明另一个结论‘<<’.”
(1)请完成小东所说结论的证明,即用“若a>0,b>0,a≠b,则<<”作为条件,证明结论“<<”成立;
(2)请用(1)中的结论解决问题:已知函数f(x)=x-aex有两个不同的零点x1和x2,证明x1+x2>2;
(3)小红成功完成(2)中的证明后,翻看哥哥小东的高三资料,发现了这样一道题:若函数g(x)=ln x-ax有两个不同的零点x1和x2,证明x1x2>e2,她兴奋地对哥哥说:“我发现这个题在本质上跟(2)中的题目是一模一样的!”请问你认同小红的说法吗 写出你的观点并说明理由.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
高考风向　1.考查形式
本章是高考的重点内容,也是高中数学学习的难点.在高考中既有考查指数、对数运算性质的基础题,也有考查指数函数、对数函数图象性质的中档题和难题.可以单独考查,也可与函数的图象与性质、导数(后面会学)综合考查,考查1~2个选择题或填空题、1个解答题,分值占20分左右.
2.考查内容
主要考查指数与对数运算的应用,以与幂、指数、对数函数有关的函数为背景,解决函数的图象、性质、零点问题,用幂、指数、对数型函数模拟实际问题并解决实际问题.与导数结合综合考查函数问题,是近年高考的重点与难点.
3.作用地位
本章内容是函数中的重点内容.幂函数、指数函数与对数函数是构成其他函数的基础,函数的零点、函数模型构成函数问题的两种常见题型.
1.B 2.C 3.C 5.C 6.B 7.B 8.D 9.D
10.A 11.A 13.C 14.D 16.D 17.ACD
1.B　原式=
=log23×log32=2,故选B.
2.C　将L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,
即lg V=-0.1=-=lg 1,
∴V=1=≈≈0.8,
∴其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C.
3.C　由log83=b得8b=3,又2a=5,所以4a-3b====,故选C.
4.答案　1
解析　因为f(x)=4x+log2x,所以f=+log2=2-1=1.
5.C　对于A,因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;
对于B,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故B错误;
对于C,因为y=在(0,+∞)上单调递减,
所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故C正确;
对于D,因为f===, f(1)=3|1-1|=30=1, f(2)=3|2-1|=3,显然f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C.
6.B　解法一:由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x),
即(x+a)ln=(-x+a)ln,
即(x+a)ln=(-x+a)ln=(-x+a)·,∴x+a=-(-x+a)恒成立,
∴a=0.故选B.
解法二(特殊值法):易知f(x)的定义域为∪,由已知得 x∈∪, f(-x)=f(x)恒成立,
∴f(1)=f(-1),∴(1+a)ln=(-1+a)ln 3,∴a=0.
经检验符合题意,故选B.
解法三:易知y=ln为奇函数,又f(x)为偶函数,
∴y=x+a为奇函数,∴a=0.故选B.
7.B　设f(x)=(x≠0),由于f(-x)==f(x),故f(x)是偶函数,排除A、C.
当x>1时,ln x>0,x2+2>0,有f(x)>0,排除D.
故选B.
8.D　易知y=1.01x在R上单调递增,
所以1=1.010<1.010.5<1.010.6,即1易知y=0.6x在R上单调递减,所以1=0.60>0.60.5=c,
所以b>a>1>c,故选D.
9.D　因为函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以函数y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,所以≥1(结合函数y=x(x-a)的图象,根据对称轴的位置与区间(0,1)的关系列不等式),即a≥2,故a的取值范围是[2,+∞),故选D.
10.A　因为2x-2y<3-x-3-y,所以2x-3-x<2y-3-y.
设f(x)=2x-3-x,
因为y=2x与y=-3-x在R上都是增函数,
所以f(x)在R上为增函数.
由2x-3-x<2y-3-y得x所以y-x+1>1,
所以ln(y-x+1)>0,故选A.
11.A　因为f(x)=是由y=et,t=-(x-1)2复合而成的,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
因为<<1<,所以a=f易知c=f=f.
下面比较,与2-的大小关系.
先比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较+与4的大小,
易得(+)2=8+4,42=16,
又<2,所以8+4<16,故<2-;
再比较与2-的大小,即比较与2的大小,即比较+与4的大小,
易得(+)2=9+6,42=16,又<,
所以9+6>16,故>2-,
故<2-<,故a12.答案　-;ln 2
解析　∵f(x)=ln+b=ln+b,
∴x≠1,
又f(x)为奇函数,
∴x=-1是关于x的方程a+1-ax=0的根,
∴a=-,∴f(x)=ln+b,
∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞),
∴f(0)=ln +b=0,∴b=ln 2.
