2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--4.2.2 对数运算法则
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--4.2.2 对数运算法则 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 293.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-19 19:48:30 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第二册
4.2.2 对数运算法则
基础过关练
题组一 对数的运算法则
1.若a>0且a≠1,x>0,n∈N+,给出下列各式:
①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;
③logax=-logalogax;
⑤.
其中正确的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.(2024广东深圳期中)已知m>0,n>0,ln 22m+ln 2n=ln 2,则2m+n的值是( )
A.2 B.1 C.ln 2 D.-1
3.(2024重庆市实验中学期中)若lg a,lg b是方程2x2+4x+1=0的两个根,则=( )
A.4 B.2 C.
4.(2023天津耀华中学月考)计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
题组二 换底公式
5.(2022山东菏泽期末)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡儿开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数间的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数.若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
A.1.322 B.1.410
C.1.507 D.1.669
6.(2022山东威海期末)若2a=5b=10,则=( )
A.2 B.4 C.5 D.10
7.(2024天津南开中学期末)计算:loga2+loga0.5-log225×log34×log59= .
8.已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,loga2=logb3=π,则log3a·log2b= .
题组三 对数运算的简单应用
9.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的一元二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
10.(2024江西赣州期中)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k是正实数).若经过10 h过滤后消除了20%的污染物,则污染物减少50%大约需要(参考数据:log25≈2.322)( )
A.30 h B.31 h
C.32 h D.33 h
11.(2024江苏泰州期中)1859年,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某给定值的素数的个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈的结论.根据欧拉得出的结论,估计104以内的素数的个数为(素数即质数,lg e≈0.434,其中e=2.718 28…)( )
A.1 085 B.2 085
C.2 869 D.8 686
能力提升练
题组一 对数运算法则的应用
1.若x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,log(xyz)m=12,则logzm的值为( )
A.
2.(2024江苏徐州期中)设a=lg 6,b=lg 20,则log43=( )
A.
3.若x,y,z是正实数,且2x=3y=5z,则( )
A.3x>4y>6z B.3x>6z>4y
C.4y>6z>3x D.6z>4y>3x
4.(2024福建厦门期中)= .
5.(2024重庆一中期末)设p>0,q>0,满足log2p=log4q=log8(2p+q),则= .
6.(2023江苏常州十校调研)若b>a>1且3logab+6logba=11,则a3+的最小值为 .
7.设方程log(3x)3+log27(3x)=-的两个根分别为a和b,则a+b的值为 .
8.(2024江苏南通期中)
(1)计算的值;
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求的值.
题组二 对数运算的综合应用
9.(2024辽宁丹东期中)血氧饱和度是指血液中被氧气结合的血红蛋白占总血红蛋白的百分比,即血液中血氧的浓度,它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般不低于95%,95%以下为供氧不足.在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)(单位:%)随给氧时间t(单位:h)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60,给氧1 h后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到正常值,则给氧时间至少还需要约(取ln 2=0.69,ln 3=1.10,ln 19=2.94) ( )
A.0.54 h B.0.64 h
C.0.74 h D.0.84 h
10.(1)甲、乙两人同时解关于x的方程log3x-blogx3+c=0,甲写错了常数b,得两根为3,,乙写错了常数c,得两根为,81,求这个方程的根;
(2)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,称为位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 020的位数.(参考数据:lg 2 019≈3.305)
答案与分层梯度式解析
4.2.2 对数运算法则
基础过关练
1.A 2.B 3.B 5.A 6.C 9.B 10.B 11.A
1.A 根据对数的运算法则logaMα=αlogaM(M>0,a>0且a≠1)知③与⑤正确.
2.B 由ln 22m+ln 2n=ln(22m×2n)=ln 22m+n=ln 2(m>0,n>0),得2m+n=1.
3.B 由题意可知,lg a+lg b=-2,lg a·lg b=,
所以=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=4-4×=2.
4.答案 3
解析 原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 5×lg 2+(lg 2)2=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
5.A ∵2x=≈1.322.
6.C ∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510.
∴=5.
