2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第五章 三角函数拔高练（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
综合拔高练
五年高考练
考点1　三角函数的概念与三角恒等变换
1.(2023全国甲理,7)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　)
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.(2020全国Ⅲ理,9)已知2tan θ-tan=7,则tan θ=(　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
3.(2023新课标Ⅱ,7)已知α为锐角,cos α=,则sin =(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2023新课标Ⅰ,8)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)=(　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
5.(2021全国甲理,9)若α∈,tan 2α=,则tan α=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2022新高考Ⅱ,6)若sin(α+β)+cos(α+β)=2cossin β,则(　　)
A.tan(α-β)=1　　　　B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1　　　　D.tan(α+β)=-1
7.(2023全国乙文,14)若θ∈,tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　.
8.(2022浙江,13)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　.
考点2　三角函数的图象及其变换
9.(2023全国甲理,10)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到,则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
10.(2023天津,4)函数f(x)的图象如下图所示,则f(x)的解析式可能为(　　)
A. f(x)=　　　　B. f(x)=
C. f(x)=　　　　D. f(x)=
11.(2023新课标Ⅰ,15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点,则ω的取值范围是　　　　.
12.(2023新课标Ⅱ,16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　.
13.(2021全国甲理,16)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件·>0的最小正整数x为　　　　.
考点3　三角函数的性质及其应用
14.(2023天津,5)已知函数f(x)的图象的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为(　　)
A. f(x)=sin　　　　B. f(x)=cos
C. f(x)=sin　　　　D. f(x)=cos
15.(2023全国乙理,6)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f =(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
16.(2022天津,9)已知f(x)=sin 2x,关于该函数有下列四个说法:①f(x)的最小正周期为2π;②f(x)在上单调递增;③当x∈时, f(x)的取值范围为;④f(x)的图象可由g(x)=sin的图象向左平移个单位长度得到.以上四个说法中,正确的个数为(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
17.(2023全国甲理,13)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.
18.(2023北京,17)设函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ.
(1)若f(0)=-,求φ的值;
(2)已知f(x)在区间上单调递增, f =1,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数f(x)存在,求ω,φ的值.
条件①: f =;条件②: f =-1;
条件③: f(x)在区间上单调递减.
三年模拟练
应用实践
1.(2024山西运城期末)《九章算术》是中国古代的一部数学专著.第一章《方田》主要讲各种形状的田地面积的计算,其中将圆环形或不足一匝的圆环形田地称为“环田”(注:匝,意为周,环绕一周叫一匝).书中提到如图所示的一块“环田”:中周九十五步,外周一百二十五步,所在扇形的圆心角大小为5(单位:弧度),则该“环田”的面积为(　　)
A.600平方步　　　　B.640平方步　　
C.660平方步　　　　D.700平方步
2.(2023山东青岛四区期末)若θ为第二象限角,且tan(θ-π)=-,则-的值是(　　)
A.4　　B.-4　　C.　　D.-
3.(2024山东日照校际联考)函数f(x)=的图象大致为(　　)
A　　B　　C　　D
4.(2024江苏苏州期末)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),且f(x)在区间上单调,则ω的最大值为　(　　)
A.　　B.4　　C.　　D.8
5.(2024江苏扬州高邮月考)已知函数y=Asin(x+φ)(A>0)的图象与直线y=m(0A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024河南郑州期末)在地球公转过程中,太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化.如图,设地球表面某地正午时太阳高度角为θ,δ为此时太阳直射点的纬度(太阳直射北半球时取正值,太阳直射南半球时取负值),φ为当地的纬度值.某科技小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间,统计了连续400天太阳直射点的纬度平均值.下表统计的是该科技小组的三处观测站成员在春分后第45天测得的当地正午时太阳高度角的数据:
观测站 A B C
观测站所在纬度φ/度 40.0 23.4 0.0
观测站正午时太阳 高度角θ/度 66.4 82.9 73.6
设第x天时太阳直射点的纬度平均值为y,该科技小组通过对数据的整理和分析,推断y与x近似满足函数y=23.4sin 0.017x.
依据以上数据及分析,观测站A在春分后第45天的太阳直射点的纬度δ应为　　　　度;定义从某年春分到次年春分所经过的时间为一个回归年,则一个回归年约为　　　　天.(结果精确到个位,π≈3.14)
7.(2024天津部分区期末)设函数f(x)=sin,若函数y=f(x)-a恰有三个不同的零点,分别为x1,x2,x3(x18.(2024广东中山期末)已知函数g(x)=sin2x-cos x+a,x∈有两个零点.
