10.4线段的垂直平分线 自主提升训练（含答案）鲁教版（五四制）七年级数学下册

鲁教版（五四学制）七年级数学下册《10.4线段的垂直平分线》
自主提升训练题
一．选择题
1．如图，已知△ABC中，DE、FG分别是AB，AC边上的垂直平分线，∠BAC＝100°，AB＞AC，则∠EAG的度数是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，交AC于E，交BC于D，连接AD，AE＝4cm，则△ABC的周长与△ABD的周长差为（　　）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
3．如图，△ABC中，DE垂直平分边AC，若BC＝8，AB＝10，则△EBC的周长为（　　）
A．16 B．18 C．26 D．28
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，△ABC的周长为23，△ABD的周长为15，则AC的长是（　　）
A．6 B．8 C．12 D．16
二．填空题
5．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N；作直线MN分别交BC、AC于点D、点E，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为　 　．
6．如图所示，在△ABC中，BC＝12，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则△AEN的周长为　 　．
7．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的线段AB上所有点的纵坐标都是﹣1，横坐标x的取值范围是1≤x≤5，则线段AB上任意一点的坐标可以用“（x，﹣1）（1≤x≤5）”表示．若射线CD垂直平分AB于点C，那么按照类似这样的规定，射线CD上任意一点的坐标可以表示为　 　．
8．如图，在△ABC中，作边BC的垂直平分线，与线段AB交于点E（不与点A重合），请比较大小：AB　 　AC（用“＞”，“＝”或“＜”填空）
三．解答题
9．在△ABC中，AB＝AC，AB边的中垂线交AC于D，交AB于E
（1）请画出图形，指出图中所有相等的线段，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为16，△BCD的周长为10，求△ABC的三边长．
10．如图．△ABC中，∠B＝∠C，点P、Q、R分别在AB、BC、AC上，且PB＝QC，QB＝RC．
求证：点Q在PR的垂直平分线上．
11．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BE＝CF
（1）∠B＝70°，求∠CAD的大小；
（2）连接EF，求证：AD垂直平分EF．
12．已知：如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1、l2相交于点P．求证：点P在BC的垂直平分线上．
13．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE的周长为8cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．
14．如图，已知AB比AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
15．如图，MN是线段AD的垂直平分线，BD交MN于C，点E在MN上，连接AC、AE、BE．求证：AC+BC＜AE+BE．（提示：连接DE）
16．敌军基地在三条公路围成的三角区域内，我军一队战士在一条公路中点垂直射击，另一队战士在另一条公路中点垂直射击，均击中敌军基地，问第三队战士在公路何处垂直射击可击中目标？
17．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，已知AB+BD＝DC，
求证：E点在线段AC的垂直平分线上．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E，连接BD，若CD：DB＝3：5，求CD的长和△ABC的面积．
19．已知：如图，AB＝AE，BC＝ED，AF⊥CD且F是CD的中点，
求证：∠B＝∠E．
20．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA＝CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．
21．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．试探究△AEG的周长与BC的长度之间的数量关系，并说明理由．
22．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝20，DE垂直平分AB．
（1）若△BCE的周长为35，求BC的长；
（2）若BC＝13，求△BCE的周长．
23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规作BC的垂直平分线l，交斜边AB于点O．
（1）猜想：点O是AB的什么特殊点？证明你的猜想；
（2）点O在AC的垂直平分线上吗？说明理由；
（3）结合（1）（2），你有何发现？
参考答案
一．选择题
1．解：∵BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝80°，
∵DE是AB边上的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B，
同理，∠GAC＝∠C，
∴∠DAB+∠GAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠DAG＝∠BAC﹣（∠DAB+∠GAC）＝20°，
故选：B．
2．解：∵DE垂直平分边AC，AE＝4cm，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABC的周长＝AB+AC+BC，
∵△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+BC，
∴△ABC的周长与△ABD的周长差AC＝8cm．
故选：D．
3．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18，
故选：B．
4．解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E、D两点，
