(共20张PPT)
第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程
第2课时 一元二次方程在实际问题中的应用（二）
1. 传播问题
传染源＋第一轮传染的人数＋第二轮传染的人数＋…＝
总数.
例如：已知某种流感易传染，且每轮传染中平均一个人
传染给了 x 个人.若有一人患了此种流感，他第一轮传染
了 x 人，则第一轮传染后共有 人患了流
感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了 x 个
人，传染了 人，则第二轮传染后共
有 人患了流感.
（1＋ x ）
x （1＋ x ）
1＋ x ＋ x （1＋ x ）
2. 与平均变化率有关的问题
（1）原有量×（1＋增长率） n ＝现有量（ n 表示增加
的次数）.
（2）原有量×（1－减少率） n ＝现有量（ n 表示减少
的次数）.
例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为 元，11月份的售价
为 元.若11月份的售价为1 210元，则
可列方程为 .
1 000（1＋ x ）
1 000（1＋ x ）2
1 000（1＋ x ）2＝1 210
11月份至次年2月份的售价均保持1 210元，3、4月份，该商店举行换季活动，对该羽绒服进行降价销售，3、4月份的平均降价率为 y ，3月份的售价为
元，4月份的售价为 元.若4月份的售价为980.1元，则可列方程为 .
1 210（1－ y ）
1 210（1－ y ）2
1 210（1－ y ）2＝980.1
3. 销售利润问题中常用的关系式
（1）每件利润＝售价－进价.
（2）利润率＝ ×100％.
（3）售价＝进价×（1＋利润率）.
（4）总利润＝每件利润×销售量＝总收入－总支出.
题型一 利用一元二次方程解决平均增长率问题
随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老
百姓得到实惠，国家卫健委通过严打药品销售环节中的
不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降
价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相
同，求该种药品平均每次降价的百分率.
解得 x 1＝1.7（不合题意，舍去），
x 2＝0.3＝30％.
答：该种药品平均每次降价的百分率是30％.
解：设该种药品平均每次降价的百分率是 x ，
根据题意，得200（1－ x ）2＝98，
化简，得1－ x ＝±0.7.
1. 某养鸡场一只带病毒的小鸡经过两天传染后，鸡场共
有196只小鸡患病，在每一天的传染中，平均一只小鸡
传染了几只小鸡（ A ）
A. 13只 B. 14只
C. 15只 D. 16只
A
2. 2021年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2 500元，
通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2023年，家庭
年人均纯收入达到了4 900元.
（1）求该贫困户2021年到2023年家庭年人均纯收入的
年平均增长率；
解得 x 1＝0.4＝40％， x 2＝－2.4（不合题意，舍去）.
答：该贫困户2021年到2023年家庭年人均纯收入的年平
均增长率为40％.
解：（1）设该贫困户2021年到2023年家庭年人均纯收
入的年平均增长率为 x ，
依题意，得2 500（1＋ x ）2＝4 900，
（2）若年平均增长率保持不变，2024年该贫困户的家
庭年人均纯收入是否能达到6 800元？
解：（2）4 900×（1＋40％）＝6 860（元）.
∵6 860＞6 800，
∴2024年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到6 800元.
题型二 利用一元二次方程解决销售利润问题
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，
据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500
千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克.针对
这种水产品的销售情况，请解答下列问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和
月销售利润；
解：（1）月销售量为
500－（55－50）×10＝450（千克）.
月销售利润为
（55－40）×450＝6 750（元）.
（2）设销售单价为每千克 x （ x ≥50）元，试写出月销
售利润；（用含 x 的代数式表示）
解：（2）当销售单价为每千克 x 元时，
月销售量为
500－10×（ x －50）＝（1 000－10 x ）千克，
∴月销售利润为
（ x －40）（1 000－10 x ）＝（－10 x 2＋1 400 x －
40 000）元（50≤ x ≤100）.
（3）商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下，
使得月销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
解：（3）要使月销售量的利润达到8 000元，
则有－10 x 2＋1 400 x －40 000＝8 000，
即 x 2－140 x ＋4 800＝0，
解得 x 1＝60， x 2＝80.
当 x ＝60时，月销售成本为40×（1 000－10×60）＝
16 000（元）＞10 000（元），舍去；
当 x ＝80时，月销售成本为40×（1 000－10×80）＝
8 000（元）＜10 000（元）.
∴销售单价应定为每千克80元.
3. 某店用61元/千克购进一定数量的 A 产品，起初每千克
售价为100元，但连续两次降价后，现在每千克售价为
81元.
（1）求这两次降价的平均百分率；
解：（1）设这两次降价的平均百分率为 a ，
依题意，得100（1－ a ）2＝81，
解得 a 1＝0.1＝10％， a 2＝1.9（不符合题意，舍去）.
答：这两次降价的平均百分率为10％.
（2）若按现价销售，每天可以售出120千克.调查发
现，在进价不变的情况下，每千克 A 产品的售价每涨价
2元，日销售量就减少10千克.该店希望每天 A 产品盈利
2 340元，设每千克 A 产品涨价 x 元（ x ＞0），求 x 的值.
解：（2）∵每千克 A 产品涨价 x 元（ x ＞0），
∴每千克可以盈利（20＋ x ）元，
每天可以售出120－ ×10＝（120－5 x ）千克.
依题意，得（20＋ x ）（120－5 x ）＝2 340，
即 x 2－4 x －12＝0，
解得 x 1＝6， x 2＝－2（不符合题意，舍去）.
答： x 的值为6.(共22张PPT)
第二章 一元二次方程
2 用配方法求解一元二次方程
1. 用直接开平方法解一元二次方程
用直接开平方法解一元二次方程的基本思路是将方程化
为 的形式，它的一边是一个
，另一边是一个 ，当 n 时，
两边同时 ，转化为 方程，便可
求出它的根.