13.C　令x=0,则ab(-2a-b)≥0,即ab(2a+b)≤0.若a>0,则b(2a+b)≤0,即-2a≤b<0;若a<0,则b(2a+b)≥0,即b<0或b≥-2a,当b≥-2a时,不妨取b=t-2a,t≥0,则(x-a)(x-t+2a)(x-t)≥0,其中x-a>0,所以(x-t+2a)·(x-t)≥0,解得x≤t或x≥t-2a,即在(t,t-2a)上原不等式不成立,不符合题意.
综上所述,b<0.故选C.
14.D　令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点.
当k=-时,h(x)==,在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象,如图.
由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B;
当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象,如图所示.
此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C.故选D.
15.答案　①②④
解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点,如图d,故②正确,③不正确.
综上,正确结论的序号为①②④.
图a
图b
图c　图d
16.D　把题图中散点用光滑曲线连接起来比较接近对数型函数的图象,故选D.
17.ACD　p0,p1,p2,p3均大于0,∵-=20×lg -20×lg =20×lg ≥0,
∴≥1,∴p1≥p2,故A正确;
∵-=20×lg ≥10,∴lg ≥,∴≥,∴p2≥p3,故B错误;
∵=20×lg =40,∴=100,∴p3=100p0,故C正确;
∵-=20×lg≤90-50=40,∴lg≤2,∴≤100,∴p1≤100p2,故D正确.
故选ACD.
三年模拟练
1.C 2.C 3.B 4.B 5.A 6.A
1.C　因为f(x)在R上单调递减,所以解得≤a<,故选C.
2.C　a=log52=,∴b==log2>log2=,而c=ln =,故a3.B　由于5 000远大于1,
故v=alg=alg(1+5 000)≈alg 5 000=a(lg 5+lg 1 000)=a(3+lg 5)=a(3+1-lg 2)=a(4-lg 2),
因为lg 2≈0.301 0,所以v≈a(4-0.301 0)=3.699a.故选B.
4.B　设a=0.076 6,则由题意得a·238(毫米)=2.1(万公里),
设至少对折x次,纸张厚度超过38万公里,
则a·2x>38 ·2x>38 2x-38>≈18.1,
因为24=16<18,25=32>18,函数y=2x在R上单调递增,
所以x-38≥5 x≥43,
因此理论上至少对折43次,纸张的厚度会超过地球到月亮的距离.故选B.
5.A　设2x=t,因为x∈[0,3],所以t∈[1,8],则函数f(x)的解析式可化为g(t)===3+=3+,t∈[1,8],
令m=t+1,则m∈[2,9],易知函数y=m++3在[2,3]上单调递减,在[3,9]上单调递增,所以当m=3时,=9,此时g(t)max=3+=.
又m=2时,m++3=,m=9时,m++3=13>,
所以=13,则g(t)min=3+=.
所以函数f(x)的值域为.故选A.
6.A　由题意作出函数f(x)的图象,如图所示:
由图象可知,要使方程m[f(x)]2+nf(x)+1=0恰有7个不同的实数根,则f(x)的值为1和2,
所以解得
则m-n=-=2.故选A.
7.答案　
解析　作出函数f(x)=的图象,如图所示:
因为关于x的方程f(x)=m有4个不同的解x1,x2,x3,x4,其中x1所以0因此=,=-,
因为f(x1)=f(x2),所以=-,
因此+=0,即+=2.
由图象得x3+x4=4,x3x4=x3(4-x3)=-+4x3=-(x3-2)2+4,
因为1所以+==∈,
因此+++的取值范围为.
8.答案　∪[25,+∞)
思路点拨　(1)由g(x)=f(-x)知两函数图象关于y轴对称;(2)“异动区间”是指单调性不同的区间;(3)f(x)=-t的图象与x轴交于点(-log5t,0),根据参数t的范围不同交点位置不同进行分类讨论.
解析　依题意得g(x)=f(-x)==|5x-t|,
当t≤0时,g(x)=|5x-t|=5x-t,且g(x)在[-1,2]上单调递增, f(x)=-t,且f(x)在[-1,2]上单调递减,满足要求;
当0可以看出两函数图象关于y轴对称,
要想[-1,2]是函数f(x)的异动区间,
必须满足解得0当t=1时, f(x)=,g(x)=|5x-1|,画出两函数图象,如图②,
可以看出两函数图象在[-1,2]上的单调性相同,不合要求,舍去;
当t>1时,画出两函数图象,如图③,可以看出两函数图象关于y轴对称,
要想[-1,2]是函数f(x)的异动区间,
则解得t≥25,满足t>1.