7.答案 -8
解析 原式=loga(2×0.5)-log252×log322×log532
=loga1-8log25×log32×log53=-8×=-8.
8.答案
解析 由题意得log3a·log2b=.
9.B 由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,所以lg =0,所以=1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.
10.B 由题意,知经过10 h过滤后还剩余80%的污染物,则0.8P0=P0e-10k,解得e10k=,
设污染物减少50%大约需要t h,则0.5P0=P0e-kt,即ekt=2,则(e10k)t=210,即=210,
两边取对数得tlog2=10,因此t=≈31,所以污染物减少50%大约需要31 h.
11.A 由题可知104以内的素数的个数为π(104)≈=2 500lg e≈2 500×0.434=1 085,
故选A.
能力提升练
1.B 2.C 3.B 9.B
1.B 依题意得logmx=,
logm(xyz)= logmx+logmy+logmz=.
∴logmz=.
∴logzm=60,故选B.
2.C 由a=lg 6,b=lg 20,可得a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=lg 10+lg 2=1+
lg 2,
联立所以log43=.
3.B 令2x=3y=5z=t,t>1,
则x=log2t=,
∴3x-6z=3>0,
即3x>6z;
6z-4y=2>0,
即6z>4y.
∴3x>6z>4y.
故选B.
4.答案 8
解析 原式=+log62+log63=7+1=8.
5.答案
解析 由log2p=log4q可知log2p=,即p=,
由log2p=log8(2p+q)可知log2p=,即p=,
消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),
当p=2时,q=4,所以.
6.答案 2+1
解析 ∵3logab+6logba=11,即3logab+-11=0,
∴3(logab)2-11logab+6=0,即(3logab-2)(logab-3)=0,∴logab=或logab=3,
又 b>a>1,∴logab>1,∴logab=3,∴a3=b,
∴a3++1≥2+1,当且仅当(b-1)2=2,即b=1+时取等号.
∴a3+的最小值为2+1.
7.答案
解析 利用对数的换底公式把方程log(3x)3+log27(3x)=-,即,
∴(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,
∴1+log3x=-1或1+log3x=-3,
∴log3x=-2或log3x=-4,
∴x=或x=.
8.解析 (1)原式=.
(2)令3x=4y=6z=a,则a>0,
所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以.
9.B 当t=1时,S(1)=60eK=80,得K=ln=ln 8-ln 6,
令S(t)=S0eKt≥95,即60eKt≥95,化简得Kt≥ln =ln 19-ln 12,
所以t≥≈1.64.
因为已经给氧1 h,所以给氧时间至少还需要约0.64 h.
10.解析 (1)由题意可得(log3x)2+clog3x-b=0,
所以log33+log3=-1=-c,即c=1;
log381×log3=-12=-b,即b=12.
所以原方程为(log3x)2+log3x-12=0,
所以log3x=-4或log3x=3,
所以x=或x=27,故这个方程的根为27或.
(2)解法一:设10k<2 0192 020<10k+1,k∈N+,
两边取常用对数,得k因此k<2 020lg 2 019又lg 2 019≈3.305,
所以k<2 020×3.305解得6 675.1又k∈N+,所以k=6 676,
故2 0192 020的位数为6 677.
解法二:设2 0192 020=N,则2 020lg 2 019=lg N,
又lg 2 019≈3.305,
所以lg N=2 020×3.305=6 676.1,
因此N=106 676.1=100.1×106 676,
又1<100.1<10,所以N的位数为6 677,
即2 0192 020的位数为6 677.
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4.2.2 对数运算法则
基础过关练
题组一 对数的运算法则
1.若a>0且a≠1,x>0,n∈N+,给出下列各式:
①(logax)n=nlogax;②(logax)n=logaxn;
③logax=-logalogax;
⑤.
其中正确的有( )
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
2.(2024广东深圳期中)已知m>0,n>0,ln 22m+ln 2n=ln 2,则2m+n的值是( )
A.2 B.1 C.ln 2 D.-1
3.(2024重庆市实验中学期中)若lg a,lg b是方程2x2+4x+1=0的两个根,则=( )
A.4 B.2 C.