（ x ＋ m ）2＝ n
完全
平方式
常数
≥0
开平方
一元一次
注意：（1）解一元二次方程的基本思想是“降次”，
通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程，这
和解二元一次方程组的“消元”类似.“降次”和“消
元”都是数学中重要的化归思想，即将新知识转化为旧
知识解题.
（2）利用直接开平方法解一元二次方程时，要注意开
方的结果取正、负两种情况.
2. 常见的能用直接开平方法求解的方程形式
（1）若 x 2＝ p （ p ≥0），则 x ＝± ；
（2）若（ x ＋ n ）2＝ p （ p ≥0），则 x ＝－ n ± ；
（3）若（ mx ＋ n ）2＝ p （ m ≠0， p ≥0），则 x ＝
.
3. 用配方法解一元二次方程
定义：通过配成 的方法得到了一元二次
方程的根，这种解一元二次方程的方法称为
.
步骤：①“化”，将一元二次方程化为一般形式，并将
二次项系数化为1；
②“移”，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为
常数项；
完全平方式
配方
法
③“配”，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把
原方程化为（ x ＋ m ）2＝ n 的形式；
④“解”，若 n ≥0，则用直接开平方法解出；若 n ＜0，则原方程无实数根.
注意：用配方法解一元二次方程的步骤可灵活运用，也
可以先移项，再把二次项系数化为1.
题型一 用直接开平方法解一元二次方程
解下列方程：
（1）9 x 2－1＝0；
解：原方程变形为9 x 2＝1，即 x 2＝ .
两边开平方，得 x ＝± ，
即 x 1＝ ， x 2＝－ .
（2）2（ x －3）2－18＝0；
解：原方程变形为（ x －3）2＝9.
两边开平方，得 x －3＝±3.
即 x 1＝6， x 2＝0.
（3） x 2－2 x ＋1＝5.
解：原方程变形为（ x －1）2＝5.
两边开平方，得 x －1＝± .
即 x 1＝1＋ ， x 2＝1－ .
1. 用直接开平方法解下列方程：
（1） x 2－4＝0；
解： x 1＝2， x 2＝－2.
（2）（3 x －1）2＝2；
解： x 1＝ ， x 2＝ .
（3） x 2－4 x ＋4＝16；
解： x 1＝6， x 2＝－2.
（4） x 2－6 x ＋9＝（5－2 x ）2.
解： x 1＝ ， x 2＝2.
题型二 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程
用配方法解下列方程：
（1） x 2－6 x －7＝0；
解：（1）移项，得 x 2－6 x ＝7.
配方，得 x 2－6 x ＋32＝7＋32，
即（ x －3）2＝16.
∴ x －3＝4或 x －3＝－4.
得 x 1＝7， x 2＝－1.
（2） x 2＋3 x ＋4＝3.
解：（2）移项，得 x 2＋3 x ＝3－4，
即 x 2＋3 x ＝－1.
配方，得 x 2＋3 x ＋ ＝－1＋ ，即 ＝ .
∴ x ＋ ＝ 或 x ＋ ＝－ .
得 x 1＝ ， x 2＝－ .
2. 在横线上填上适当的数使等式成立.
（1） x 2－8 x ＋ ＝（ x － ）2；
（2） x 2－ 4 x ＋8＝（ x － 2 ）2；
（3） x 2＋2 x －1＝（ x ＋ ）2－2.
16
4
4
2
1
3. 用配方法解下列方程：
（1） x 2＋6 x －1＝0；
解： x 1＝－3＋ ，
x 2＝－3－ .
（2） x 2－ x ＋1＝0.
解：∵ ＝－ ＜0，
∴原方程无解.
题型三 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程
用配方法解下列方程：
（1）2 x 2－8 x ＋2＝0；
解：（1）两边同除以2，得 x 2－4 x ＋1＝0.
移项，得 x 2－4 x ＝－1.
配方，得 x 2－4 x ＋22＝－1＋22，
即（ x －2）2＝3.∴ x －2＝± .
∴ x 1＝2＋ ， x 2＝2－ .
（2）3 x 2＋4 x －4＝0.
解：（2）两边同除以3，得 x 2＋ x － ＝0.
移项，得 x 2＋ x ＝ .
配方，得 x 2＋ x ＋ ＝ ＋ ，
即 ＝ .∴ x ＋ ＝± .
∴ x 1＝ ， x 2＝－2.
[易错提示] 用配方法解一元二次方程的每一步都要细心.
注意：（1）移项时要变号；（2）配方时方程两边都要
加上一次项系数一半的平方；（3）只有当配方后右边
是一个非负数（或式），才可以用直接开平方法求解；
若是一个负数（或式），则方程无实数根.
4. 用配方法解下列方程：
（1）2 x 2－5 x ＋2＝0；
解： x 1＝2， x 1＝.
（2）3 x 2－4（ x －1）＝5.
解： x 1＝ ， x 1＝ .
题型四 配方法的应用
（1）关于 x ， y 的多项式 x 2－4 xy ＋5 y 2＋8 y ＋15
的最小值为（ A ）
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
（2）已知 A ＝2 a －7， B ＝ a 2－4 a ＋3.
求证： B － A ＞0.
证明：∵ B － A ＝ a 2－4 a ＋3－2 a ＋7＝ a 2－6 a ＋10＝
（ a －3）2＋1＞0，∴ B － A ＞0.
A
5. 已知 A 为多项式，且 A ＝－2 x 2－ y 2＋12 x ＋4 y ＋1，
则 A 有（ A ）
A. 最大值23 B. 最小值23
C. 最大值－23 D. 最小值－23
A
6. 已知 a ， b 是等腰△ ABC 的两边长，且满足 a 2＋ b 2－8
a －4 b ＋20＝0，求△ ABC 的周长.
解：∵ a 2＋ b 2－8 a －4 b ＋20＝0，
∴ a 2－8 a ＋16＋ b 2－4 b ＋4＝0.
