2023-2024学年度第二学期高二数学期末检测试题（含解析）

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2023-2024学年度第二学期高二数学期末检测试题（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．本试卷共19小题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．选择题答案使用2AB铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．
3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取2个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是(　　 )
A.100 B.90 C.81 D.72
2.设随机变量ξ等可能取值1、2、3…n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为(　 　)
A．3　　　 B．4　　　 C．9　　　 D．10
3.对分类变量X与Y的随机变量的的观测值，下列说法正确的是( )
A.越大，“X与Y有关系”可信度越小 B.越小，“X与Y有关系” 可信度越小
C.越接近于0，“X与Y无关”程度越小 D.越大，“X与Y无关” 程度越大
4.设函数f(x)的导函数是，若f(x)=，则=( )　　
A． B． C． D．
5.已知二项式 的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x2项的系数是 (　　 )
A.1 B. C. D.
6.调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r= 0.8245，下列
说法正确的是 ( )
A.花瓣长度与花萼长度没有相关性 B. 花瓣长度与花萼长度呈现正相关
C.花瓣长度与花萼长度呈现负相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8425.
7.已知a>0,不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.[1,e] B.(0, ] C. (0,e] D. (,1]
8.甲，乙，丙三人相互做传球训练，第一次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A.3次传球后，球在甲手上的概率是 B.3次传球后，球在乙手上的概率是
C.2次传球后，球在丙手上的概率是 D.n次传球后，球在甲手上的概率是
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.下列说法正确的是（　　 ）
A.将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据的方差相同
B.线性回归直线一定过中心（，）
C.线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D.在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合越好
10.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后的亩收入的样本均值=2.1,样本方差=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,),则（ ）（若随机变量z服从正态分布,则)
A. B. C. D.
11.若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A. bc>0 B. ab<0 C. b2+8ac>0 D. ac<0
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　　行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.
13.已知函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上的最小值为2e，则实数a的值为 .
14.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m﹣n＝　 　，E（ξ）＝　 　．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
⑴估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
⑵在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）
优秀 非优秀 合计
男 20
女 50
合计 100
参考公式及数据：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
16.（本题满分15分）
已知函数f(x)=.
⑴当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
⑵若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
17.（本题满分15分）
某品牌汽车的4S店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如表所示.已知分9期付款的频率为0.4，该店销售一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.
付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期
频数 20 20 a b
⑴若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客，求事件A“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A)；
⑵按分层抽样方式从这100位顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量，求的分布列．
18.（本题满分17分）
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第项的系数与第项的系数之比是：；②第项与倒数第项的二项式系数之和为；③
已知在的展开式中，________.
⑴求展开式中二项式系数最大的项；
⑵展开式中含的项.
19.（本题满分17分）
某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2023年6月，该市22个市级部门联合启动了2023年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分单位：分分成6组：[40,50),[50,60),…,[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
⑴求图中m的值；
⑵从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X，求随机变量X的分布列和期望．
试题解析
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.从0,1,2,…,9这10个数字中,任取2个不同数字作为平面直角坐标系中点的坐标,能够确定不在x轴上的点的个数是(　　 )
A.100 B.90 C.81 D.72
【答案】C.
【解析】（间接法）任取2个不同的数字作为平面直角坐标系中点的坐标,共有=90(个),而在x轴上的点的纵坐标必须为0,故只有9个,因此,满足条件的点的个数为90-9=81.故选C.
2.设随机变量ξ等可能取值1、2、3…n，如果P(ξ<4)＝0.3，那么n的值为(　 　)
A．3　　　 B．4　　　 C．9　　　 D．10
【答案】D
【解析】∵随机变量ξ等可能取值1、2、3…n，∴从这n个数中任取一个数的概率为,
P(ξ<4)＝P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)==0.3,n=10.故选D.
3.对分类变量X与Y的随机变量的的观测值，下列说法正确的是( )
A.越大，“X与Y有关系”可信度越小 B.越小，“X与Y有关系” 可信度越小
C.越接近于0，“X与Y无关”程度越小 D.越大，“X与Y无关” 程度越大
【答案】B
【解析】有两个临界值：3.841与6.635.越接近于0，“X与Y无关”程度越大，C错误；越小，“X与Y有关系” 可信度越小，则B正确，A,D错误，故选B.
