四川成华区某校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·成华期中）等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．18 B．24 C．27 D．54
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为等差数列满足，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质求解即可.
2．（2024高二下·成华期中）已知函数，则在（ ）
A．上单调递增 B．处有最小值
C．上有三个零点 D．上单调递增
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，；
A、由上述分析可知函数在不单调，故A错误；
B、由上述分析可知函数在处取得极大值，故B错误；
C、，因为函数在单调递增，
所以在有一个零点，又因为，所以函数在没有零点，
综上所述，在上只有一个零点，故C错误；
D、由上述分析可知函数在单调递增，故D正确.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数研究其单调性，最值和零点即可.
3．（2024高二下·成华期中）已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：曲线，则，故，
因为，所以，，故，
所以.
故答案为：A.
【分析】求导，利用导数的几何意义，斜率和切点建立方程求解即可.
4．（2024高二下·成华期中）现有4名大学生利用假期去3个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先将4名大学生，分为三组，有2人一组，则有种不同的分法，
再将3组分配到3个山村，有种不同的分配方案.
故答案为：C.
【分析】先将4名大学生，分为三组，再分配到三个山村，结合排列求解即可.
5．（2024高二下·成华期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增.
因为，所以是偶函数.
由，可得，
于是，即，
化简得，解得，即.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
6．（2024高二下·成华期中）已知等差数列的前项和为，若，，记数列的前项和为，若对都有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，所以，
则，即，
故数列的前项和为
，
又因为，可得，
因为对都有恒成立，所以，所以实数的最小值为.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，求得，利用等差数列的求和公式求得，结合裂项法求和，求得，得到求解即可.
7．（2024高二下·成华期中）已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令定义域为，则，
显然，即在上单调递增，
而，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以，故A错误；
易知，则，故C正确；
且，故B错误；
由于与大小不确定，则的大小不能确定，即大小不确定，
如其中有时，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】构造函数，求导利用导数判断函数的单调性逐项分析判断即可.
8．（2024高二下·成华期中）已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则，解得，，解得，
则，令，则，
当时，解得，函数单调递增；
当时，解得，函数单调递减，则，
故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】设，用t表示，令求导利用导数判断其单调性求最小值即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·成华期中）下列语句叙述正确的有（ ）
A．数列成等差数列的充要条件是
B．若数列满足：，，则
C．等差数列中，是其前项和，，，则是一个公差为的等差数列
D．公差非零的等差数列的前项和为，若，，则使成立的的最小值为6
【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：A、数列成等差数列，但通项公式不一定是，故A错误；
B、因为，所以，又因为，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，即，故B正确；
C、设等差数列公差为d，因为，，所以，，解得，
所以，所以，所以，数列即是一个公差为的等差数列，故C正确；
D、设等差数列公差为d，因为，，
所以，，所以，
所以，则，解得，所以使成立的的最小值为7，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据充分条件，必要条件定义即可判断A；将构造等比数列，即可求得数列的通项公式即可判断B；将已知条件转化为关于的两个方程，组成方程组，解方程组可得，用前项和公式可以求得，从而求得通项公式即可判断C；用C选项中相同的方法，求得和，代入不等式，得到关于n的不等式，解不等式即可判断D.
10．（2024高二下·成华期中）已知函数在上可导，且的导函数为，下列说法正确的是（ ）
A．若对恒成立，则有
B．若对恒成立，则有
C．若对恒成立，则有
D．若对恒成立，这有
【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、若对恒成立，设，则恒成立，
故在上单调递增，，即，故A错误；
B、，对恒成立，设，则恒成立，故在上单调递减，
所以，即，故B正确；
C、若，则对任意恒成立，所以在上单调递增，则有，即，即，故C正确；
D、对恒成立，设，则恒成立，故在上单调递减，
所以，即，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】由题意，分别构造函数，，，，求导利用导数判断函数的单调性判断即可.
11．（2024高二下·成华期中）已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．方程有三个实根
B．方程有四个实根
C．，方程有四个实根
D．，方程有两个实根
【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由且，有①，或都不满足方程①，
时，方程①有一个实数根，
时，，或时，方程①有两个实数根，
或时，方程①有一个实数根，时，方程①没有实数根，
A、令，解得或，
时，方程有一个实数根，时，方程有两个实数根，所以有三个实数根，故A正确；
B、即，解得或，
而时，方程没有实数根，时，方程有两个实数根，所以有两个实数根，故B错误；
C、时，对应有两个值，，与、、比大小，
求得或，每一个的值都对应两个实数根，所以，方程有四个实根，故C正确；
D、，有两个值，不妨让对应的值一个在，一个在，的值其中一个取时，
则或，此时方程有两个实数根，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将看成x的方程，求出其根的情况，再根据每个选项得到需要满足的条件，分析判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·成华期中）某圆柱的侧面展开图的周长为12cm，若其体积最大时，圆柱的高为 cm.