∴（ a －4）2＋（ b －2）2＝0.
∴ a －4＝0， b －2＝0.
∴ a ＝4， b ＝2.
由构成三角形的条件，知该三角形腰为4，底边为2，
∴△ ABC 的周长为4＋4＋2＝10.(共14张PPT)
第二章 一元二次方程
*5 一元二次方程的根与系数的关系
1. 一元二次方程的根与系数的关系
如果方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）有两个实数根 x 1， x2，那么 x 1＋ x 2＝ － ， x 1 x 2＝ .
注意：根与系数的关系的内容中，包含两个条件：
①方程是一元二次方程，即二次项系数 a ≠0；
②方程有实数根，即Δ＝ b 2－4 ac ≥0.
－
2. 一些常见的关于两根代数式的变形
（1） x 12＋ x 22＝（ x 1＋ x 2）2－2 x 1 x 2.
（2）（ x 1＋ a ）（ x 2＋ a ）＝ x 1 x 2＋（ x 1＋ x 2） a ＋ a 2.
（3） ＋ ＝ .
（4） ＋ ＝ ＝ .
（5） x 12 x 2＋ x 1 x 22＝ x 1 x 2（ x 1＋ x 2）.
（6） ＝
＝ .
题型一 利用根与系数的关系求代数式的值
（1）关于 x 的一元二次方程3 x 2－2 x ＋ m ＝0有两
根，其中一根为 x ＝1，则这两根之积为（ D ）
A. B. C. 1 D. －
D
（2）已知 x 1， x 2是一元二次方程3 x 2＝6－2 x 的两个
根，则 x 1－ x 1 x 2＋ x 2的值是（ D ）
A. － B. C. － D.
（3）一元二次方程 x 2－4 x ＋2＝0的两根为 x 1， x 2，则
－4 x 1＋2 x 1 x 2的值为 ；
（4）已知实数 m ， n 满足3 m 2＋6 m －5＝0，3 n 2＋6 n
－5＝0，且 m ≠ n ，则 ＋ ＝ － .
D
2
－
1. 若 x 1， x 2是方程 x 2－6 x －7＝0的两个根，则
（ A ）
A. x 1＋ x 2＝6 B. x 1＋ x 2＝－6
C. x 1 x 2＝ D. x 1 x 2＝7
A
2. 设 a ， b 是方程 x 2＋ x －2 024＝0的两个实数根，则
（ a －1）（ b －1）的值为 .
－2 022
题型二 利用根与系数的关系求参数
（1）已知关于 x 的一元二次方程 x 2－4 x ＋ m －1＝
0的实数根 x 1， x 2满足3 x 1 x 2－ x 1－ x 2＞2，则 m 的取值
范围是 ；
3＜ m ≤5
（2）已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋3 x ＋ k －2＝0有实
数根.
①求实数 k 的取值范围；
②设方程的两个实数根分别为 x 1， x 2，
若（ x 1＋1）（ x 2＋1）＝－1，求 k 的值.
解：①由题意，得Δ＝32－4（ k －2）≥0，
解得 k ≤ .
②由题意，得 x 1＋ x 2＝－3， x 1 x 2＝ k －2.
∵（ x 1＋1）（ x 2＋1）＝－1，
即 x 1 x 2＋（ x 1＋ x 2）＋1＝－1.
∴ k －2＋（－3）＋1＝－1，解得 k ＝3.
3. 已知2＋ 是关于 x 的方程 x 2－4 x ＋ m ＝0的一个
根，则 m ＝ .
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋（ m ＋3） x ＋ m ＋1
＝0的两个实数根为 x 1， x 2，若 ＋ ＝4，则 m 的值
为 .
1
－1或－3
5. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋2 x － k ＝0有两个不相
等的实数根.
（1）求 k 的取值范围；
解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝ b 2－4 ac ＝4＋4 k ＞0，解得 k ＞－1.
∴ k 的取值范围为 k ＞－1.
（2）若方程的两个不相等的实数根是 a ， b ，求 －
的值.
解：（2）∵方程的两个不相等的实数根是 a ， b ，由根
与系数的关系得 a ＋ b ＝－2， ab ＝－ k ，
∴ － ＝ ＝ ＝1.(共28张PPT)
第二章 一元二次方程
4 用因式分解法求解一元二次方程
1. 因式分解法的定义
当一元二次方程的一边为 ，而另一边易于分解成
两个 的 时，我们就可以用分解因
式的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为
.
2. 理论依据
如果 a · b ＝0，那么 a ＝0或 b ＝0.
0
一次因式
乘积
因式
分解法
3. 选用适当的方法解一元二次方程
解一元二次方程，应根据方程的具体特征，灵活选择适
当的解法求解.
方法 适合方程类型 注意事项
直接开 平方法 （ mx ＋ n ）2＝ p p ≥0时有解，
p ＜0时无解
配方法 x 2＋ px ＋ q ＝0 二次项系数不为1时，先把
系数化为1，再进行配方
方法 适合方程类型 注意事项
公式法 ax 2＋ bx ＋ c ＝0 （ a ≠0） ① b 2－4 ac ≥0时，方程有
实数解； b 2－4 ac ＜0时，
方程无实数解；
②先化为一般形式再运用
公式
方法 适合方程类型 注意事项
因式分 解法 方程的一边为0，
另一边分解成两
个一次因式的积 方程的一边必须是0，另一
边可用任何方法因式分解
题型一 用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解下列方程：
（1） x 2－2 x ＝0；
解：因式分解，得 x （ x －2）＝0.
解得 x 1＝0， x 2＝2.
（2） x 2－2 x ＝－2；
解：移项并化二次项系数为1，得
x 2－4 x ＋4＝0.
因式分解，得（ x －2）2＝0.
解得 x 1＝ x 2＝2.