(1)求实数a的取值范围;
(2)设x1,x2是g(x)的两个零点,证明:x1+x2<.
9.(2022山西运城期末)已知函数f(x)=1-2cos2-cos 2x.
(1)方程f(x)=m在上有且只有一个解,求实数m的取值范围;
(2)是否存在实数n满足对任意x1∈,都存在x2∈R,使+nx1+4>f(x2)成立 若存在,求出n的取值范围;若不存在,请说明理由.
迁移创新
10.(2024广东广州期末)如图1所示,已知扇形AOB的半径和面积分别为2,.现要探究:在该扇形内截取一个矩形,应该如何截取,可以使得截取的矩形面积最大 现有两个实验小组,他们分别采用两种方案,方案一:如图2所示,矩形的一边CD在OA上,另外两个顶点E,F分别在弧AB和半径OB上;方案二:如图3所示,两个顶点D,E在弧AB上,另外两个顶点C,F分别在半径OA和OB上.
(1)求扇形的圆心角;
(2)比较两种方案,哪种方案更优
图1图2图3
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
高考风向　1.考查形式、内容
本章是高考的重点内容,从考查内容上看,求三角函数值,探究正弦型三角函数的解析式、性质、图象及变换等以选择题、填空题为主,三角恒等变换和三角函数性质的综合常以解答题形式出现.从题型及题量上看,常以“两小(选择题、填空题)一大(解答题)”的方式考查,分值占20分左右.
2.作用地位
三角函数是基本初等函数之一,它是描述周期现象的重要数学模型,三角恒等变换属于三角函数与数学变换的结合,它在数学和其他领域中都具有重要作用.高考中一般是以容易题或中档题出现,是考生容易得分的内容之一.
1.B 2.D 3.D 4.B 5.A 6.C 9.C 10.D
14.B 15.D 16.A
1.B　∵∴sin2α=cos2β,∴|sin α|=|cos β|,推不出sin α+cos β=0,∴充分性不成立;
∵sin α+cos β=0,∴sin α=-cos β,∴sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,∴必要性成立.
∴甲是乙的必要条件但不是充分条件,故选B.
2.D　2tan θ-tan=2tan θ-=7,整理可得tan2θ-4tan θ+4=0,∴tan θ=2.故选D.
3.D　∵α为锐角,∴为锐角,∴sin>0.
∵cos α=1-2sin2,∴2sin2=1-cos α=,
∴sin2===,
∴sin=,故选D.
4.B　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
cos αsin β=,所以sin αcos β=+=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=.
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×=.故选B.
5.A　∵tan 2α=,∴=,
∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,
即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,
∵α∈,∴cos α≠0,
∴4sin α=1,∴sin α=,∴cos α=,
∴tan α=.故选A.
6.C　∵sin(α+β)+cos(α+β)=sin
=sin=sincos β+·cossin β=2cossin β,
∴sincos β-cossin β=0,
∴sincos β-cossin β=0,
即sin=0,
于是sin=sin(α-β)+cos(α-β)=0,
从而sin(α-β)=-cos(α-β),因此tan(α-β)=-1.
故选C.
考场速决　令β=0,则sin α+cos α=0,取α=,排除A、B;令α=0,则sin β+cos β=2sin β,即sin β=cos β,取β=,排除D.故选C.
7.答案　-
解析　解法一:因为tan θ==,所以cos θ=3sin θ,代入sin2θ+cos2θ=1得sin2θ=,因为θ∈,所以sin θ=,则cos θ=,所以sin θ-cos θ=-.
解法二:(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=1-=,因为tan θ=<1,0<θ<,所以0<θ<,所以sin θ8.答案　;
解析　由α+β=得sin β=sin=cos α,
则3sin α-cos α=,∴cos α=3sin α-,
将其代入sin2α+cos2α=1,得sin2α+(3sin α-)2=1,整理得(sin α-3)2=0,∴sin α=,
∴sin β=3sin α-=-,
∴cos 2β=1-2sin2β=.
9.C　由题知, f(x)=cos=cos2x+=-sin 2x,
在同一平面直角坐标系中作出f(x)=-sin 2x的图象与直线y=x-,如图所示,
由图知y=f(x)的图象与直线y=x-共有3个交点,故选C.
10.D　由题图可知f(x)为偶函数,而选项A、B中的函数为奇函数,故排除A,B;由题图可知f(2)<0,而选项C中,当x=2时,=>0,故排除C,故选D.
