2025人教A版高中数学必修第一册同步练习题--第五章 三角函数复习提升（含解析）

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2025人教A版高中数学必修第一册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　利用三角函数的基本关系时忽略隐含条件致错
1.(2024浙江杭州期末)若sin θ+cos θ=(0<θ<π),则tan θ+2sin θcos θ的值为(　　)
A.-　　B.-　　C.-　　D.
2.已知sin θ=,cos θ=,若θ为第二象限角,则tan θ的值是　　　　.
易错点2　忽略对参数进行分类讨论致错
3.化简(n∈Z)的结果为　　　　.
4.(2024浙江杭州学军中学月考)已知函数f(x)=3cos-2.
(1)求函数的最小正周期、单调递减区间及其图象的对称中心;
(2)若定义在区间上的函数h(x)=af(x)+b的最大值为6,最小值为-3,求实数a,b的值.
易错点3　忽略三角函数的定义域、值域致错
5.(2024云南昆明第一中学期末)若函数f(x)=cos 2x+sin x-k在区间上有零点,则实数k的取值范围是　　　　　.
6.(2023江苏扬州中学月考)已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0.若A是△ABC的一个内角,且满足f易错点4　图象变换中因忽视自变量x的系数和平移的方向致错
7.(2024广东广州期末)已知函数f(x)=cos 2x-sin 2x,将f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后可以得到一个奇函数的图象,将f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位长度后可以得到一个偶函数的图象,则|a-b|的最小值为　　　　.
8.(2024江西景德镇期中)已知函数f(x)=sin ωxcos ωx-cos2ωx(ω>0)的最小正周期是.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得函数图象向左平移个单位长度,最后将所得图象向上平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若 x∈,|g(x)-m|<2恒成立,求m的取值范围.
思想方法练
一、函数与方程思想在三角函数中的应用
1.(2024天津一中期末)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f=　(　　)
A.　　B.-　　C.1　　D.-1
2.(2024陕西西安期末)某农户计划围建一块扇形的菜地,已知该农户围建菜地的篱笆的长度为24米.
(1)若该扇形菜地的圆心角为4弧度,求该扇形菜地的面积;
(2)当该扇形菜地的圆心角为何值时,菜地的面积最大 最大面积是多少
二、数形结合思想在三角函数中的应用
3.(多选题)(2024湖南永州期末)已知函数f(x)=若g(x)=f(x)-t(t>0)有2n(n∈N*)个零点,记为x1,x2,…,x2n-1,x2n,且x1A.t∈(0,2)
B.x1+x2∈(-∞,-2)
C.x3x4∈
D.x3+2(x4+x5+…+x2n-1)+x2n=182
4.(2024江西宜春期末)下列关于函数f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|的说法,正确的是　　　　.(填序号)
①f(x)是以2π为周期的函数;②当且仅当x=2kπ+,k∈Z时,函数取得最小值-;③f(x)图象的对称轴为直线x=+2kπ,k∈Z;④当2kπ+π三、分类讨论思想在三角函数中的应用
5.(2024浙江宁波镇海中学期末)函数f(x)=sin(ωx+3φ)-2sin φcos(ωx+2φ)(ω>0,0<φ<π),设T为函数f(x)的最小正周期, f=,且函数f(x)在(π,2π)上单调,则ω的取值范围为　　　　　　　　.
6.化简:sin+cos(k∈Z).
四、转化与化归思想在化简、求值及三角函数性质中的应用
7.(2023安徽淮北一中期末)已知sin=,则sin 2θ=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
8.(2024浙江嘉兴期末)已知函数f(x)=sin x·cos+sin2x.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)是否存在实数x∈(0,π),使得不等式f(|cos x|)>f(|sin x|)成立 若存在,请求出x的取值范围;若不存在,请说明理由.
五、数学建模思想在三角函数中的应用
9.(2023浙江温州模拟)如图,将筒车抽象为一个几何图形(圆),以筒车转轮的中心O为原点,过点O且与水平面平行的直线为x轴建立直角坐标系.已知筒车的半径为1.6 m,且按逆时针方向每30 s匀速旋转一周,O到水面的距离为0.8 m.以盛水筒P刚浮出水面(P0处)时开始计算时间,设盛水筒从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位:s),且此时点P距离水面的高度为d(单位:m)(在水面下则d为负数),则d关于t的函数关系式为　　　　　　　　,在筒车转动的任意一圈内,点P距离水面的高度不低于1.6 m的时长为　　　　s.