（3）（ x －4）2＝（2－3 x ）2；
解：移项，得（ x －4）2－（2－3 x ）2＝0.
因式分解，得－4（ x ＋1）（2 x －3）＝0.
于是得 x ＋1＝0或2 x －3＝0，
解得 x 1＝－1， x 2＝ .
（4）2 x （3－ x ）＝ x －3.
解：移项，得2 x （3－ x ）＋（3－ x ）＝0.
因式分解，得（2 x ＋1）（3－ x ）＝0.
于是得2 x ＋1＝0或3－ x ＝0，
解得 x 1＝－ ， x 2＝3.
[误区点拨] 第（1）小题要注意不能通过移项，在方程
两边把 x 约去，而造成漏解；第（3）小题不能只考虑底
数相等，而漏掉互为相反数的情况；第（4）小题不能
在方程两边约去 x －3，而造成漏解.
1. 方程3 x 2－ x ＝0的解是 .
x 1＝0， x 2＝
2. 用因式分解法解下列方程：
（1） x （2 x －3）＝5（3－2 x ）；
解： x 1＝ ， x 2＝－5.
（2）（ x －3）2＋2 x －6＝0；
解： x 1＝1， x 2＝3.
（3） x 2－16＝ x ＋4；
解： x 1＝－4， x 2＝5.
（4）（2 x －1）2－9＝0.
解： x 1＝－1， x 2＝2.
题型二 用因式分解法解 x 2＋ px ＋ q ＝0型的一元二次
方程（选学）
我们知道（ x ＋ a ）（ x ＋ b ）＝ x 2＋（ a ＋ b ） x ＋ ab ，于是 x 2＋（ a ＋ b ） x ＋ ab ＝0就可转化为（ x ＋ a ）（ x ＋ b ）＝0的形式，可得方程的解为 x ＝－ a 或 x ＝－ b .比如：（ x －2）（ x ＋4）＝ x 2＋2 x －8，所以 x 2＋2 x －8＝0可以转化为（ x －2）（ x ＋4）＝0，解得 x 1＝2， x 2＝－4.
请你仿照上面的方法解下列方程：
（1） x 2－3 x －4＝0；
解：原方程可变形为（ x －4）（ x ＋1）＝0，
即 x －4＝0或 x ＋1＝0.
解得 x 1＝4， x 2＝－1.
（2） x 2－7 x ＋6＝0.
解：原方程可变形为（ x －6）（ x －1）＝0，
即 x －6＝0或 x －1＝0.
解得 x 1＝6， x 2＝1.
3. 解下列方程：
（1） x 2＋7 x ＋10＝0；
解： x 1＝－2， x 2＝－5.
（2） x 2－24＝2 x .
解： x 1＝－4， x 2＝6.
4. 已知实数 x ， y 满足（ x 2＋ y 2）（ x 2＋ y 2－12）＝45，求 x 2＋ y 2的值.
解：设 x 2＋ y 2＝ a ，则 a （ a －12）＝45，
a 2－12 a －45＝0，
即（ a －15）（ a ＋3）＝0，
解得 a 1＝15， a 2＝－3.
∵ x 2＋ y 2＝ a ≥0，∴ x 2＋ y 2＝15.
题型三 选用适当的方法解一元二次方程
我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分
解法、直接开平方法、配方法和公式法.请你选择适当
的方法解下列方程：
（1） x 2－3 x －5＝0；
解：这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝－5，
∵ b 2－4 ac ＝（－3）2－4×1×（－5）＝29＞0，
∴ x ＝ ，
即 x 1＝ ， x 2＝ .
（2）（ x －2）2＝（3 x ＋4）2；
解：两边直接开平方，得 x －2＝±（3 x ＋4），
即 x －2＝3 x ＋4或 x －2＝－3 x －4.
∴ x 1＝－3， x 2＝－ .
（3）3 x ＋6＝（ x ＋2）2；
解：原方程可变形为3（ x ＋2）－（ x ＋2）2＝0.
∴（ x ＋2）[3－（ x ＋2）]＝0，
即（ x ＋2）（1－ x ）＝0.
∴ x ＋2＝0或1－ x ＝0.
∴ x 1＝－2， x 2＝1.
（4） x （ x －2）＝9.
解：配方，得 x 2－2 x ＋1＝9＋1，
即（ x －1）2＝10.
∴ x －1＝± .
∴ x 1＝1＋ ， x 2＝1－ .
[方法总结] 解一元二次方程时，若没有具体的要求，应
尽量选择最简便的方法进行求解.若不能用因式分解法
或直接开平方法，可用公式法求解；当二次项系数为
1，一次项系数为偶数时，可选择配方法解方程.
5. 用适当的方法解下列方程：
（1） x 2－2 x －1＝0；
解：原方程可变形为 x 2－2 x ＋1＝2，
即（ x －1）2＝2，
∴ x －1＝± .
∴ x 1＝1＋ ， x 2＝1－ .
（2）2 x 2＋3 x －6＝0；
解：这里 a ＝2， b ＝3， c ＝－6，
∵ b 2－4 ac ＝32－4×2×（－6）＝57＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x 1＝ ， x 2＝－ .
（3）（ x ＋3）2－8（ x ＋3）＋16＝0；
解：原方程可变形为[（ x ＋3）－4]2＝0，
即（ x －1）2＝0.
∴ x 1＝ x 2＝1.
（4） x 2－6 x ＋9＝（2 x －1）2.
解：原方程可变形为（ x －3）2－（2 x －1）2＝0，
即[（ x －3）＋（2 x －1）][（ x －3）－（2 x －1）]
＝0，
∴3 x －4＝0或－ x －2＝0，
∴ x 1＝ ， x 2＝－2.(共12张PPT)
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
第2课时 实际应用问题
1. 利用一元二次方程解决几何问题
解决几何问题通常是设出合理的未知数，再根据面积
（或体积）公式列出方程求解.