4.设函数f(x)的导函数是，若f(x)=，则=( )　　
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】f(x)=, ∴ ,
∴ , 即=0，
∴ , .故选A.　
5.已知二项式 的展开式的二项式系数之和为32,则展开式中含x2项的系数是 (　　 )
A.1 B. C. D.
【答案】C
【解析】由2n=32得n=5,Tr+1=·x5-rr=x5-3r,令5-3r=2,得r=1,故含x2项的系数为=.
故选C.
6.调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数 r= 0.8245，下列
说法正确的是 ( )
A.花瓣长度与花萼长度没有相关性 B. 花瓣长度与花萼长度呈现正相关
C.花瓣长度与花萼长度呈现负相关
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8425.
【答案】B.
【解析】由相关性图像可知，花瓣长度与花萼长度呈现正相关．故选B.
7.已知a>0,不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.[1,e] B.(0, ] C. (0,e] D. (,1]
【答案】C
【解析】由不等式恒成立，可知x>0, 即，
设 ,
则,令=0，得,
设,而h(x)在(0,+∞)上单调递减，且h(1)=0，
∴当x∈(0,1),h(x)>h(1)=0,即>0,则在（0,1）上单调递增；
当x∈（1，+∞），h(x)∴f(x)max=f(1)=,
∴,a≤e,即08.甲，乙，丙三人相互做传球训练，第一次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（ ）
A.3次传球后，球在甲手上的概率是 B.3次传球后，球在乙手上的概率是
C.2次传球后，球在丙手上的概率是 D.n次传球后，球在甲手上的概率是
【答案】A
【解析】第一次由甲传出，2次传球后结果有：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，4种结果，它们等可能的.2次传球后，球在丙手上的事件有：甲乙丙，1种结果，所以概率为，故C错误；
第一次由甲传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲丙，甲丙甲乙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8种结果，它们等可能的.3次传球后，球在乙手你上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3种结果，所以概率为，故B错误；
3次传球后，球在甲手你上的事件有：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2种结果，所以概率为，故A正确；
n次传球后，球在甲手上的事件记为An,An+1=An+1An+An+1,令pn=p(An),
则p(An+1|An)=0,p(An+1|)=,于是的p(An+1)=p(An)p(An+1|An)+p()p(An+1|)=pn×0+（1-pn），
故pn+1=（1-pn），则pn+1--),而第一次传球后，球不会在甲手里，即p1=0,则
p1- =,数列{}是首项是，公比是的等比数列，则,即,即D错误.故选A．
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有两个正确选项，每选对 一个得3分；若只有三个正确选项 ，每选对一个得2分.
9.下列说法正确的是（　　 ）
A．将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据的方差相同
B．线性回归直线一定过中心（，）
C．线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强
D．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合越好
【答案】ABD.
【解析】由方差的性质可知，将一组数据的每一个数减去同一个数后，新数据的方差与原数据的方差相同 ，则A正确；
由得，线性回归直线一定过中心（，），则B正确；
线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强，则C错误；
在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合越好，D显然正确；
故选ABD.
10.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后的亩收入的样本均值=2.1,样本方差=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,),则（ ）（若随机变量z服从正态分布,则)
A. B. C. D.
【答案】BC.
【解析】方法1：依题意可知=2.1，=0.01,所以Y-N(2.1,0.12),
,C正确，D错误.
对 X-N(1.8,0.12)， ，
因为,所以,
所以 ,A错误,B正确.
故选BC.
方法2：N(1.8,0.12)，N(2.1,0.12)，是概率曲线的对称轴，则
由题意得，由图的对称性可知BC正确.
11.若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A. bc>0 B. ab<0 C. b2+8ac>0 D. ac<0
【答案】BCD
【解析】函数的定义域为，求导得，
因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，
因此方程有两个不等的正根，
于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选BCD.
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.如图所示,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第　　　　行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3.
【答案】34
【解析】由杨辉三角知,第1行中的数是,;
第2行中的数是,,;
……
第n行中的数是,,,…,.
设第n行中从左到右第14个数与第15个数的比为2∶3,
则∶=2∶3,即3=2,
所以3·=2·,
所以n-13=21,所以n=34.
13.已知函数f(x)＝＋a在(0，＋∞)上的最小值为2e，则实数a的值为 .
【答案】e.
【解析】　f ′(x)＝，当x>0时，令f ′(x)>0，解得x>1，令f ′(x)<0，解得014.袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m﹣n＝　 　，E（ξ）＝　 　．
【答案】1；.