4.(2023天津耀华中学月考)计算:lg 52+lg 8+lg 5×lg 20+(lg 2)2= .
题组二 换底公式
5.(2022山东菏泽期末)1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数;1637年笛卡儿开始使用指数运算;1770年,欧拉发现了指数与对数间的互逆关系,指出:对数源于指数,对数的发明先于指数.若2x=,lg 2≈0.301 0,则x的值约为( )
A.1.322 B.1.410
C.1.507 D.1.669
6.(2022山东威海期末)若2a=5b=10,则=( )
A.2 B.4 C.5 D.10
7.(2024天津南开中学期末)计算:loga2+loga0.5-log225×log34×log59= .
8.已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,loga2=logb3=π,则log3a·log2b= .
题组三 对数运算的简单应用
9.已知a,b,c是△ABC的三边,且关于x的一元二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有两个相等的实数根,则△ABC的形状是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
10.(2024江西赣州期中)某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k是正实数).若经过10 h过滤后消除了20%的污染物,则污染物减少50%大约需要(参考数据:log25≈2.322)( )
A.30 h B.31 h
C.32 h D.33 h
11.(2024江苏泰州期中)1859年,德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某给定值的素数的个数》的论文并提出了一个命题,也就是著名的黎曼猜想.在此之前,著名数学家欧拉也曾研究过这个问题,并得到小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈的结论.根据欧拉得出的结论,估计104以内的素数的个数为(素数即质数,lg e≈0.434,其中e=2.718 28…)( )
A.1 085 B.2 085
C.2 869 D.8 686
能力提升练
题组一 对数运算法则的应用
1.若x,y,z都是大于1的正数,m>0,logxm=24,logym=40,log(xyz)m=12,则logzm的值为( )
A.
2.(2024江苏徐州期中)设a=lg 6,b=lg 20,则log43=( )
A.
3.若x,y,z是正实数,且2x=3y=5z,则( )
A.3x>4y>6z B.3x>6z>4y
C.4y>6z>3x D.6z>4y>3x
4.(2024福建厦门期中)= .
5.(2024重庆一中期末)设p>0,q>0,满足log2p=log4q=log8(2p+q),则= .
6.(2023江苏常州十校调研)若b>a>1且3logab+6logba=11,则a3+的最小值为 .
7.设方程log(3x)3+log27(3x)=-的两个根分别为a和b,则a+b的值为 .
8.(2024江苏南通期中)
(1)计算的值;
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求的值.
题组二 对数运算的综合应用
9.(2024辽宁丹东期中)血氧饱和度是指血液中被氧气结合的血红蛋白占总血红蛋白的百分比,即血液中血氧的浓度,它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般不低于95%,95%以下为供氧不足.在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)(单位:%)随给氧时间t(单位:h)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60,给氧1 h后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到正常值,则给氧时间至少还需要约(取ln 2=0.69,ln 3=1.10,ln 19=2.94) ( )
A.0.54 h B.0.64 h
C.0.74 h D.0.84 h
10.(1)甲、乙两人同时解关于x的方程log3x-blogx3+c=0,甲写错了常数b,得两根为3,,乙写错了常数c,得两根为,81,求这个方程的根;
(2)因为210=1 024∈(103,104),所以210的位数为4(一个自然数数位的个数,称为位数).请你运用所学过的对数运算的知识,判断2 0192 020的位数.(参考数据:lg 2 019≈3.305)
答案与分层梯度式解析
4.2.2 对数运算法则
基础过关练
1.A 2.B 3.B 5.A 6.C 9.B 10.B 11.A
1.A 根据对数的运算法则logaMα=αlogaM(M>0,a>0且a≠1)知③与⑤正确.
2.B 由ln 22m+ln 2n=ln(22m×2n)=ln 22m+n=ln 2(m>0,n>0),得2m+n=1.
3.B 由题意可知,lg a+lg b=-2,lg a·lg b=,
所以=(lg a-lg b)2=(lg a+lg b)2-4lg a·lg b=4-4×=2.