2. 利用一元二次方程设计方案
根据所学图形的有关知识及方程的解题思想，再利用丰
富的想象及合理的计算，进行多种多样的方案设计.
注意：利用一元二次方程解决实际问题时，所得的结果
应符合实际意义.
题型一 利用一元二次方程解决几何问题
如图，某建筑工程队在一堵墙边上用24米长的铁栏
围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的
墙长是13米，铁栏只围三边，且在正下方要造一个2米
宽的门.问：
（1）设仓库垂直于墙的一边长为 x 米，则仓库平行于墙
的一边长为 米；
（26－2 x ）
（2）根据以上要求所围成长方形仓库的两条邻边的长
分别是多少米？
解：（2）设仓库垂直于墙的一边长为 x 米，
依题意，得（26－2 x ） x ＝84，
解得 x 1＝6， x 2＝7.
当 x 1＝6时，26－2 x ＝14＞13，
不合题意，舍去；
当 x 2＝7时，26－2 x ＝12.
答：所围成长方形仓库相邻两边长分别为12米，7米.
1. 如图，要把长为4 m、宽为3 m的长方形花坛四周扩展
相同的宽度x m，得到面积为30 m2的新长方形花坛，则
x 的值为（ D ）
A. 4.5 B. 2 C. 1.5 D. 1
（第1题）
D
2. 把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边
长为10 cm的小正方形后，再将其折起来做成一个无盖
的铁盒，盒子的容积为1 500 cm3，求铁皮的宽.
解：设铁皮的宽为x cm，根据题意，得
10（2 x －20）（ x －20）＝1 500.
解得 x 1＝25， x 2＝5（舍去）.
答：铁皮的宽为25 cm.
题型二 利用一元二次方程设计方案学用P46
如图，阳光小区附近有一块长100 m、宽80 m的长
方形空地，现需要在空地上设计两条相同宽度的步道
（一纵一横）和一个边长为步道宽度7倍的正方形休闲
广场，要求两条步道的总面积与正方形休闲广场的面积
相等，求步道的宽.
解：设步道的宽为a m，根据题意，得
100 a ＋80 a － a 2＝（7 a ）2，
解得 a 1＝0， a 2＝3.6.
∵ a ＞0，∴ a ＝3.6.
答：步道的宽为3.6 m.
3. 某学校为美化校园，准备在长35 m、宽20 m的长方形
场地上，修建若干条宽度相同的道路，余下部分作草
坪，并请全校学生参与方案设计，现有3位同学各设计
了一种方案，图纸分别如图1、图2和图3所示（阴影部
分为草坪）.
（第3题）
请你根据这一问题，在每种方案中都只列出方程不解.
（1）甲方案设计图纸为图1，设计草坪的总面积为600
m2；
解：（1）设道路的宽为x m.根据题意，得
（35－2 x ）（20－2 x ）＝600.
（第3题）
（2）乙方案设计图纸为图2，设计草坪的总面积为600
m2；
（第3题）
（2）设道路的宽为x m.根据题意，得
（35－ x ）（20－ x ）＝600.
（3）丙方案设计图纸为图3，设计草坪的总面积为540m2.
（第3题）
（3）设道路的宽为x m.根据题意，得
（35－2 x ）（20－ x ）＝540.(共19张PPT)
第二章 一元二次方程
6 应用一元二次方程
第1课时 一元二次方程在实际问题中的应用（一）
列一元二次方程解应用题的一般步骤
与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方
程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答.
（1）“审”是指审清题意，明确各量之间的关系；
（2）“设”是指设未知数；
（3）“列”就是列方程；
（4）“解”就是解方程；
（5）“验”就是检验方程的解是否符合实际意义；
（6）“答”是指写出答案并作答.
题型一 用一元二次方程解决几何问题
如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东
航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的
速度由南向北移动，距台风中心20 海里的圆形区域
（包括边界）都属于台风区.当轮船到 A 处时，测得台风
中心位于点 A 正南方向的 B 处，且 AB ＝100海里.
若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由.
解：会.设轮船最初遇到台风的时间为离开 A 处t h，此时
行驶到 C 处，台风中心移动到 D 处.如答案图所示，连接
CD ，
则 CD ＝20 海里，
AD ＝（100－40 t ）海里，
AC ＝20 t 海里.
∵ AD 2＋ AC 2＝ CD 2，
∴（100－40 t ）2＋（20 t ）2＝ .
整理，得 t 2－4 t ＋3＝0.
（答案图）
解得 t 1＝1， t 2＝3.
由于是最初遇到台风的时间，
∴ t ＝3不合题意，应舍去.
∴ t ＝1.
∴轮船在途中会遇到台风，最初遇到台风的时间为离开
A 处1 h时.
（答案图）
1. 直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长
是（ B ）
A. B. 5 C. D. 7
B
2. 某海关缉私艇在 C 处发现在正北方向30 km的 A 处
有一艘可疑船只，测得它正以75 km/h的速度向南偏
东方向航行.缉私艇立即以60 km/h的速度向正东方向
航行，并在 B 处拦截，则缉私艇从 C 处到 B 处需航行
多长时间？
（第2题）
解：设缉私艇从 C 处到 B 处需航行x h，由题意，得
AC 2＋ BC 2＝ AB 2，
∴302＋（60 x ）2＝（75 x ）2，
解得 x 1＝－ （不合题意，舍去）， x 2＝ .
答：缉私艇从 C 处到 B 处需航行 h.
题型二 用一元二次方程解决动态问题学用
如图所示，一根木棍 OE 垂直平分柱子 AB ， AB ＝
200 cm， OE ＝260 cm，一只电子老鼠 C 由柱子底端点
A 以2 cm/s的速度向顶端点 B 爬行，同时，另一只电子
老鼠 D 由点 O 以3 cm/s的速度沿木棍 OE 爬行，问：是否
存在这样的时刻，使两只电子老鼠与点 O 组成的三角形
的面积为1 800 cm2？
解：存在.理由如下：
①当电子老鼠 C 在 AO 上运动时，设两只电子老鼠同时
爬行经过x s时，与点 O 组成的△ COD 的面积为1 800 cm2，
即 ＝1 800 cm2，
则 AC ＝2x cm， OC ＝（100－2 x ）cm， OD ＝3x cm.