【解析】由题意，P（ξ＝2）＝，
又一红一黄的概率为，
所以，
解得m＝3，n＝2，故m﹣n＝1；
由题意，ξ的可能取值为0，1，2，
所以P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，
P（ξ＝2）＝，
所以E（ξ）＝0×+1×+2×＝．故答案为：1；．
四、解答题：本题共5道题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动．为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
⑴估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
⑵在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）
优秀 非优秀 合计
男 20
女 50
合计 100
参考公式及数据：，其中．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】⑴72；⑵详见解析.
【解析】⑴因为，
所以竞赛成绩的中位数在内．
设竞赛成绩的中位数为m，则，解得，
所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72．
⑵由⑴知，在抽取的100名学生中，
竞赛成绩为“优秀”的有：人，
由此可得完整的2×2列联表：
优秀 非优秀 合计
男 20 30 50
女 40 10 50
合计 60 40 100
因为的观测值，
所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．
16.已知函数f(x)=.
⑴当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
⑵若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
【答案】⑴；⑵(1，+∞).
【解析】⑴f(x)=,,
∴f(1)=,,
∴切线方程为，即
⑵,
①若a≤0,则恒大于0，即f(x)在R上单调递增，无极小值，舍去.
②当a>0时，f(x)在(-∞,lna)单调递减，在(lna,+∞)单调递增，则极小值为
,即,
令h(x)=,x∈(0,+∞),,则h(x)在(0,+∞)单调递减，∵h(1)=0，∴当x∈(0,1)时，h(x)>0;当x∈(1，+∞)时,h(x)<0.
则的解集为(1，+∞).
综上a的取值范围为(1，+∞).
17.某品牌汽车的4S店，对最近100份分期付款购车情况进行统计，统计情况如表所示.已知分9期付款的频率为0.4，该店销售一辆该品牌汽车，若顾客分3期付款，其利润为1万元；分6期或9期付款，其利润为2万元；分12期付款，其利润为3万元.
付款方式 分3期 分6期 分9期 分12期
频数 20 20 a b
⑴若以上表计算出的频率近似替代概率，从该店采用分期付款购车的顾客(数量较大)中随机抽取3位顾客，求事件A“至多有1位采用分6期付款”的概率P(A)；
⑵按分层抽样方式从这100位顾客中抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取3人，记该店在这3人身上赚取的总利润为随机变量，求的分布列．
【答案】⑴；⑵详见解析.
【解析】⑴由题意，a=100×0.4=40，b=100-20-20-40=20，
则表中分6期付款购车的频率为，所以.
⑵按分层抽样的方式抽取的5人中，有1人分3期付款，有3人分6期或9期付款，
有1人分12期付款.随机变量的可能取值是5，6，7，
则，，，
所以随机变量的分布列为
5 6 7
P 0.3 0.4 0.3
18.请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
①第项的系数与第项的系数之比是：；②第项与倒数第项的二项式系数之和为；③
已知在的展开式中，________.
⑴求展开式中二项式系数最大的项；
⑵求展开式中含的项.
【答案】⑴80天; ⑵.
【解析】由题意，可知，
方案一：选条件①，
⑴由题可知，
∴，
∴，
解得或舍去，
所以展开式共有项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第项，；
⑵由⑴知，
令，，，
所以展开式中含的项是第一项，为；
方案二：选条件②，
⑴由题可知，
整理得，解得或舍去，
所以展开式共有项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第项，；
⑵同方案一⑵；
方案三：选条件③，
⑴，
∴，
所以展开式共有项，其中二项式系数最大的项是第六项，
，
所以展开式中二项式系数最大的项是第项，；
⑵同方案一⑵
19.某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2023年6月，该市22个市级部门联合启动了2023年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分单位：分分成6组：[40,50),[50,60),…,[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
⑴求图中m的值；
⑵从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X，求随机变量X的分布列和期望．
【答案】⑴0.012；⑵存在，a=2.
【解析】⑴由(0.004×2+0.022+0.030+0.028+m)×10=1，解得m=0.012．
⑵由题意知不低于80分的队伍有50×(0.12+0.04)=8支，
不低于90分的队伍有50×0.04=2支． ，
随机变量X的可能取值为0,1,2.
∵，，，
∴X的分布列为
X 0 1 2
P
.
．
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