2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第四章 指数函数与对数函数复习提升（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视对参数取值范围的讨论导致错误
1.(2023四川泸定中学月考)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是(　　)
A.(0,1)∪(1,+∞)　　　　B.(0,1)　　C.(1,+∞)　　　　D.
2.(多选题)(2024重庆南开中学期末)若logab<0(a>0且a≠1,b>0),则函数f(x)=ax+b与g(x)=logb(a-x)在同一坐标系内的大致图象可能是(　　)
　　　　　　
3.(2024安徽合肥期末)已知函数f(x)=|loga(x-2)-3|(a>0,且a≠1).
(1)证明函数f(x)的图象过定点;
(2)设m∈R,且m>4,求函数f(x)在[4,m]上的最小值.
易错点2　研究函数时忽视定义域或值域导致错误
4.(2024天津静海段考)函数f(x)=lg(x2+x-2)的单调递增区间是(　　)
A.　　　　B.　　
C.(-∞,-2)　　　　D.(1,+∞)
5.(2024浙江浙南名校联盟期中)设函数f(x)=2x+a·2-x-1(a为实数).
(1)当a=0时,求方程|f(x)|=的根;
(2)当a=2时,设函数g(x)=-2x+b,若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.
6.(2022浙江温州新力量联盟期中)已知函数f(x)=4x-2x+1+k的定义域是[-1,+∞),g(x)=f(x)+f(-x).
(1)写出g(x)的定义域,并求g(x)的最小值;
(2)若对于y=g(x)的定义域中的任意实数x1,x2,x3,x4,x5,kg(x5)>g(x1)+
g(x2)+g(x3)+g(x4)恒成立,求实数k的取值范围.
思想方法练
一、方程思想在函数问题中的运用
1. f(x)=|log2x|-e-x的所有零点的积为m,则(　　)
A.m=1　　　　B.m∈(0,1) C.m∈(1,2)　　　　D.m∈(2,+∞)
2.(2024湖北荆州中学期中)已知函数f(x)=(2k-1)×3x+(k2-8)是增函数,且f(1)=5.
(1)若a>0,b>0,[f(a)+4]·[f(b)+4]=27,求+的最小值;
(2)是否存在实数m,n(m二、数形结合思想在函数问题中的运用
3.(多选题)(2024河南洛阳段考)已知f(x)=若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1A.x1x2>4　　　　B.02　　　　D.4. 已知f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(2t+1)f(x)+t2+t=0(t≤0)有且仅有4个不相等的实数根x1,x2,x3,x4(x1三、分类讨论思想在函数问题中的运用
5.(2024黑龙江齐齐哈尔期末)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥1时, f(x)=x+-3,当06.(2023河北衡水中学质检)已知函数f(x)=logax(a>0,且a≠1).
(1)若函数f(x)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,且点P(2,16)在函数h(x)的图象上,求实数a的值;
(2)已知函数g(x)=ff,x∈,若g(x)的最大值为8,求实数a的值.
四、转化与化归思想在函数问题中的运用
7.(2024江苏五市联考)设f(x)=-x+2,则f(log32)=　　　　　;不等式f(1-x2)+f(5x-5)<4的解集为　　　　　.
8.已知函数f(x)=log4为偶函数,且f(x)≥log4(a·2x-a)在区间(1,2]上恒成立,则a的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D 2.BC 4.D
1.D　设f(x)=|ax-1|,关于x的方程|ax-1|=2a(a>0且a≠1)有两个不等实根等价于函数f(x)=|ax-1|的图象与直线y=2a有两个不同的交点.
当a>1时,在同一直角坐标系内画出函数f(x)=|ax-1|的图象与直线y=2a,如图1所示.
显然函数f(x)=|ax-1|的图象与直线y=2a只有一个交点,不符合题意.
当0若函数f(x)=|ax-1|的图象与直线y=2a有两个交点,则0<2a<1,解得02.BC　由logab<0可得
①当a>1时,0由0②当01,此时f(x)的图象是由y=ax的图象向上平移b(b>1)个单位长度得到的,且f(x)单调递减,
由b>1及复合函数的单调性可知g(x)=logb(a-x)在定义域(-∞,a)上单调递减,所以B可能正确.
故选BC.
3.解析　(1)证明:令x-2=1,得x=3,此时f(3)=|loga1-3|=3恒成立,
即函数f(x)的图象恒过定点(3,3).
(2)令f(x)=0,可得loga(x-2)=3,即x=2+a3,
则函数f(x)在(2,2+a3)上单调递减,在(2+a3,+∞)上单调递增.
当a>1时,若4>2+a3,即1若4,则f(x)在x∈[4,m]上单调递减,故f(x)的最小值为f(m)=|loga(m-2)-3|=-loga(m-2)+3;
若4<2+a3当0故f(x)在x∈[4,m]上单调递增,此时f(x)的最小值为f(4)=|loga2-3|=3-loga2.