（答案图）
由 ＝ OC · OD ，
得 （100－2 x ）·3 x ＝1 800.
整理，得 x 2－50 x ＋600＝0.
解得 x 1＝20， x 2＝30；
（答案图）
②当电子老鼠 C 在 OB 上运动时，设两只电子老鼠同时
爬行经过y s时，与点 O 组成的△C'OD'的面积为1 800
cm2，即 S △ C ' OD '＝1 800 cm2，
则AC'＝2y cm，OC'＝（2 y －100）cm，
OD'＝3y cm.由 S △ C ' OD '＝ OC'·OD'，
得 （2 y －100）·3 y ＝1 800.
整理，得 y 2－50 y －600＝0.
（答案图）
解得 y 1＝60， y 2＝－10（舍去）.
综上所述，在两只电子老鼠同时爬行20 s，30 s或60 s
时，两只电子老鼠 C ， D 与点 O 组成的三角形的面积为
1 800 cm2.
（答案图）
[方法点拨] 解答动点问题时，要动静结合，用静止的观
点去分析动态问题.一般要暂时固定动点，通过分析某
一种特殊位置找到一般性答案.
3. 如图，已知甲、乙两人分别从正方形广场 ABCD 的顶
点 C ， B 两点同时出发，甲由 C 向 D 运动，乙由 B 向 C
运动，甲的速度为1千米/分钟，乙的速度
为2千米/分钟.若正方形广场的周长为40
千米，当两人相距2 千米时，所用
时间是 分钟.
2
（第3题）
4. 如图，在△ ABC 中，∠ B ＝90°， AB ＝5 cm， BC
＝8 cm.点 P 从点 A 开始沿 AB 边向点 B 以1 cm/s的速
度移动，同时点 Q 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点
也随之停止运动.
（第4题）
（1）几秒后，四边形 APQC 的面积等于16 cm2？
解：（1）5÷1＝5（s），8÷2＝4（s）.
当运动时间为t s时（0≤ t ≤4），
AP ＝t cm， BP ＝（5－ t ） cm， BQ ＝2t cm.
根据题意，得
×5×8－ ×（5－ t ）×2 t ＝16，
整理，得 t 2－5 t ＋4＝0.解得 t 1＝1， t 2＝4.
当 t ＝4时，点 C ， Q 重合，不符合题意，舍去.
答：1 s后，四边形 APQC 的面积等于16 cm2.
（第4题）
（2）△ PQB 的面积能否等于9 cm2？请说明理由.
（第4题）
解：（2）△ PQB 的面积不能等于9 cm2.理由如下：
根据题意，得 （5－ t ）×2 t ＝9，
整理，得 t 2－5 t ＋9＝0.
∵Δ＝（－5）2－4×1×9＝－11＜0，
∴所列方程没有实数根.
∴△ PQB 的面积不能等于9 cm2.(共17张PPT)
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第2课时 一元二次方程的解
1. 一元二次方程的解
使一元二次方程成立的 ，叫做一元二次
方程的解（或根）.
未知数的值
2. 用“两边夹”思想解一元二次方程的步骤
（1）在未知数 x 的取值范围内排除一部分取值；
（2）根据题意所列的具体情况再次进行排除；
（3）列出能反映未知数和方程的值的表格再次筛选；
（4）最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
3. 一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的特殊解
（1）如果 a ＋ b ＋ c ＝0，则方程有根 ；
（2）如果 a － b ＋ c ＝0，则方程有根 ；
（3）如果 c ＝0，则方程有根 .
x ＝1
x ＝－1
x ＝0
题型一 一元二次方程的解
（1）已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋3 x －2 m ＝0的一个根是 x ＝1，则 m 的值为（ A ）
A. 2 B. 4 C. －4 D. －2
（2）已知关于 x 的一元二次方程（ a －1） x 2－2 x ＋ a 2
－1＝0有一个根为 x ＝0，则 a 的值为（ D ）
A. 0 B. ±1 C. 1 D. －1
A
D
[误区总结] 解答第（2）小题时，要特别注意二次项系
数 a －1≠0；解答第（3）小题时，要学会运用整体代入
的思想.
（3）若关于 x 的一元二次方程 ax 2＋ bx ＋6＝0的一个根
为 x ＝－2，则代数式6 a －3 b ＋6的值为（ D ）
A. 9 B. 3 C. 0 D. －3
D
1. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋5 x － m ＝0的一个根
是2，则 m 的值为（ C ）
A. 7 B. 9 C. 14 D. 16
2. （2024·重庆一中）已知关于 x 的一元二次方程 ax 2＋
bx －2＝0的一个根是－1，则 a － b ＋3的值为
（ C ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
C
C
题型二 估算一元二次方程的近似解
为准备奥运会，一名跳水运动员进行10 m跳台跳水
训练，在正常情况下，运动员必须在距水面5 m以上完
成规定动作，否则就容易出现失误，假设运动员起跳后
的运动时间 t （s）和距离水面高度 h （m）满足 h ＝10
＋3 t －5 t 2，那么他最多有多长时间完成规定动作？
（精确到0.1 s）
解：把 h ＝5代入 h ＝10＋3 t －5 t 2，
得5＝10＋3 t －5 t 2，即5 t 2－3 t －5＝0.
过程整理如下：
t 0 1 2
5t2－3t－5 －5 －3 9
所以1.3＜ t ＜1.4.
因此他完成动作的时间最多不超过1.3 s.