11.答案　[2,3)
解析　令ωx=t,因为x∈[0,2π],ω>0,所以t∈[0,2ωπ],
已知f(x)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即y=cos t的图象和直线y=1在t∈[0,2ωπ]有且仅有3个交点,
画出y=cos t的图象和直线y=1如图所示,
由图可知4π≤2ωπ<6π,即2≤ω<3.
故ω的取值范围是[2,3).
12.答案　-
解析　设点A,B,则|AB|=x2-x1=,
由题图可知(k1∈Z),
则ω(x2-x1)=,故ω=4,
函数图象过点,结合题图知4×+φ=2kπ(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z),
所以f(x)=sin=sin(k∈Z),
故f(π)=sin=sin=-.
13.答案　2
解析　设函数f(x)的最小正周期为T,则T=-=,T=π,则=π,解得|ω|=2,
不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).
将代入上式,结合题图得+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ,k∈Z,取φ=-,
∴f(x)=2cos,
∴f=2cos=2cos=1,
f=2cos=2cos=0,
∴不等式可化为[f(x)-1]f(x)>0,
解得f(x)>1或f(x)<0.
由f(x)>1,得2cos>1,
即cos>,①
由f(x)<0,得cos<0,②
由①得-+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,
解得-+kπ要使x为最小正整数,则k=1,此时,由②得+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z,
解得+kπ要使x为最小正整数,则k=0,此时,综上,最小正整数x为2.
14.B　观察四个选项都是y=sin ωx或y=cos ωx(ω>0)的形式,因为f(x)的一个周期为4,所以=4(k∈N*),即ω=(k∈N*),排除C,D.当x=2时,x=π,对于A,sin π=0,所以直线x=2不是对称轴,排除A.故选B.
15.D　由题意画出f(x)的大致图象(如图).
由图可知点和点为f(x)图象的相邻最低点和最高点,
设f(x)的最小正周期为T,由题意知=-=,又T=,所以|ω|=2,
不妨令ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),
将代入,得sin=-1,
所以+φ=-+2kπ,k∈Z,
所以φ=-+2kπ,k∈Z,
所以f(x)=sin=sin,k∈Z,
故f=sin=sin=sin=.故选D.
16.A　因为f(x)=sin 2x,
所以f(x)的最小正周期T==π,①不正确;
令t=2x,t∈,
因为y=sin t在上单调递增,
所以f(x)在上单调递增,②正确;
x∈时,2x∈,
所以sin 2x∈,
所以f(x)∈,③不正确;
由于g(x)=sin=sin,
所以f(x)的图象可由g(x)=sin的图象向右平移个单位长度得到,④不正确.故选A.
17.答案　2
解析　f(x)=x2+(a-2)x+cos x+1.由f(x)为偶函数得f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,所以2(a-2)x=0,所以a=2.
18.解析　(1)由题意得f(x)=sin(ωx+φ),
则f(0)=sin φ=-,∵|φ|<,∴φ=-.
(2)f(x)=sin(ωx+φ)≤1,显然不选条件①.
若选条件②.
∵f(x)在上单调递增,且f =1, f =-1,∴最小正周期T=2×=2π,又T==2π,∴ω=1,∴ f(x)=sin(x+φ),
∵f =sin=1,
∴+φ=+2kπ(k∈Z),即φ=-+2kπ(k∈Z),
∵|φ|<,∴φ=-.
若选条件③.
∵f(x)在上单调递减,在上单调递增,∴f(x)在x=-处取得最小值,即f =-1.
以下同选条件②.
三年模拟练
1.C 2.B 3.A 4.C 5.A
1.C　由题意得,r外==25步,r内==19步,
因此该“环田”的面积S=×5×(252-192)=660平方步.故选C.
2.B　由tan(θ-π)=-,知tan θ=-,因为θ为第二象限角,所以sin θ>0,cos θ<0,
原式=-=-
=-=-===-4.故选B.
3.A　因为f(x)的定义域为R, f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除C,D;当00,排除B.故选A.
4.C　∵函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),
∴2sin φ=1,解得sin φ=,又0<φ<,∴φ=,
∴f(x)=2sin.
设f(x)的最小正周期为T.
∵f(x)在区间上单调,
∴=≥-=,∴0<ω≤8①.
当x∈时,ωx+∈,
由题意知f(x)在上单调递增或单调递减,
∴或k∈Z,
解得-+16k≤ω≤+8k②或+16k≤ω≤+8k③,k∈Z.
由①②③,得0<ω≤或≤ω≤,
∴ω的最大值为.
故选C.
