2.1 双曲线及其标准方程 教学设计（表格式）

教学设计
数学（北师大版）
课 题 双曲线及其标准方程
课时安排 课前准备 安装软件，直尺等工具
教材内容 分 析 本节课主要内容是双曲线的定义及其标准方程。学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高。如果学生对双曲线研究的透彻、清楚，那么对抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础。 由于双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，也可以从椭圆的学习进行类比到双曲线当中。因此，在教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点。
设计理念 建议从技术融合创新的思路上表达，描述整节课中期望利用何种技术，在教学教研、课堂应用、学生评价、有效反馈等哪个方面进行创新突破。 课堂教学的中心是学生的学习活动，教学的根本任务是教学生学。本节课设计努力挖掘内容的本质和联系，充分考虑学生的学习基础和思维发展方向，力求教学过程的自然流畅，在教学方法上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用，在教学目标上，以突出解析思想为主，通过教学过程具体的环节培养学生的核心素养，掌握基础知识与基本技能，通过赣教云教学通2.0进行教学，突出课堂教学的互动。注重学生学习过程的体验，体现自主、合作、探究的学习方式，重视数学思想与方法的教育。 由于椭圆和双曲线都是平面截圆锥所得，根据截面与圆锥对称轴所成的角度不同，两者的形状存在差异。这两类图形应该存在某种联系，所以学习双曲线及其标准方程从复习椭圆开始。从椭圆的定义、形成条件、建系、方程的化简推导、a,b,c的关系（）类比到双曲线中。 在这里不采用拉拉链或借用细线画出双曲线图形，而是用几何画板软件画出双曲线图形更为形象直观，这样学生不仅可以看到双曲线形成的过程，而且较易看出椭圆与双曲线形成的联系与区别。
学情分析 学生已经学习直线、圆、椭圆及其标准方程，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会。学生也尝试过探究式的学习方式，所以说从知识和学习方式上来说学生已具备了自行探究和推导方程的基础。 学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化和处理较复杂的运算仍有一定困难，椭圆与双曲线从定义、方程、焦点到a,b,c的关系都相近，不易区别，更易混淆，在教学过程中需要加以细致引导。
教学目标 （1）理解和掌握双曲线的定义、图像和标准方程及其求法。 （2）类比椭圆的定义、标准方程及其推导，使学生掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，掌握a,b,c的关系及几何意义，培养学生动手能力，分类讨论、类比、数形结合的数学思想与方法。 （3）学生会用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程。 （4）通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美、对称美,培养学习数学的兴趣。
教学重难点 教学重点：双曲线的定义，求双曲线标准方程。 教学难点：双曲线定义的应用及双曲线标准方程的推导。
教学过程
教学环节（一） 师生活动 复习引入 1.椭圆的定义： │PF1│+│PF2│＝2a（大于│F1F2│）焦点F1、F2 焦距│F1F2│＝2c 2.形成椭圆的条件： 当2a大于│F1F2│时，轨迹是什么？ 当2a等于│F1F2│时，轨迹是什么？ 当2a小于│F1F2│时，轨迹是什么？ 学生集体回顾所学的知识，并回答。教师点评。
设计意图 设计在该环节里的技术应用的教研与技术融合的目的是否达到。如：“采用展示 石拱桥的图片导课”，让学生从实际生活中的几何图形中观察几何。 ①通过生活实际中双曲线的例子，如大工厂烟囱的图片设下悬疑； ②复习旧知识，为后面分析双曲线的定义和标准方程做下铺垫； ③以旧知来调动学生的学习积极性，激发他们的学习兴趣。
教学环节（二） 师生活动 探究新知 探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会发生什么变化？ 创设情景，感受曲线 （1）教师打开几何画板，创设情景，结合几何画板演示分析 （2）学生观察几何画板的演示，仔细思考老师提出的问题；学生进行发散性思维； 直观：双曲线有两支，每一支“有点象”抛物线。 认知冲突：（1）双曲线就是反比例函数图象 （2）双曲线就是“一双”曲线 即 其轨迹我们称之为双曲线。
设计意图 设计在该环节的技术应用是否合理。同样需要考虑到技术应用是否能满足教学、是否能创新教学环节、是否符合学生学情等一些列问题。 ①利用几何画板画出双曲线的图形，这生动形象的演示提高了学生学习兴趣、激活学生思维、加深概念理解。 ②使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，提高参与程度，为后续学习做好准备。
教学环节 （三） 师生活动 新课讲授 双曲线的定义： 形成概念，解读概念： 对比椭圆的定义回答下列问题，在双曲线形成的过程中，哪些量是固定不变的？哪些量是变化的？你能否发现动点运动的某些规律？让学生寻找在已知两个定点条件下的有规律的动点运动，从而得出双曲线的定义。 双曲线的定义：平面上两个定点、的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于|F1F2|）的点的轨迹。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 强调概念： （1）为什么常数要小于|F1F2|？如果不小于会如何？ 用几何画板展示三种情况，最终得出结论。 （2）如果去掉绝对值会如何？