所以1＜ t ＜2.进一步列表计算：
t 1.1 1.2 1.3 1.4
5t2－3t－5 －2.25 －1.4 －0.45 0.6
[方法总结] 先估计解的大致范围，找到使方程左边可能
等于0的未知数的取值范围，然后再进一步在这个范围
内取值，缩小未知数的取值范围.这样层层逼近，直到
找到满足题意的 x 值.
3. 根据下列表格中的对应值判断关于 x 的一元二次方程
ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的一个解 x 的取值范围是
（ C ）
x 3.86 3.87 3.88
ax 2＋ bx ＋ c （a≠0） －0.11 －0.05 0.02
A. x ＜3.86 B. 3.86＜ x ＜3.87
C. 3.87＜ x ＜3.88 D. x ＞3.88
C
4. 一个直角三角形的斜边长为7，一条直角边比另一条
直角边长1，求两条直角边的长度.设较短的一条直角边
长为 x ，则可列方程为 ，整理成
一般形式为 .
x 2＋（ x ＋1）2＝72
x 2＋ x －24＝0
（1） x 的值能小于或等于0吗？为什么？
；
不能，因为三角形的边长不可能小于或等于0
（2）你能估计出 x 的大致范围吗？完成下表：
x 1 2 3 4 5
x 2＋ x －24 －22 －18 －12 －4 6
所以 ＜ x ＜ ，
x 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
x 2＋ x －24 －3.09 －2.16 －1.21 －0.24 0.75
所以 ＜ x ＜ ；
x 2＋ x －24
－22
－18
－12
－4
6
4
5
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
x 2＋ x －24
－3.09
－2.16
－1.21
－0.24
0.75
4.4
4.5
（3） x 的整数部分是 ，十分位上的数字是 .
4
4
题型三 一元二次方程的特殊解
在一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）中，若有
4 a －2 b ＋ c ＝0，则方程必有一根为 .
x ＝－2
5. 若 a ， b ， c 是非零实数，且 a － b ＋ c ＝0，则有一个
根是1的方程是（ B ）
A. ax 2＋ bx ＋ c ＝0 B. ax 2－ bx ＋ c ＝0
C. ax 2＋ bx － c ＝0 D. ax 2－ bx － c ＝0
B(共16张PPT)
第二章 一元二次方程
1 认识一元二次方程
第1课时 一元二次方程
1. 整式方程
等号两边都是关于未知数的 的方程，称为整式
方程.
整式
2. 一元二次方程
只含有 未知数 x 的 方程，并且都可以
化成 （ a ， b ， c 为常数，
a ）的形式，即未知数的最高次项的次数是2，
这样的方程叫做一元二次方程.
一个
整式
ax 2＋ bx ＋ c ＝0
≠0
3. 一元二次方程的一般形式
我们把 （ a ， b ， c 为常数，
a ）称为一元二次方程的一般形式，其中 ax 2，
bx ， c 分别称为 、 和
， a ， b 分别称为 和
.
ax 2＋ bx ＋ c ＝0
≠0
二次项
一次项
常数
项
二次项系数
一次项系
数
注意：（1）只有当 a ≠0时，方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0才是
一元二次方程.如果明确指出方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0是一元
二次方程，那么就隐含了 a ≠0这一重要条件.
（2）一般形式中的 a ， b ， c 常统称为系数，常数项 c 可
以看作零次项的系数.
4. 列一元二次方程解决实际问题
根据实际问题建立一元二次方程的关键是审题找等量关
系.再根据未知量（未知数）和已知量利用等量关系建
立方程.
题型一 一元二次方程的定义
（1）下列方程中，关于 x 的一元二次方程有
；（填序号）
① x 2＝0；② x 2－3＝ x ；③ a 2＋ a － x ＝0；④
（ m －1） x 2＋4 x ＋ ＝0；⑤ ＋ ＝0；⑥ ＝
2；⑦（ x ＋1）2＝ x 2－9.
（2）关于 x 的方程（ m ＋2） ＋ mx －1＝0是一元二
次方程，则 m ＝ .
①
②
2
[方法总结] 判断一元二次方程必须满足三个条件：①是
整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数
是2.
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ C ）
A. （ x －2）2＋4＝ x 2 B. x 2＋ －3＝0
C. x 2＋2 x ＋2＝0 D. xy ＋2＝1
2. 若关于 x 的方程（ m －1） －2 x ＝0是一元二次
方程，则 m 的值为 .
C
－1
题型二 一元二次方程的一般形式
将一元二次方程（ x ＋1）（ x －1）＝ x 化成一般形
式为 ，二次项为 ，二次项系数
为 ，一次项系数为 ，常数项为 .
x 2－ x －1＝0
x 2
1
－1
－1
3. 一元二次方程 x 2－2（3 x －2）－（ x －1）＝0的一般
形式是（ B ）
A. x 2－5 x ＋5＝0 B. x 2－7 x ＋5＝0
C. x 2＋5 x －5＝0 D. x 2－7 x －5＝0
B
题型三 根据实际问题建立一元二次方程
根据题意先列出方程（不必求解），再化为一元二
次方程的一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和
常数项.
（1）一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，求各
边长；
解：（1）设该直角三角形的三边长分别为
x －2（ x －2＞0）， x ， x ＋2.（ x 为偶数）
根据题意，得（ x ＋2）2＝（ x －2）2＋ x 2.
一般形式： x 2－8 x ＝0.
二次项系数为1，一次项系数为－8，常数项为0.
（2）一个两位数，十位数字比个位数字小3，若把这个
数的十位数字与个位数字对调，那么得到的新两位数与
原两位数的积为2 268，求新的两位数.
解：（2）设原两位数的个位数字为 y ，则十位数字为
（ y －3），根据题意，得
[10（ y －3）＋ y ][10 y ＋（ y －3）]＝2 268.
一般形式： y 2－3 y －18＝0.
二次项系数为1，一次项系数为－3，常数项为－18.