10.(2023山东烟台期末)如图,点A,B是圆心在原点,半径分别为1和2的圆上的动点.动点A从初始位置A0开始,按逆时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动,同时点B从初始位置B0(2,0)开始,按顺时针方向以2 rad/s的角速度做圆周运动.记t(s)时刻,点A,B的纵坐标分别为y1,y2.
(1)求t=时,A,B两点间的距离;
(2)求y=y1+y2关于时间t(t>0)的函数关系式,并求当t∈时,这个函数的值域.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.B　由sin θ+cos θ=得2sin θcos θ=-<0,
又0<θ<π,所以sin θ>0,cos θ<0,所以sin θ-cos θ>0,
又(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,
所以sin θ-cos θ=,
联立解得
所以tan θ=-3,
因此tan θ+2sin θcos θ=-3-=-.故选B.
易错警示　本题由条件sin θ+cos θ=得出2sin θcos θ=-<0后,需进一步结合角的范围确定sin θ-cos θ的符号.
2.答案　-
解析　∵sin2θ+cos2θ=1,
∴+=1,解得a=1或a=.
当a=1时,sin θ=0,θ不是第二象限角,舍去;
当a=时,sin θ>0,cos θ<0,θ是第二象限角,符合题意,∴tan θ==-.
易错警示　解题时要注意隐含条件:sin2θ+cos2θ=1及sin θ>0、cos θ<0,利用平方关系解出a的值后要注意检验.
3.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z)
解析　①当n=2k(k∈Z)时,
原式===-sin α.
②当n=2k+1(k∈Z)时,
原式=
==sin α.
综上,化简所得的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z).
4.解析　(1)因为f(x)=3cos-2=3cos2x--2,所以函数的最小正周期T=π,
令2kπ≤2x-≤π+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
故函数的单调递减区间为,k∈Z.
令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,
所以函数图象的对称中心为,k∈Z.
(2)h(x)=af(x)+b=3acos-2a+b,
当x∈时,2x-∈,则-≤cos≤1,
若a>0,则有解得
若a<0,则有解得
a=0明显不符合题意,故或
5.答案　
解析　函数f(x)=cos 2x+sin x-k在区间上有零点,即cos 2x+sin x=k在区间上有解,
令g(x)=cos 2x+sin x,x∈,则g(x)的图象与直线y=k在区间上有交点.
易得g(x)=1-2sin2x+sin x,x∈,
令t=sin x,x∈,所以t∈[0,1],
所以g(x)可转化为y=1-2t2+t=-+,t∈[0,1],
易知当t=时,ymax=;当t=1时,ymin=0,
所以g(x)∈,所以k∈.
6.答案　∪
解析　∵偶函数f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,
∴f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,
∴f=f∴>2,∴0<|sin 2A+1|<,
∴-1∵A是△ABC的一个内角,∴0∴<2A<,且2A≠.
∴A∈∪.
易错警示　研究三角函数的性质时,首先要考虑自变量的范围,再结合函数的定义域进行等价变形,进而利用相关性质解决问题得到结论.
7.答案　0
解析　解法一:f(x)=cos 2x-sin 2x=cos,
将函数f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后得到y=cos的图象,
记g(x)=cos,
因为g(x)为奇函数,所以2a+=kπ+(k∈Z),
解得a=+(k∈Z),
又a>0,所以k∈N.
将函数f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位长度后得到y=cos的图象,
记h(x)=cos,
因为h(x)为偶函数,所以-2b+=nπ(n∈Z),
解得b=-+(n∈Z).
又b>0,所以b=+(m∈N),
所以|a-b|的最小值为0.
解法二:函数f(x)=cos 2x-sin 2x=cos,易得其图象的对称中心为,对称轴为直线x=-(k1,k2∈Z).
因为将f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位长度后得到一个奇函数的图象,所以(a,0)是 f(x)的图象的一个对称中心;
因为将f(x)的图象向右平移b(b>0)个单位长度后得到一个偶函数的图象,所以直线x=-b是 f(x)的图象的一条对称轴.
因此|a-b|==(k1,k2∈Z),
所以|a-b|的最小值为0.
8.解析　(1)f(x)=sin ωxcos ωx-cos2ωx=sin 2ωx-(cos 2ωx+1)=sin-.
由f(x)的最小正周期T==,解得ω=2,
所以f(x)=sin-.
(2)将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),可得y=sin-的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,可得y=sin-的图象,最后将所得图象向上平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,
所以g(x)=sin+1.
因为 x∈,|g(x)-m|<2恒成立,
所以g(x)-2所以[g(x)-2]max易知当x∈时,g(x)单调递减,
所以g(x)max=g=1+1=2,g(x)min=g=-1+1=0,
从而[g(x)-2]max=0,[g(x)+2]min=2,即0故m的取值范围是(0,2).