设计意图 如上思考，建议要充分考虑到“恰当的时机使用恰当的技术”的问题。 ①利用几何画板演示，引导学生把椭圆的定义与双曲线的定义进行类比。 ②注重概念形成过程，通过一个个的问题，让学生从感性认识自然过渡到理性认识，培养学生的观察、归纳、概括能力。 ③在给出定义后，通过设问让学生加深对双曲线定义中的关键词的理解，进一步强化双曲线定义，真正使学生理解定义的内涵和外延。
教学环节 （四） 师生活动 双曲线的标准方程 推导过程，认知特性： 问题：我们是怎样建立坐标系求椭圆的标准方程的？怎样建立适当的坐标系，求双曲线的方程呢？ （1）建立直角坐标系，强调其对称性，使方程比较简单；将椭圆的标准方程中建系过程进行迁移类比过来。 最后确定取过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系。 设双曲线的焦距│F1F2│为2c（c>0）、常数为2（设计意图 ①求曲线的方程时，教学生学会建立适当的坐标系，构造数与形的桥梁，学会用解析的方法来解决问题，渗透数形结合的数学思想。 ②在化简方程时，让学生体会数学美中简洁性和对称性，来突破难点，体现对称的思想； ③按学生思维的方式，由易到难组织教学，逐层剖析，利于学生全面掌握。 ④通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对双曲线标准方程的理解。 ⑤通过讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法； ⑥通过讨论，利用类比的方法来深化学生对双曲线标准方程的理解。
教学环节 （五） 师生活动 一、小试牛刀 例1根据下列方程写出焦点坐标及a,b的值： 二、精讲精炼 例3 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 已知两个焦点的坐标分别是（0，-6）、（0,6），且双曲线经过点A（-5,6）. 提炼总结： 求双曲线标准方程的方法 （1）定义法： 判断出动点的轨迹是双曲线，据定义确定其方程 （2）待定系数法： ①定位：判断双曲线的焦点在 x 轴上，还是 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； ②设方程：或 ③定量、计算；解得方程 三、课堂练习 1.已知A（0，-4）B（0，4），|PA|-|PB|=2a,当a=3和a=4时，点P集合分别为（ ） A.双曲线和一条直线 B.双曲线和两条射线 C.双曲线一支和一条直线 D.双曲线一支和一条射线 2.已知双曲线的，且经过点A（-5,2），焦点在x轴上，求双曲线的标准方程。
设计意图 ①通过例题来强化概念，开拓学生的思维，训练学生思维的严谨性。并且使得学生掌握、消化所学内容。 ②通过所讲例题启发引导学生进行归纳整理并且利用幻灯片展示归纳结果。使得学生对求双曲线标准方程的方法在思想上得到强化和巩固，充分吸收所学内容。 ③通过学生思考、讨论、分析来培养主动梳理、运用知识的意识和数学语言表达能力。 ④展示锻练学生的心理素质，比较可以规范解题格式。
教学环节 （六） 师生活动 课堂小结 1、双曲线的定义及注意事项 2、双曲线的标准方程 方程中的a，b，c之间的关系 3、确定焦点位置的方法 4、求双曲线标准方程方法 定义法 待定系数法
设计意图 ①使学生理清这节课的重难点，深化对基本概念，基本理论的理解，帮助学生从感性认识升华到理性认识,同时培养学生整体掌握知识的能力； ②让学生把课堂教学传授的知识尽快化为学生的知识,使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用。
教学环节 （七） 师生活动 布置作业 1 已知双曲线的,经过点,焦点在y轴上，求双曲线的方程. 2. 已知双曲线通过M（1,1）、N（-2,5）两点，求双曲线的标准方程.
设计意图 体现分层教学的思想，使各层次的学生都找到各自的学习区，进一步完善教学目标的实现，巩固这节课所学知识内容。
板书设计 双曲线的标准方程 一、定义： |│MF1│-│MF2│|=常数（大于零且小于│F1F2│） 焦点F1、F2 焦距│F1F2│＝2c 二、标准方程： 焦点在x轴： 焦点在y轴：
教学反思 反思请多反思教学重难点用技术环境展示是否得到了优化、教学过程中的技术应用是否符合预期、学生互动是否满足效果、技术应用是否得到创新等问题。 本节课体现以学生发展为本的教学理念，通过问题的设计引导学生层层推进，不断探索，最终得出双曲线的定义，标准方程。在教学过程中还将双曲线与椭圆进行类比学习，促进了学生认知结构的发展，明确了椭圆、双曲线两种圆锥曲线的异同。 本节课在教学方法上，突出教学内容中主要的、本质的东西；将这堂课的具体任务与整个教学任务合理地结合起来；选择最合理的教学方法和手段。结合本节课的具体内容，确立启发探究式教学、互动式教学法进行教学这两种教学方法，体现了认知心理学的基本理论。在教学过程中较好的运用信息技术，使双曲线的形成更加形象直观。 学习的主体上，课堂上为学生的主动参与提供充分的时间和空间凡是学生能够自己学习的、观察的、讲的（口头表达）、思考探究的、合作交流的、动手操作的，尽量多放手让给学生去做、去活动、去完成，这样可以调动学生学习积极性，拉近师生距离，提高知识的可接受度，让学生体会到他们是学习的主体。进而完成知识的转化，变书本的知识、老师的知识成为自己的知识。 学法指导上，采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合，交流练习互穿插的活动课形式，学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣。教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。促进学生说、想、做，注重“引、思、探、练”的结合，鼓励学生发现问题，大胆分析问题和解决问题.进行主动探究学习，形成师生互动的教学氛围。