4. 根据题意列方程，并化成一般形式.（不必求解）
（1）一个直角三角形的面积为8，两条直角边相差2，
求较短的直角边长 x ；
解：根据题意，得 x （ x ＋2）＝8，
化为一般形式为 x 2＋2 x －16＝0.
（2）已知两个数之和为6，之积等于5，求这两个数.
解：设其中一个数为 x ，则另一个数为（6－ x ），
则有 x （6－ x ）＝5，化为一般形式为 x 2－6 x ＋5＝0.(共19张PPT)
第二章 一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时 用公式法解一元二次方程
1. 用公式法解一元二次方程
（1）定义：对于一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0
（ a ≠0），当 时，它的根是 x
＝ .这个式子称为一元二次方程的求根公
式.用 解一元二次方程的方法称为公式法.
b 2－4 ac ≥0
求根公式
（2）步骤：
①把方程化为一般形式；
②确定 a ， b ， c 的值；
③计算 b 2－4 ac 的值；
④当 b 2－4 ac ≥0时，把 a ， b 及 b 2－4 ac 的值代入一元
二次方程的求根公式，求得方程的根；当 b 2－4 ac ＜0
时， 没有意义，所以方程无实数根.
注意：求根公式是用配方法解一元二次方程的结果，用
它直接解方程避免了繁杂的配方过程，公式法是一种常
用的解决方法，适用于所有的一元二次方程.
2. 一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0（ a ≠0）的根的情况可
由 来判定
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根.
我们把 叫做一元二次方程 ax 2＋ bx ＋ c ＝0
（ a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“ ”来
表示.
b 2－4 ac
b 2－4 ac ＞0
b 2－4 ac ＝0
b 2－4 ac ＜0
b 2－4 ac
Δ
注意：（1）上面的结论反过来也成立，即当方程有两
个不相等的实数根时，Δ＞0；当方程有两个相等的实数
根时，Δ＝0；当方程没有实数根时，Δ＜0.
（2）当 a ， c 的符号相反时，方程一定有两个不相等的
实数根.
题型一 用公式法解一元二次方程学用P44
用公式法解下列方程：
（1）2 x 2＋ x －5＝0；
解：∵ a ＝2， b ＝1， c ＝－5，
∴ b 2－4 ac ＝12－4×2×（－5）＝41＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x 1＝ ， x 2＝ .
（2）5 x 2－12＝4 x ；
解：将原方程化成一般形式，
得5 x 2－4 x －12＝0.
∵ a ＝5， b ＝－4， c ＝－12，
∴ b 2－4 ac ＝（－4）2－4×5×（－12）＝256＞0，
∴ x ＝ ＝ ，
即 x 1＝－ ， x 2＝2.
（3） x 2－ x ＋ ＝0；
解：∵ a ＝1， b ＝－ ， c ＝ ，
∴ b 2－4 ac ＝ －4×1× ＝0，
∴ x ＝ ＝ ，即 x 1＝ x 2＝ .
（4）（ x ＋2）2＝2 x ＋1.
解：整理，得 x 2＋2 x ＋3＝0.
∵ a ＝1， b ＝2， c ＝3，
∴ b 2－4 ac ＝22－4×1×3＝－8＜0.
∴此方程无解.
[易错提示] （1）用公式法解一元二次方程时，一定要
先将方程化成一般形式，再确定 a ， b ， c 的值；（2） b
2－4 ac ≥0是公式法的一个重要限定条件，当 b 2－4 ac ＜
0时，得出方程没有实数根；（3）当 b 2－4 ac ＝0时，应
把方程的根写成 x 1＝ x 2＝－ 的形式，说明一元二次方
程有两个相等的实数根，而不是一个根.
1. 用公式法解方程3 x 2＋4＝12 x ，下列代入公式正确的
是（ D ）
A. x ＝ B. x ＝
C. x ＝ D. x ＝
D
2. 用公式法解下列方程：
（1） x 2－3 x ＝2；
解： x 1＝ ，
x 2＝ .
（2） y 2－1＝2 y ；
解： y 1＝ ＋ ，
y 2＝ － .
（3）（ x ＋2）（2 x －1）＝1.
解： x 1＝ ，
x 2＝ .
题型二 利用 b 2－4 ac 判别一元二次方程根的情况
（1）已知关于 x 的一元二次方程（ k ＋1） x 2－（2
k ＋1） x ＋ k －1＝0有实数根，则 k 的取值范围是
；
k ≥
－ 且 k ≠－1
（2）已知关于 x 的一元二次方程 x 2＋（ m －2） x ＋ m
－3＝0，求证：无论 m 取什么实数值，方程总有两个不
相等的实数根.
证明：Δ＝（ m －2）2－4×1× ＝ m 2－6 m
＋16＝（ m －3）2＋7.
∵无论 m 为何值，（ m －3）2＋7＞0，即Δ＞0，
∴无论 m 取什么实数值，方程总有两个不相等的实数
根.
[方法总结] ①通过计算 b 2－4 ac 的值，就可判断一元二
次方程根的情况；反之，由一元二次方程根的情况，便
可确定 b 2－4 ac 的取值范围；②一元二次方程有实数
根，应包括有两个不相等的实数根和两个相等的实数根
两种情况，此时 b 2－4 ac ≥0，切勿丢掉等号；③当一元
二次方程的二次项系数是待定系数时，要特别注意取值
要满足 a ≠0这个隐含条件.
3. 一元二次方程 x 2－ x ＋1＝0的根的情况是（ D ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
D
4. （1）已知关于 x 的一元二次方程（ m ＋2） x 2－3 x ＋
1＝0有实数根，则 m 的取值范围是 ；
（2）关于 x 的一元二次方程 x 2－6 x ＋ k ＋2＝0有两个相
同的实数根，则常数 k 的值等于 .
m ≤ 且 m ≠－ 2
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