∴AD＝CD，
∵△ABC的周长为23，△ABD的周长为15，
∴AB+AC+BC＝23，AB+BD+AD＝15，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝15，
∴AC＝23﹣15＝8，
故选：B．
二．填空题
5．解：由尺规作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC＝13，
则△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19（cm），
故答案为：19cm．
6．解：∵EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴△AEN的周长＝AE+EN+NA＝BE+EN+NC＝BC＝12，
故答案为：12．
7．解：∵点A的坐标为（1，﹣1），点B的坐标为（5，﹣1），C是AB的中点，
∴点C的坐标为（3，﹣1），
∴线CD上任意一点的坐标可以表示为：（3，y）（y≥﹣1），
故答案为：（3，y）（y≥﹣1）．
8．解：连接EC，
∵ED是边BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
在△AEC中，AE+EC＞AC，
∴AE+EB＞AC，即AB＞AC，
故答案为：＞．
三．解答题
9．解：（1）∵DE是AB边的中垂线，
∴DA＝DB，AE＝BE；
（2）△BCD的周长＝BC+CD+DB＝BC+AC＝10，
△ABC的周长＝BC+AC+AB＝16，
∴AB＝6，
则AC＝AB＝6，BC＝4．
10．证明：连接PQ，
在△BQP和△CRQ中，
，
∴△BQP≌△CRQ，
∴QP＝QR，
∴点Q在PR的垂直平分线上．
11．（1）解：∵D是BC的中点，
∴DB＝DC，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）
∴DE＝DF，∠C＝∠B＝70°，
∴∠BAC＝40°，
∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠CAD＝∠BAC＝20°；
（2）证明：∵∠C＝∠B，
∴AB＝AC，
∵BE＝CF，
∴AE＝AF，又DE＝DF，
∴AD垂直平分EF．
12．证明：连接PA、PB、PC，
∵l1是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
∵l2是AC的垂直平分线，
∴PA＝PC，
∴PB＝PC，
∴点P在BC的垂直平分线上．
13．解：（1）∵DO、EO分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC，
∵△ADE的周长为8cm，
即AD+DE+AE＝8cm，
∴BC＝8cm；
（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴OA＝OC＝OB，
∵△OBC的周长为18cm，
即OC+OB+BC＝18cm，
∴OC+OB＝18﹣8＝10cm，
∴OC＝5cm，
∴OA＝OC＝OB＝5cm．
14．解：BC的垂直平分线交AB于点D，
∴DB＝DC，
∵△ACD的周长是14，
∴AD+AC+CD＝14，即AC+AB＝14，
则，
解得，AB＝8cm，AC＝6cm．
15．证明：∵MN是线段AD的垂直平分线，
∴CA＝CD，EA＝ED，
在△BDE中，
DB＜ED+BE，
即AC+BC＜AE+BE．
16．解：第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，
∵一队战士在一条公路中点垂直射击，
∴敌军基地到这条公路与另两条公路交点的距离相等，
同理，敌军基地到第二条公路与另两条公路交点的距离相等，
∴敌军基地在第三条公路与另两条公路交点之间公路的垂直平分线上，
∴第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标．
17．证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，
又∵BD＝DE，
∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，
∴AB＝AE，
∴AB+BD＝AE+DE，
又∵AB+BD＝DC，
∴DC＝AE+DE，
∴DE+EC＝AE+DE
∴EC＝AE，
∴点E在线段AC的垂直平分线上．
18．解：∵CD：DB＝3：5，
∴设DC＝3x，BD＝5x，
又∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝DB＝5x，
又∵AC＝16cm，
∴3x+5x＝16，
解得，x＝2，
∴CD＝6cm，DB＝10cm，
在Rt△BDC中，CD＝6cm，DB＝10cm，
∴△ABC的面积＝．
答：CD的长为6cm，△ABC的面积为64cm2．
19．证明：连接AC，AD，
∵AF⊥CD，F为CD的中点，
∴AC＝AD，
在△ABC和△AED中
，
∴△ABC≌△AED，
∴∠B＝∠E．
20．解：PA＞PB．理由如下：
如图，连接PA，与直线l交于点C；连接PB、BC．
因为直线l是线段AB的垂直平分线，
所以CA＝CB；
因为三角形任意两边之和大于第三边，所以PC+CB＞PB；
所以PC+CA＞PB，即PA＞PB．
21．解：△AEG的周长等于BC的长度，理由如下：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB．
∵FG是AC的垂直平分线，
∴GA＝GC．
∴△AEG周长＝AE+EG+AG＝BE+EG+CG＝BC．
22．解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝35，AB＝AC＝20，
∴BC＝15；
（2）△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+EA＝BC+AC＝33．
23．解：（1）点O是AB的中点，
证明：∵OE是线段AB的垂直平分线，
∴OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠OCB+∠OCA＝90°，∠OBC+∠A＝90°，
∴∠OCA＝∠A，
∴OA＝OC，又OC＝OB，
∴OA＝OB，
∴点O是AB的中点；
（2）∵OA＝OC，
∴点O在AC的垂直平分线上；
（3）结合（1）（2）可知，直角三角形三边的垂直平分线相交于斜边的中点．