【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，则，，
圆柱的体积，
，令，解得（舍）或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，体积取得最大值，此时，故圆柱的高为2.
故答案为：2.
【分析】根据题意条件圆柱的体积，将体积转化为底面半径的函数，再利用导数求函数的最大值时，对应的底面半径，以及圆柱的高.
13．（2024高二下·成华期中）已知等差数列满足，为其前项和，若，，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，，
故，
由，得，即，当时，不等式恒成立，
当时，，
设，，在区间恒成立，所以在区间单调递增，
则，当单调递增，当时，取得最小值，
即，所以的最大值为，综上所述，的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意求等差数列的前项和，再将不等式参变分离，，转化为求函数的最值，求导利用导数判断函数的单调性求解即可.
14．（2024高二下·成华期中）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式变形可得，即，即，
设函数，，故在上单调递增，
而，即，则，，即存在，使，即，
设，，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】不等式变形为，构造函数，结合函数的单调性，转化为，，参变分离，转化为函数的最值问题求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共7分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·成华期中）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的单调区间和最小值.
【答案】（1）解：当时，定义域为，则，
故，，
故切线方程为，即.
（2）解：函数，则且，
当时，，的增区间为，；
当时，若时，，若时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，，所以的减区间为，，
综上所述：当时，的增区间为，；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，的减区间为，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，求斜率根据点斜式求解切线方程即可；
（2）求导，分，和讨论函数的单调性求最小值即可.
16．（2024高二下·成华期中）已知抛物线：过点，点B为直线上的动点，过点B向曲线C引两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明理由.
【答案】解：易知，设，，
抛物线，，则，故：
因为在直线上，所以，
整理有：同理
所以，为的两根，由韦达定理可得，
因为，的中点，
所以即，
故直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】易知抛物线的方程，求导求得斜率，根据点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元由韦达定理可得，再根据两点斜率公式以及中点坐标公式，结合直线方程化简即可判断直线是否过定点.
17．（2024高二下·成华期中）三棱锥中，，，，.
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）点为棱（不含端点）上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
【答案】（1）解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
，，，
设面的法向量为， 则，
令，则，面的法向量为，
设面的法向量为，则，
令，则，面的法向量为
设平面和平面所成角为，.
（2）解： 设，则，
则，设直线与平面所成角为，则，
令，故.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求两平面的夹角即可；
（2）设，直线与平面所成角为，利用空间向量法求线面角的正弦值即可.
18．（2024高二下·成华期中）数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围；
（3）求数列的前项和.
【答案】（1）解：设，所以，，
即，
因为，所以，所以；
又因为，所以，
作差得，化简得，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）解：，，
因为，所以，，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（3）解：因为，
所以，
所以
作差得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由递推公式求解数列的通项公式即可；
（2）根据等比数列的求和公式先求，再根据不等式列出关于的不等式组求解即可；
（3）由（1）的结论，利用错位相减法求和即可.
19．（2024高二下·成华期中）函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）当时，有恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：，.
【答案】（1）解：当时，定义域为，，
令，则，故在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，无极大值.
（2）解：设，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故，
当，单调递增；
当，单调递减，
所以，故，
由题意，由于，
当且仅当等号成立，则，所以，即实数的取值范围为.
（3）证明：由（2）知时，恒成立，即，所以，当且仅当等号成立，
令，，所以，
所以
，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性并求解极值即可；
（2）分离参数后证明成立求解即可；
（3）由（2）得，令得，求和化简证明即可.