易错警示　解决变换作图问题时,要注意伸缩变换对平移变换的影响,首先要明确左右平移变换的对象是自变量x,其次遵循“左加右减”的法则.
思想方法练
1.D 3.ABD 7.A
1.D　由题图可知T=-=,所以T=π,
(列出有关周期T的方程,求出T的值,进而得到ω的值)
因此=π,ω=2.
根据五点作图法可得×2+φ=,
(结合五点作图法列出关于φ的方程,求出φ的值)
∴φ=,符合|φ|<,因此f(x)=2sin,
∴f=2sin=2sin=2sin=-2sin =-1.故选D.
2.解析　(1)设该扇形菜地的半径为r米,弧长为l米,
则(利用条件列出关于l、r的方程组,求解方程组进而解决问题)
解得故该扇形菜地的面积为lr=×16×4=32(平方米).
(2)因为l+2r=24,所以l=24-2r,0设扇形菜地的面积为S平方米,则S=lr=(24-2r)r=-r2+12r=-(r-6)2+36,0(构建S关于r的一元二次函数,利用函数思想解题)
易知当r=6时,S取得最大值,为36,
此时l=12,从而圆心角α==2.
故该扇形菜地的圆心角为2弧度时,菜地的面积最大,为36平方米.
思想方法　在研究三角函数有关问题时,可根据条件列方程(组)解决求值问题,也可建立函数关系式,利用函数的知识求解相关问题.
3.ABD　将函数y=log2x(0y=4sin的最小正周期T==6,故在[0,24]上有4个周期,
令x+=kπ+,k∈Z,得x=3k+1,k∈Z,故y=4sin的图象的对称轴方程为x=3k+1,k∈Z,
由此作出函数f(x)=的图象,如图,
(研究各段函数的性质,结合性质作出函数的图象,借助图象探究各个选项的正误)
g(x)=f(x)-t(t>0)的零点个数问题即为f(x)的图象与直线y=t(t>0)的交点个数问题,
(由t的取值分类讨论函数f(x)的图象与直线y=t交点的个数)
由g(x)=f(x)-t(t>0)有2n(n∈N*)个零点知函数f(x)的图象与直线y=t(t>0)有2n(n∈N*)个交点,即偶数个交点,
由图象可知,当t>4时, f(x)的图象与直线y=t有1个交点,不合题意;
当t=4时, f(x)的图象与直线y=t有5个交点,不合题意;
当2当t=2时, f(x)的图象与直线y=t有11个交点,不合题意;
当0由题意可知-4(由图象确定x1、x2的范围,进而去绝对值符号,研究x1、x2的关系)
则log2(-x1)=-log2(-x2),即log2(-x1)+log2(-x2)=log2[(-x1)(-x2)]=0,所以(-x1)(-x2)=1,
(-x1)+(-x2)>2=2(x1≠x2),即x1+x2<-2,故B正确.
当f(x)=4sin=2时,x+=2kπ+或x+=2kπ+,k∈Z,得x=6k或x=2+6k,k∈Z,结合图象知2(由图象确定x3、x4的范围,进而研究x3x4的范围)
故x3x4∈(11,15),故C错误.
由A中分析知2n=10,故n=5,结合图象得x3,x4关于直线x=4对称,故x3+x4=8,
同理得x4+x5=14,x5+x6=20,x6+x7=26,x7+x8=32,x8+x9=38,x9+x10=44,
故x3+2(x4+x5+x6+…+x2n-1)+x2n=x3+2(x4+x5+x6+…+x9)+x10=8+14+20+26+32+38+44=182,故D正确.
故选ABD.
4.答案　①②④
解析　f(x+2π)=sin(x+2π)+cos(x+2π)+|sin(x+2π)-cos(x+2π)|=sin x+cos x+|sin x-cos x|=f(x),故①正确.
f(x)=sin x+cos x+|sin x-cos x|
=
=
作出y=f(x)的图象,如图,
(由函数解析式作出函数图象,利用图象研究函数的性质)
由图可知,当x=2kπ+,k∈Z时, f(x)min=-,故②正确.
由图可知, f(x)图象的对称轴为直线x=+kπ,k∈Z,故③不正确.
由图象可得,当2kπ+π又f(π)=f=0,所以-≤f(x)<0,故④正确.
思想方法　在解决三角函数问题时要注意数形结合,把三角函数式的精确刻画与三角函数图象的直观描述结合起来,能够避免复杂的计算和推理,实现快速准确解题的目的.