综上所述,t的取值范围是∪[25,+∞).
9.解析　(1)原式=lg 2(lg 2+lg 5)+e=1+e.
(2)原式=1+(++-+=1+22+2+=7+.
10.解析　(1)证明:依题意得cosh(2x)=,
则(cosh x)2+(sinh x)2=+=+=,
所以cosh(2x)=(cosh x)2+(sinh x)2.
(2)易得f(x)=e2x+e-2x-2k(ex-e-x),
令t=ex-e-x,当x∈[0,ln 2]时,t∈,
于是f(x)的最小值即φ(t)=t2-2kt+2=(t-k)2-k2+2在t∈上的最小值,
当k>时,φ(t)在上单调递减,则h(k)=φ=-3k+;
当0≤k≤时,h(k)=φ(k)=-k2+2;
当k<0时,φ(t)在上单调递增,则h(k)=φ(0)=2.
综上,h(k)=
(3)依题意得g(x)=ex+x-2,x∈R,
显然g(x)=ex+x-2在R上单调递增,且g(0)=-1<0,g=->0,
则在上存在唯一的实数x0,使g(x0)=0,所以g(x)有唯一的正零点x0.
由+x0-2=0,得=2-x0,两边同时取对数得x0=ln(2-x0),
于是x0-ln =ln(2-x0)+ln =ln,
又y=-+2x0=-(x0-1)2+1在上单调递增,所以0<-+2x0<,
因此ln所以x011.思路点拨　(1)条件:<<;结论:<<;联系:a→ea,b→eb.
(2)条件:x1=a,x2=a;结论:x1+x2>2;联系:x1+x2=a(+),结合题(1)中的结论,要点是消去参数a.
(3)已知函数:f(x)=x-aex;未知函数:g(x)=ln x-ax;联系:x→ln x.
解析　(1)证明:当a>0,b>0,a≠b时,有<<,
将a换为ea,将b换为eb关键点,则ea>0,eb>0,且ea≠eb,
所以<<,即<<,所以<<.
(2)证明:因为函数f(x)=x-aex有两个不同的零点x1,x2,
所以f(x1)=x1-a=0, f(x2)=x2-a=0,即x1=a,x2=a,
将两式相加,可得x1+x2=a(+),
将两式相减,可得x1-x2=a(-),
要证x1+x2>2,只需证x1+x2=a(+)>2,
即证(+)>2关键点,
即证>,
由(1)知当a>0,b>0,a≠b时,有<<,
因此<成立.
从而(+)>2,即x1+x2>2.
(3)认同小红的说法,理由如下.
解法一:由题(2)的结论推出题(3)的结论,说明一致.
对于函数g(x)=ln x-ax,设x=et,则t=ln x,得y=t-aet.
由(2)知,若函数y=t-aet有两个不同的零点t1和t2,则t1+t2>2.
因此ln x1+ln x2>2,所以ln(x1x2)>2,所以x1x2>e2.
即若函数g(x)=ln x-ax有两个不同的零点x1和x2,则x1x2>e2.
故这个题在本质上跟(2)中的题目是一模一样的.
解法二:由题(2)的方法,运用题(1)中已知不等式推出题(3)的结论,说明一致.
因为函数g(x)=ln x-ax有两个不同的零点x1,x2,且x1,x2>0,x1≠x2,
所以g(x1)=ln x1-ax1=0,g(x2)=ln x2-ax2=0,
即ln x1=ax1,ln x2=ax2,
将两式相加,可得ln x1+ln x2=a(x1+x2),
将两式相减,可得ln x1-ln x2=a(x1-x2),
要证x1x2>e2,即证ln(x1x2)=ln x1+ln x2>ln e2=2,
即证ln x1+ln x2=a(x1+x2)>2,
即证ln x1+ln x2=(x1+x2)>2,
即证>,
由题意可知,当a>0,b>0,a≠b时,有<<,
因此>显然成立.
故这个题在本质上跟(2)中的题目是一模一样的.
素养评析　逻辑思维是数学思维的核心,逻辑推理是一种重要的数学核心素养,解题时常利用已知结论(定理、性质、公式、一些重要的结论)解决相关问题,解题的关键是找到未知问题与已知结论的联系,从联系出发,创造定理的条件进而得到定理的结论.
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