2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--专题强化练5　向量基本定理与坐标运算（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
专题强化练5　向量基本定理与坐标运算
1.(2022湖南衡阳期末)已知a,b是两个不共线的向量,=λa+μb,=3a-2b,=2a+3b.若A,B,C三点共线,则实数λ,μ满足(　　)
A.λ=μ-1　　　　B.λ=μ+5
C.λ=5-μ　　　　D.μ=13-5λ
2.(多选题)(2022湖北部分示范高中期中)如图所示,在△ABC中,点D在边BC上,且CD=2DB,点E在AD上,且AD=3AE,则(　　)
A.
C.
3.(2022河北唐山期中)在△ABC中,点P在边BC上,且BP=2PC,过点P的直线l与射线AB,AC分别交于不同的两点M,N,若AB=mAM,AC=nAN,则下列关系式成立的是(　　)
A.3m+n=4　　　　B.m+3n=4
C.2m+n=3　　　　D.m+2n=3
4.在梯形ABCD中,,P为线段DE上的动点(包括端点),若(λ,μ∈R),则λ2+μ的最小值为(　　)
A.
5.(2024安徽亳州期中)在△ABC中,,AM与CN交于点P,且(x,y∈R),则x+y=(　　)
A.　　　　D.1
6.地砖是一种地面装饰材料,也叫地板砖,用黏土烧制而成,质坚、耐压耐磨、防潮.地砖品种非常多,图案也多种多样.某公司大厅的地砖铺设方式如图所示,地砖有正方形与正三角形两种,且它们的边长都相等,若=a,=b,则=(　　)
A.-a-b　　　　B.-a-b
C.-a+b　　　　D.-a-b
7.(多选题)(2022山东菏泽郓城第一中学)若O为坐标原点,|=p+1,则m+p的值可能是　　(　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.6
8.如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若=ma+nb,则m+n=　　　　.
9.已知a,b是两个不共线的非零向量,且a与b的始点相同,若向量a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,则实数t的值为　　　　.
10.设P为△ABC所在平面内一点,且满足(m>0).若△ABP的面积为2,则△ABC的面积为　　　　.
11.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求||的最小值.
12.(2024广东广州期末)已知向量=(-3,-1),点A(-1,-2).
(1)求线段BD的中点M的坐标;
(2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线,求y的值.
13.(2022山东菏泽期中)如图所示,在△ABO中,,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用向量a,b表示;
(2)在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过点M,设,其中λ,μ∈R且均不为0,证明:为定值,并求出该定值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5　向量基本定理与坐标运算
1.D 2.ABD 3.D 4.A 5.B 6.D 7.CD
1.D　=(λa+μb)-(3a-2b)=(λ-3)a+(μ+2)b,=(2a+3b)-(3a-2b)=-a+5b,
因为A,B,C三点共线,所以共线,故存在实数m使,即(λ-3)a+(μ+2)b=-ma+5mb,又a,b不共线,所以可得μ=13-5λ.
2.ABD　由题可得,
∴,
∴.
3.D　由题意知,,
又,故,由P,M,N三点共线,可得n=1,即m+2n=3.
4.A　如图.由题可设(0≤m≤1),
则,
又所以λ=1-m,
所以λ2+μ=(0≤m≤1),
所以当m=时,λ2+μ取得最小值,为.
5.B　因为,所以N为AB的中点,
则,
因为C,P,N三点共线,所以2x+y=1,
又因为A,P,M三点共线,所以,
则存在实数k,使得,即x,
则所以x=3y,联立
所以x+y=.
6.D　如图,取AB的中点O,以O为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
设AB=2,则P(0,),
所以).
设(λ,μ∈R),
则
所以,
即a-b.故选D.
7.CD　由题意得.
由
①+②,整理得2(m+p)=+30.
令t=n+,则n2+=t2-8,且t∈(-∞,-4]∪[4,+∞),所以2(m+p)=t2-8t+22=(t-4)2+6≥6,当且仅当t=4时,等号成立,从而m+p≥3.故选CD.
8.答案　
解析　由题意得.
∵=a,
=b,
∴a+b.
又=ma+nb,∴m=.
9.答案　
解析　因为向量a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上,且a与b的始点相同,所以a-tb与a-(a+b)共线,即a-tb与a-b共线,所以存在实数λ,使a-tb=λ,所以即t=时,向量a,tb,(a+b)的终点在同一条直线上.
10.答案　3
解析　由,可得.
令,则,H,A,C三点共线,且,则PH∥AB,
所以S△ABC=S△ABP=3.
11.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,
设DC=h,则A(2,0),B(1,h).
设P(0,y)(0≤y≤h),
则=(1,h-y),
则=(5,3h-4y),
所以|=5,当且仅当3h=4y,即DP=DC时,等号成立,故||的最小值为5.
12.解析　(1)设B(x1,y1),∵=(4,3),A(-1,-2),
∴(x1+1,y1+2)=(4,3),∴
∴B(3,1),同理可得D(-4,-3),
设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),
则x2=.
(2)=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),
∵P,B,D三点共线,∴,∴-4+7×(1-y)=0,解得y=.
13.解析　(1)设=ma+nb(m,n∈R).
因为A,D,M三点共线,所以存在实数α(α≠-1)使得,即),
于是.
又,
所以a+b,
所以故m+2n=1.①
因为B,C,M三点共线,所以存在实数β(β≠-1)使得,即),
于是.
又,
所以a+b,
所以故3m+n=1.②
由①②可得m=,所以a+b.
(2)因为E,M,F三点共线,所以存在实数η(η≠-1)使得,即),于是.
又,所以a+b,
由(1)知a+b,
所以a+b=a+b,则
消去η,得=5.故为定值,该定值为5.
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