5.答案　∪
解析　f(x)=sin(ωx+3φ)-2sin φcos(ωx+2φ)
=[sin(ωx+2φ)+φ]-2sin φcos(ωx+2φ)
=sin(ωx+2φ)cos φ+cos(ωx+2φ)sin φ-2sin φ·cos(ωx+2φ)
=sin(ωx+2φ)cos φ-cos(ωx+2φ)sin φ=sin(ωx+φ),
因为ω>0,所以T=, f=f=sin=cos φ=,
又0<φ<π,所以φ=,因此f(x)=sin.
若f(x)=sin在(π,2π)上单调递增,
则k∈Z,即2k-≤ω≤k+,k∈Z,
需满足2k-≤k+,k∈Z,所以k≤,k∈Z,
而ω>0,故k=0,0<ω≤;
若f(x)=sin在(π,2π)上单调递减,
则k∈Z,即2k+≤ω≤k+,k∈Z,
需满足2k+≤k+,k∈Z,所以k≤,k∈Z,而ω>0,故k=0,≤ω≤.
因此ω的取值范围为∪.
6.解析　原式=sin+cos(k∈Z).
当k为奇数时,设k=2n+1(n∈Z),
则原式=sin+cos(2n+1)π+
=sin+cos
=sin-cos
=sin-cos
=sin-sin=0;
当k为偶数时,设k=2n(n∈Z),
则原式=sin+cos
=-sin+cos
=-sin+cos
=-sin+sin=0.
综上所述,原式=0.
思想方法　在三角函数中,有关角所在象限的问题,参数的取值范围等对解题有影响时,要依据题意进行分类讨论.
7.A　设α=θ-,则sin α=,且θ=α+,
(将未知角的三角函数转化为已知角的三角函数)
则sin 2θ=sin=sin=cos 2α=1-2sin2α=1-2×=.故选A.
8.解析　(1)函数f(x)=sin x+sin2x=sin 2x+sin2x=sin 2x+·=sin 2x-cos 2x+=sin+,
(研究三角函数的图象与性质时,将函数解析式转化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式)
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)由(1)知,函数f(x)在上单调递增,
而|sin x|∈[0,1],|cos x|∈[0,1],且[0,1] ,
于是f(|cos x|)>f(|sin x|) |cos x|>|sin x|,
(利用单调性将含有“f ”的不等式转化为不含“f ”的不等式)
当0sin x,则tan x<1,可得0(去绝对值符号,将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式,再将“弦”转化为“切”解不等式)
当x=时,不等式无解;
当sin x,则tan x>-1,可得所以存在实数x∈(0,π),使得不等式f(|cos x|)>f(|sin x|)成立,x的取值范围是∪.
思想方法　转化与化归思想在三角函数中的运用:将任意角的三角函数化为锐角的三角函数进行求值;将y=Asin(ωx+φ)化为y=Asin t研究其图象和性质;将未知角的三角函数化为已知角的三角函数;进行恒等变形或者条件的等价转化等.
9.答案　d=1.6sin+0.8(t≥0);10
解析　依题意可设d=Asin(ωt+φ)+bA>0,ω>0,|φ|<,t≥0.
(选模:P距离水面的高度d与做匀速圆周运动的动点P的纵坐标有关,可选择正弦函数模型)
由题意可知,OP0=1.6 m,因此A=1.6,
由点P每30 s匀速运动一周,得ω==,
又点P0到x轴的距离为0.8 m,
∴b=0.8,且∠xOP0=,故φ=-.
故点P距离水面的高度为d=1.6sin+0.8(t≥0),
(求模:利用条件求出函数解析式)
令d≥1.6,则sin≥,
又t≥0,∴2kπ+≤t-≤2kπ+,k∈N,解得30k+5≤t≤30k+15,k∈N,
k∈N,30k+15-(30k+5)=10,
(用模:利用函数解析式解决相关问题)
∴在筒车转动的任意一圈内,点P距水面的高度不低于1.6 m的时长为10 s.
10.解析　(1)当t=时,∠xOA=+=,∠xOB=,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D,则∠AOD=.∵OA=1,∴OD=,AD=,
∵OB=2,∴BD=2+=,
∴AB===,
即A,B两点间的距离为.
(2)依题意知y1=sin,y2=-2sin 2t,
所以y=y1+y2=sin-2sin 2t
=cos 2t-sin 2t=cos,
(结合已知条件,构造三角函数模型,利用三角函数知识解决相关问题)
即函数关系式为y=cos(t>0).
当t∈时,2t+∈,
∴cos∈,∴y∈.
思想方法　现实生活中与周期性相关的问题,常建立三角函数模型进行解决.
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