综上所述,当1时, f(x)min=3-loga(m-2);当4.D　令x2+x-2>0,得x>1或x<-2,故函数f(x)的定义域为(-∞,-2)∪(1,+∞),
对于y=x2+x-2,易知其在(-∞,-2)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又y=lg x是单调递增函数,故f(x)=lg(x2+x-2)的单调递增区间是(1,+∞).故选D.
5.解析　(1)当a=0时, f(x)=2x-1,
由题意得|2x-1|=,所以2x-1=或2x-1=-,
解得x=log2或x=-1.
(2)当a=2时, f(x)=2x+-1,设t=2x,
∵-1≤x≤1,∴≤t≤2,
则t+-1∈,
即f(x)∈,当x∈[-1,1]时,g(x)=-2x+b∈[b-2,b+2].
∵对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[-1,1],使得f(x1)≥g(x2)成立,∴f(x)min≥g(x)min,
∴2-1≥b-2,故b≤2+1.
6.解析　(1)由可得-1≤x≤1,
所以g(x)的定义域为[-1,1].
g(x)=f(x)+f(-x)
=4x-2x+1+k+4-x-2-x+1+k
=4x+4-x-2(2x+2-x)+2k
=-2(2x+2-x)+2k-2
=+2k-3,
令t=2x,因为-1≤x≤1,所以≤t≤2,易知y=t+在上单调递减,在[1,2]上单调递增,
所以2≤t+≤,即2x+2-x∈,
所以当2x+2-x=2,即x=0时,g(x)取得最小值,为2k-2.
(2)因为对于y=g(x)的定义域中的任意实数x1,x2,x3,x4,x5,kg(x5)>g(x1)+g(x2)+g(x3)+g(x4)恒成立,所以[kg(x)]min>4g(x)max,
由(1)可得g(x)min=2k-2,g(x)max=+2k-3=2k-,所以k(2k-2)>4,
解得k>或k<.
所以实数k的取值范围是-∞,∪,+∞.
思想方法练
1.B　由f(x)=0,得|log2x|=e-x,在同一平面直角坐标系中作出函数y=|log2x|与y=e-x的图象,如图所示.
函数的零点是对应方程的解,研究方程对应的函数即可.
由图象知f(x)=0有两个实数解x1,x2,且0(由函数图象的交点研究方程的解,列出关于x1,x2的方程)
∴log2x1+log2x2=-<0,即log2(x1x2)<0,
∴02.解析　∵f(x)=(2k-1)×3x+(k2-8),且f(1)=5,
(由条件列等式求值)
∴3(2k-1)+k2-8=5,即k2+6k-16=0,
解得k=2或k=-8.
又函数f(x)=(2k-1)×3x+(k2-8)是增函数,
∴2k-1>0,即k>,∴k=2,则f(x)=3×3x-4=3x+1-4.
(1)由[f(a)+4]·[f(b)+4]=27,得3a+b+2=27,∴a+b=1,又a>0,b>0,
∴+=(a+b)=10++≥10+2=16,
当且仅当=,即a=,b=时取等号,
故+的最小值为16.
(2)∵f(x)为增函数,
∴当x∈[m,n]时,函数y=f(x)的最小值为f(m),最大值为f(n),
由得
即
(由条件列等式,两等式的形式相同,构造一元二次方程)
可得3m,3n是方程3x2-4x+1=0的两个根,
∵m∴存在m=-1,n=0满足要求.
思想方法　在指数函数与对数函数中,利用条件得到等式解决求值问题,解题时运用代数手段构造方程,通过方程的知识结合指数、对数运算解题,是解决问题最基本的方法之一.
3.BC　如图,作出函数f(x)的图象:
由题意可知直线y=a与f(x)的图象有4个不同的交点,由图象可知02=2.
(由图象得到函数零点的范围及零点间的关系,由此判断结论是否成立)
当f(x4)=f(0)=2时,ln x4=2,x4=e2,又04.答案　(6,7)
解析　令u=f(x),由[f(x)]2-(2t+1)f(x)+t2+t=0(t≤0)可得(u-t)(u-t-1)=0,可得u=t或u=t+1,作出函数u=f(x)的图象,如图所示:
(作出函数u=f(x)的图象,数形结合分析图象与直线u=t及u=t+1的交点情况,进而得到解题思路)
若t=0,则直线u=0与函数u=f(x)的图象有2个公共点,直线u=1与函数u=f(x)的图象有3个公共点,
此时,关于x的方程[f(x)]2-(2t+1)f(x)+t2+t=0(t≤0)有5个不同的实数根,不符合题意.
所以t<0,由已知得直线u=t+1与函数u=f(x)的图象有4个公共点,则0由图可知0(利用函数u=f(x)的图象,借助图象性质分析函数零点间的关系)
由图可知点(x3,t+1)与点(x4,t+1)关于直线x=3对称,则x3+x4=6,所以x1x2+x3+x4+t=7+t∈(6,7).
思想方法　在解决指数函数与对数函数的问题时要注意数形结合,利用图象可简化思维过程,使问题变得形象直观,同时,可结合函数的性质来分析、绘制函数的图象.