1 / 1四川成华区某校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高二下·成华期中）等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．18 B．24 C．27 D．54
2．（2024高二下·成华期中）已知函数，则在（ ）
A．上单调递增 B．处有最小值
C．上有三个零点 D．上单调递增
3．（2024高二下·成华期中）已知直线与曲线相切于点，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·成华期中）现有4名大学生利用假期去3个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
5．（2024高二下·成华期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·成华期中）已知等差数列的前项和为，若，，记数列的前项和为，若对都有恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2024高二下·成华期中）已知，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·成华期中）已知函数，，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2024高二下·成华期中）下列语句叙述正确的有（ ）
A．数列成等差数列的充要条件是
B．若数列满足：，，则
C．等差数列中，是其前项和，，，则是一个公差为的等差数列
D．公差非零的等差数列的前项和为，若，，则使成立的的最小值为6
10．（2024高二下·成华期中）已知函数在上可导，且的导函数为，下列说法正确的是（ ）
A．若对恒成立，则有
B．若对恒成立，则有
C．若对恒成立，则有
D．若对恒成立，这有
11．（2024高二下·成华期中）已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．方程有三个实根
B．方程有四个实根
C．，方程有四个实根
D．，方程有两个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高二下·成华期中）某圆柱的侧面展开图的周长为12cm，若其体积最大时，圆柱的高为 cm.
13．（2024高二下·成华期中）已知等差数列满足，为其前项和，若，，则的最大值为 .
14．（2024高二下·成华期中）关于的不等式有解，则实数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共7分分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2024高二下·成华期中）已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的单调区间和最小值.
16．（2024高二下·成华期中）已知抛物线：过点，点B为直线上的动点，过点B向曲线C引两条切线，切点分别为，，判断直线是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标，否则说明理由.
17．（2024高二下·成华期中）三棱锥中，，，，.
（1）求平面和平面夹角的余弦值；
（2）点为棱（不含端点）上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
18．（2024高二下·成华期中）数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围；
（3）求数列的前项和.
19．（2024高二下·成华期中）函数.
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）当时，有恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：，.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为等差数列满足，所以.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质求解即可.
2．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，；
A、由上述分析可知函数在不单调，故A错误；
B、由上述分析可知函数在处取得极大值，故B错误；
C、，因为函数在单调递增，
所以在有一个零点，又因为，所以函数在没有零点，
综上所述，在上只有一个零点，故C错误；
D、由上述分析可知函数在单调递增，故D正确.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数研究其单调性，最值和零点即可.
3．【答案】A
【知识点】导数的几何意义
【解析】【解答】解：曲线，则，故，
因为，所以，，故，
所以.
故答案为：A.
【分析】求导，利用导数的几何意义，斜率和切点建立方程求解即可.
4．【答案】C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先将4名大学生，分为三组，有2人一组，则有种不同的分法，
再将3组分配到3个山村，有种不同的分配方案.
故答案为：C.
【分析】先将4名大学生，分为三组，再分配到三个山村，结合排列求解即可.
5．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为R，
，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增.
因为，所以是偶函数.
由，可得，
于是，即，
化简得，解得，即.
故答案为：D.
【分析】求导，利用导数判断函数的单调性和奇偶性，从而由函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
6．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合；数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，所以，
则，即，
故数列的前项和为
，
又因为，可得，
因为对都有恒成立，所以，所以实数的最小值为.
故答案为：B.
【分析】设等差数列的公差为，求得，利用等差数列的求和公式求得，结合裂项法求和，求得，得到求解即可.
7．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令定义域为，则，
显然，即在上单调递增，
而，，即在上单调递减，在上单调递增，
所以，故A错误；
易知，则，故C正确；
且，故B错误；
由于与大小不确定，则的大小不能确定，即大小不确定，
如其中有时，，故D错误.
故答案为：C.
【分析】构造函数，求导利用导数判断函数的单调性逐项分析判断即可.
8．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，则，解得，，解得，
则，令，则，
当时，解得，函数单调递增；
当时，解得，函数单调递减，则，
故的最小值为.
故答案为：A.
【分析】设，用t表示，令求导利用导数判断其单调性求最小值即可.