5.A　令x+φ=t,则函数y=Asin(x+φ)(A>0)即为函数y=Asin t(A>0),
因为y=Asin(x+φ)(A>0)的最小正周期为2π,
所以y=Asin t(A>0)的最小正周期为2π,
作出函数y=Asin t(A>0)的大致图象与直线y=m,如图,
则函数y=Asin(x+φ)(A>0)的图象与直线y=m(00)的图象与直线y=m(0由题意不妨设M',N',P'的位置如图中所示,
易得M',N'关于直线x=+2kπ,k∈Z对称,P'M'=2π,
因为PN=2MN,所以P'N'=2M'N',
故M'N'=P'M'=,
而M',N'关于直线x=+2kπ,k∈Z对称,故M'点的横坐标为+2kπ,k∈Z,
将M'点的横坐标代入y=Asin t(A>0),
得Asin=m,k∈Z,则=.故选A.
6.答案　16;369
解析　由题图知,φ-δ+θ=90°.
在观测站A处,φ=40.0°,θ=66.4°,
代入上式得δ=16.4°≈16°.
由y=23.4sin 0.017x,可得周期T=≈≈369,即一个回归年约为369天.
7.答案　3π
解析　令-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以y=sin的单调递增区间为-+kπ,+kπ,单调递减区间为+kπ,+kπ,k∈Z.
又x∈,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以x1,x2关于直线x=对称,x2,x3关于直线x=对称,
因此x1+x2=2×=,x2+x3=2×=,
所以x1+3x2+2x3=x1+x2+2(x2+x3)=+=3π.
8.解析　(1)g(x)=sin2x-cos x+a=-cos2x-cos x+a+1,x∈,
令t=cos x,-1依题意得f(t)=-t2-t+a+1的两个零点均在(-1,0)内,
因此解得-故实数a的取值范围为.
(2)证明:设f(t)的两个零点为t1,t2,
不妨令t1=cos x1,t2=cos x2,
因为t1,t2为t2+t=a+1的两个不同的实数解,
所以t1+t2=-1,所以cos x1+cos x2=-1,
等式两边同时平方得cos2x1+2cos x1cos x2+cos2x2=1,
因为x1,x2∈,所以cos x1<0,cos x2<0,
可得2cos x1cos x2>0,所以cos2x1+cos2x2<1,
则cos2x1又所以cos x1>cos,
易知y=cos x在上单调递减,
则x1<-x2,故x1+x2<.
9.解析　f(x)=1-2cos2-cos 2x=-cos2x+-cos 2x=sin 2x-cos 2x=2sin.
(1)方程f(x)=m在上有且只有一个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=m在上只有一个交点.
∵x∈,∴-≤2x-≤.
令2x-=t,则y=2sin t,t∈,其图象如图,
由图可知,-≤m<或m=2.
(2)易知f(x)min=-2.
假设存在满足题意的实数n,则对任意x1∈,都存在x2∈R,使+nx1+4>f(x2)成立,即+nx1+6>0对任意x1∈恒成立.
令g(s)=s2+ns+6,s∈,
①当-≤-,即n≥3时,g(s)min=g=->0,∴3≤n<;
②当-<-<,即-30,∴-3③当≤-,即n≤-3时,g(s)min=g=+>0,∴-综上,存在满足题意的实数n,且n的取值范围是.
10.解析　(1)设扇形的圆心角为θ,半径为R,面积为S,则S=θR2,由题意知R=2,S=,
所以=×θ×22,因此θ=.
(2)方案一:连接OE,如图①,设∠AOE=α,α∈,
由条件知DE=2sin α,OD=2cos α,FC=DE=2sin α,∠AOB=,在Rt△FOC中,由=tan=,得OC==sin α,
所以CD=OD-OC=2cos α-sin α,
所以S矩形CDEF=2sin α
=4sin αcos α-sin2α
=2sin 2α+cos 2α-
=-
=sin-,
因为0<α<,所以<2α+<,
所以当2α+=,即α=时,S矩形CDEF最大,为.
方案二:如图②,取弧AB的中点H,连接OH,设CF、DE分别交OH于M、N两点.
连接OD,设∠DON=β,β∈,
由条件知DN=2sin β,ON=2cos β,CM=DN=2sin β,∠AON=,在Rt△COM中,由=tan=,
得OM=2sin β,
所以MN=ON-OM=2cos β-2sin β,
所以S矩形CDEF=2×2sin β×(2cos β-2sin β)
=8sin βcos β-8sin2β
=4sin 2β+4cos 2β-4
=8sin-4,
因为0<β<,所以<2β+<,
所以当2β+=,即β=时,S矩形CDEF最大,为8-4.又>8-4,
所以方案一中内接矩形的面积更大,为,故方案一更优.
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