5.答案　
解析　当x≥1时, f(x)=x+-3≥2-3=1,当且仅当x=2时等号成立,
当0根据对勾函数和指数函数的性质以及f(x)为奇函数作出f(x)的图象,如图所示:
令f(x)=t,则g(x)可转化为h(t)=t2-mt-1,
由图知直线y=t与f(x)的图象最多有3个交点,
若要满足题意,则t2-mt-1=0有两个不等实数解t1,t2,则Δ=m2+4>0,t1+t2=m,t1t2=-1<0,不妨设t2显然t=0不适合方程,故t2<0(借助图象,对t1、t2的范围进行逻辑划分,分类讨论解决问题)
由图知:
(1)若直线y=t1与f(x)的图象有3个交点,直线y=t2与f(x)的图象有1个交点,
则t1∈(1,2],t2=-∈,
结合图象可知满足要求,此时t1+t2∈,即m∈.
(2)若直线y=t2与f(x)的图象有3个交点,直线y=t1与f(x)的图象有1个交点,
则t2∈[-2,-1),t1=-∈,结合图象可知满足要求,此时t1+t2∈,故m∈.
(3)若直线y=t1与f(x)的图象有2个交点,直线y=t2与f(x)的图象有2个交点,
则①t1∈(2,3),t2=-∈,结合图象可知此时直线y=t2与f(x)的图象仅有一个交点,不满足要求.
②当t1=1时,t2=-=-1,由图知符合题意,此时t1+t2=m=0.
综上所述,m的取值范围为.
6.解析　(1)因为函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的图象与函数h(x)的图象关于直线y=x对称,
所以h(x)=ax(a>0,且a≠1),
因为点P(2,16)在函数h(x)的图象上,
所以16=a2,解得a=4或a=-4(舍去),故a=4.
(2)g(x)=loga·loga=(logax-loga2)(logax-loga8)=(logax)2-4loga2·logax+3(loga2)2.
令t=logax,则g(x)可转化为φ(t)=t2-4tloga2+3(loga2)2,其图象开口向上,且对称轴为直线t=2loga2.
(对数函数t=logax的底数含有参数a,可分01两种情况讨论,研究函数的单调性、值域等)
①当0可得φ(t)max=φ(-loga2)=(-loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8,
解得a=或a=2(舍去);
②当a>1时,由≤x≤8,得-loga2≤logax≤3loga2,
可得φ(t)max=φ(-loga2)=(-loga2)2+4(loga2)2+3(loga2)2=8(loga2)2=8,
解得a=2或a=(舍去).
综上,实数a的值为或2.
思想方法　在研究有些数学问题时要根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决.在指数函数、对数函数的问题中,要注意底数对函数的图象和性质的影响,解题时通常需要对底数进行分类讨论;在解决函数零点问题时,通常对零点的个数与零点的范围进行分类讨论.
7.答案　-log32;(1,4)
解析　由f(x)=-x+2,
得f(log32)=-log32+2=--log32+2=-log32.
设g(x)=f(x)-2=-x=-3x-x,
(构造函数,将已知函数转化为具有单调性与奇偶性的函数)
易知函数g(x)在定义域R上单调递减,
且g(-x)=3x-+x=-g(x),所以函数g(x)为奇函数,
∵f(1-x2)+f(5x-5)<4,
∴f(1-x2)-2<-[f(5x-5)-2],
即g(1-x2)<-g(5x-5),
∴g(1-x2)(等价转化所求不等式,即根据单调性转化为自变量的大小关系)
∴1-x2>5-5x,即x2-5x+4<0,解得1∴关于x的不等式f(1-x2)+f(5x-5)<4的解集为(1,4).
8.答案　
解析　f(-x)=log4=log4,
由于函数f(x)=log4为偶函数,
所以f(x)=f(-x),
即log4=log4,
∴m=1.
∴f(x)=log4≥log4(a·2x-a)在(1,2]上恒成立,即≥a·2x-a在(1,2]上恒成立,
因为x∈(1,2],
所以1<2x-1≤3,
所以a≤=1+在(1,2]上恒成立,
(变量分离,将含参数的不等式恒成立问题转化为函数值与参数a的大小问题)
令g(x)=1+,x∈(1,2],
则只需a≤g(x)min即可.
(将a≤g(x)恒成立等价转化为a≤g(x)min,求出函数g(x)的最小值即可)
令t=2x+1,则3则g(x)可转化为h(t)=1+=1+,3故函数h(t)在(3,5]上单调递减,
故h(t)min=h(5)=,即g(x)min=,所以a≤.
由对数函数的定义域知a·2x-a=a(2x-1)>0对任意的x∈(1,2]恒成立,且1<2x-1≤3,所以a>0.
所以a的取值范围是.
思想方法　转化与化归思想在研究指数函数与对数函数中常见的运用:利用函数奇偶性对原点左右两侧函数值进行转化;利用换元法将函数解析式化归为简单的解析式;利用构造函数将复杂的问题化为简单的问题;利用函数的最大(小)值解决不等式恒成立问题等.
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