4.答案 3
解析 原式=2lg 5+×3lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 5×lg 2+(lg 2)2=2+1-lg 2+lg 2×(1-lg 2)+(lg 2)2=3.
5.A ∵2x=≈1.322.
6.C ∵2a=5b=10,∴a=log210,b=log510.
∴=5.
7.答案 -8
解析 原式=loga(2×0.5)-log252×log322×log532
=loga1-8log25×log32×log53=-8×=-8.
8.答案
解析 由题意得log3a·log2b=.
9.B 由题意知Δ=0,即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,化简得2lg a-lg(c2-b2)=0,所以lg =0,所以=1,所以a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.
10.B 由题意,知经过10 h过滤后还剩余80%的污染物,则0.8P0=P0e-10k,解得e10k=,
设污染物减少50%大约需要t h,则0.5P0=P0e-kt,即ekt=2,则(e10k)t=210,即=210,
两边取对数得tlog2=10,因此t=≈31,所以污染物减少50%大约需要31 h.
11.A 由题可知104以内的素数的个数为π(104)≈=2 500lg e≈2 500×0.434=1 085,
故选A.
能力提升练
1.B 2.C 3.B 9.B
1.B 依题意得logmx=,
logm(xyz)= logmx+logmy+logmz=.
∴logmz=.
∴logzm=60,故选B.
2.C 由a=lg 6,b=lg 20,可得a=lg 6=lg 2+lg 3,b=lg 20=lg 10+lg 2=1+
lg 2,
联立所以log43=.
3.B 令2x=3y=5z=t,t>1,
则x=log2t=,
∴3x-6z=3>0,
即3x>6z;
6z-4y=2>0,
即6z>4y.
∴3x>6z>4y.
故选B.
4.答案 8
解析 原式=+log62+log63=7+1=8.
5.答案
解析 由log2p=log4q可知log2p=,即p=,
由log2p=log8(2p+q)可知log2p=,即p=,
消去q得p2-p-2=0,解得p=2或p=-1(舍去),
当p=2时,q=4,所以.
6.答案 2+1
解析 ∵3logab+6logba=11,即3logab+-11=0,
∴3(logab)2-11logab+6=0,即(3logab-2)(logab-3)=0,∴logab=或logab=3,
又 b>a>1,∴logab>1,∴logab=3,∴a3=b,
∴a3++1≥2+1,当且仅当(b-1)2=2,即b=1+时取等号.
∴a3+的最小值为2+1.
7.答案
解析 利用对数的换底公式把方程log(3x)3+log27(3x)=-,即,
∴(1+log3x)2+4(1+log3x)+3=0,
∴1+log3x=-1或1+log3x=-3,
∴log3x=-2或log3x=-4,
∴x=或x=.
8.解析 (1)原式=.
(2)令3x=4y=6z=a,则a>0,
所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以.
9.B 当t=1时,S(1)=60eK=80,得K=ln=ln 8-ln 6,
令S(t)=S0eKt≥95,即60eKt≥95,化简得Kt≥ln =ln 19-ln 12,
所以t≥≈1.64.
因为已经给氧1 h,所以给氧时间至少还需要约0.64 h.
10.解析 (1)由题意可得(log3x)2+clog3x-b=0,
所以log33+log3=-1=-c,即c=1;
log381×log3=-12=-b,即b=12.
所以原方程为(log3x)2+log3x-12=0,
所以log3x=-4或log3x=3,
所以x=或x=27,故这个方程的根为27或.
(2)解法一:设10k<2 0192 020<10k+1,k∈N+,
两边取常用对数,得k
所以k<2 020×3.305
故2 0192 020的位数为6 677.
解法二:设2 0192 020=N,则2 020lg 2 019=lg N,
又lg 2 019≈3.305,
所以lg N=2 020×3.305=6 676.1,
因此N=106 676.1=100.1×106 676,
又1<100.1<10,所以N的位数为6 677,
即2 0192 020的位数为6 677.
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