9．【答案】B,C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列的递推公式
【解析】【解答】解：A、数列成等差数列，但通项公式不一定是，故A错误；
B、因为，所以，又因为，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以，即，故B正确；
C、设等差数列公差为d，因为，，所以，，解得，
所以，所以，所以，数列即是一个公差为的等差数列，故C正确；
D、设等差数列公差为d，因为，，
所以，，所以，
所以，则，解得，所以使成立的的最小值为7，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据充分条件，必要条件定义即可判断A；将构造等比数列，即可求得数列的通项公式即可判断B；将已知条件转化为关于的两个方程，组成方程组，解方程组可得，用前项和公式可以求得，从而求得通项公式即可判断C；用C选项中相同的方法，求得和，代入不等式，得到关于n的不等式，解不等式即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：A、若对恒成立，设，则恒成立，
故在上单调递增，，即，故A错误；
B、，对恒成立，设，则恒成立，故在上单调递减，
所以，即，故B正确；
C、若，则对任意恒成立，所以在上单调递增，则有，即，即，故C正确；
D、对恒成立，设，则恒成立，故在上单调递减，
所以，即，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】由题意，分别构造函数，，，，求导利用导数判断函数的单调性判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由且，有①，或都不满足方程①，
时，方程①有一个实数根，
时，，或时，方程①有两个实数根，
或时，方程①有一个实数根，时，方程①没有实数根，
A、令，解得或，
时，方程有一个实数根，时，方程有两个实数根，所以有三个实数根，故A正确；
B、即，解得或，
而时，方程没有实数根，时，方程有两个实数根，所以有两个实数根，故B错误；
C、时，对应有两个值，，与、、比大小，
求得或，每一个的值都对应两个实数根，所以，方程有四个实根，故C正确；
D、，有两个值，不妨让对应的值一个在，一个在，的值其中一个取时，
则或，此时方程有两个实数根，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将看成x的方程，求出其根的情况，再根据每个选项得到需要满足的条件，分析判断即可.
12．【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为，母线长为，则，，
圆柱的体积，
，令，解得（舍）或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，体积取得最大值，此时，故圆柱的高为2.
故答案为：2.
【分析】根据题意条件圆柱的体积，将体积转化为底面半径的函数，再利用导数求函数的最大值时，对应的底面半径，以及圆柱的高.
13．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差数列的前n项和；等差数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的首项为，公差为，因为，所以，解得，，
故，
由，得，即，当时，不等式恒成立，
当时，，
设，，在区间恒成立，所以在区间单调递增，
则，当单调递增，当时，取得最小值，
即，所以的最大值为，综上所述，的最大值为.
故答案为：.
【分析】根据题意求等差数列的前项和，再将不等式参变分离，，转化为求函数的最值，求导利用导数判断函数的单调性求解即可.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：不等式变形可得，即，即，
设函数，，故在上单调递增，
而，即，则，，即存在，使，即，
设，，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，即，即实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】不等式变形为，构造函数，结合函数的单调性，转化为，，参变分离，转化为函数的最值问题求解即可.
15．【答案】（1）解：当时，定义域为，则，
故，，
故切线方程为，即.
（2）解：函数，则且，
当时，，的增区间为，；
当时，若时，，若时，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，，所以的减区间为，，
综上所述：当时，的增区间为，；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，；
当时，的减区间为，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，求斜率根据点斜式求解切线方程即可；
（2）求导，分，和讨论函数的单调性求最小值即可.
16．【答案】解：易知，设，，
抛物线，，则，故：
因为在直线上，所以，
整理有：同理
所以，为的两根，由韦达定理可得，
因为，的中点，
所以即，
故直线过定点.
【知识点】恒过定点的直线；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】易知抛物线的方程，求导求得斜率，根据点斜式求得直线的方程，联立直线与抛物线方程，消元由韦达定理可得，再根据两点斜率公式以及中点坐标公式，结合直线方程化简即可判断直线是否过定点.
17．【答案】（1）解：以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则，，，，
，，，
设面的法向量为， 则，
令，则，面的法向量为，
设面的法向量为，则，
令，则，面的法向量为
设平面和平面所成角为，.
（2）解： 设，则，
则，设直线与平面所成角为，则，
令，故.
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求两平面的夹角即可；
（2）设，直线与平面所成角为，利用空间向量法求线面角的正弦值即可.
18．【答案】（1）解：设，所以，，
即，
因为，所以，所以；
又因为，所以，
作差得，化简得，
所以是首项为，公比为的等比数列，所以.
（2）解：，，
因为，所以，，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（3）解：因为，
所以，
所以
作差得，
所以.
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和；数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由递推公式求解数列的通项公式即可；
（2）根据等比数列的求和公式先求，再根据不等式列出关于的不等式组求解即可；
（3）由（1）的结论，利用错位相减法求和即可.
19．【答案】（1）解：当时，定义域为，，
令，则，故在上单调递增，
又因为，所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，无极大值.
（2）解：设，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，故，
当，单调递增；
当，单调递减，
所以，故，
由题意，由于，
当且仅当等号成立，则，所以，即实数的取值范围为.
（3）证明：由（2）知时，恒成立，即，所以，当且仅当等号成立，
令，，所以，
所以
，.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性并求解极值即可；
（2）分离参数后证明成立求解即可；
（3）由（2）得，令得，求和化简证明即可.
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