2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--4.2.3　对数函数的性质与图象

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2025人教B版高中数学必修第二册
4.2.3　对数函数的性质与图象
基础过关练
题组一　对数函数的概念
1.给出下列函数:①y=log5x+1;②y=logax2(a>0且a≠1);
③y=(x>0且x≠1),其中对数函数的个数为(　　)
A.1　　　　B.2
C.3　　　　D.4
2.(2024湖北黄梅第一中学期末)已知对数函数f(x)=(a2-3a+3)logax(a>0,且a≠1),则f的值为　　　　.
3.已知f(x)为对数函数,f=-2,则f()=　　　　.
题组二　对数(型)函数的图象
4.(2024江西南昌期末)若0A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
5.(2024山东枣庄期末)函数f(x)=的图象大致是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
6.(2024河南周口期末)已知函数f(x)=loga(x-b)(a>0且a≠1,a,b为常数)的图象如图,则下列结论正确的是(　　)
A.a>1,b<-1　　　　
B.a>1,-1C.0D.07.(2022山东滨州期末)已知函数f(x)=loga(2x-3)+1(a>0且a≠1),其图象恒过点P,则点P的坐标为　　　　.
8.已知函数y=loga的图象经过第二、三、四象限,则实数a的取值范围为　　　　.
题组三　对数(型)函数的性质及其应用
9.(2022辽宁丹东期末)设f(x)=,则函数f 的定义域为(　　)
A.　　　　B.[1,+∞)
C.　　　　D.[0,+∞)
10.(2024山东济南历城第二中学月考)已知a=log47,b=log930,c=,则a,b,c的大小关系为(　　)
A.aC.a11.(2024山东济宁期末)已知a>0且a≠1,若函数y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,1)　　　　B.(1,2)　　　　C.(1,2]　　　　D.(1,4)
12.(多选题)(2024辽宁葫芦岛期末)已知函数f(x)=ln(-x)+2,则(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)在(0,+∞)上单调递增
C.当x>0时,f(x)∈(0,2]
D.f(lg 3)+f=4
13.(2022广东广雅中学期中)已知f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若f(lg x)>f(1),则x的取值范围是(　　)
A.∪(1,+∞)
C.　　　　D.(0,1)∪(10,+∞)
14.(多选题)(2022辽宁县级重点高中协作体期末)已知函数f(x+1)=loga(x+2)(a>0且a≠1),则(　　)
A. f(x)=logax
B. f(x)的图象恒过原点
C. f(x)无最大值
D. f(x)是增函数
15.(2022山东日照期末)已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足当x1≠x2时,恒有 >0成立,那么实数a的取值范围为(　　)
A.(1,2)　　　　B.
C.(1,+∞)　　　　D.
16.(2022福建厦门月考)设函数f(x)=lg,a∈R,若当x∈(-∞,1)时,f(x)都有意义,则实数a的取值范围为　　　　.
17.(2022河北石家庄一中质检)已知函数y=log(x2+ax+6)在(-∞,2)上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　.
18.(2024山东聊城期末)已知函数f(x)=的值域是R,则实数a的最大值是　　　　.
19.(2024山东泰安月考)已知f(x)=lo(x2-ax+5a).
(1)若a=2,求f(x)的值域;
(2)若f(x)在[1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
20.(2022广东潮州期中)已知函数f(x)=x++b是奇函数,且f(1)=2.
(1)判断函数f(x)在区间[2,4]上的单调性,并给予证明;
(2)已知函数F(x)=logc(c>0且c≠1),F(x)在[2,4]上的最大值为2,求c的值.
能力提升练
题组一　对数(型)函数的图象
1.(2022广东深圳中学期中)已知log2a+log2b=0(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则函数f(x)=与g(x)=logbx的图象可能是(　　)
ABCD
2.(2024江西新余期末)已知函数f(x)的图象如图所示,那么该函数的解析式可能为(　　)
A.f(x)=
C.f(x)=
题组二　对数(型)函数的性质及其应用
3.(多选题)(2022广东揭阳期末)已知函数f(x)=lg(x2+ax-a),下列说法正确的是(　　)
A.若f(x)的定义域为R,则-4≤a≤0
B.若f(x)的值域为R,则a≤-4或a≥0
C.若a=2,则f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)
D.若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则a≤
4.(2022山东聊城期中)已知函数f(x)=|log3x|,当0A.9　　　　B.4
C.3　　　　D.2
5.(2022辽宁营口期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且 x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,若a=f(log5),b=f(log4324),c=f(22.5),则a,b,c的大小关系为(　　)
A.a>b>c　　　　B.c>a>b
C.c>b>a　　　　D.b>c>a
6.(2023河南开封联考)若函数f(x)=log(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,则实数m的取值范围为　　　　.
7.(2024山东德州第一中学月考)已知f(x)=log2(4m·x)log2,1≤log2x≤3,m为实数.
(1)当m=1时,求函数f(x)的最大值;
(2)求函数f(x)的最大值g(m)的解析式.
8.(2022河南安阳林州林虑中学开学考试)已知函数f(x)=ln为奇函数.
(1)求实数k的值;
(2)判断并证明函数f(x)的单调性;
(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f(x)在区间[α,β]上的值域为ln,lnmβ-,求实数m的取值范围.
答案与分层梯度式解析
4.2.3　对数函数的性质与图象
基础过关练
1.A 4.A 5.A 6.D 9.C 10.C 11.B 12.AD
13.A 14.BC 15.D
1.A　①中log5x后面加1,所以不是对数函数;②中真数不是自变量x,所以不是对数函数;显然③中函数是对数函数;④中log3x前的系数不是1,所以不是对数函数;⑤中底数是自变量x,而非常数,所以不是对数函数.故选A.
2.答案　-1
解析　∵函数f(x)=(a2-3a+3)logax是对数函数,∴解得a=2,∴f(x)=log2x,∴f=-1.
3.答案　
解析　设f(x)=logax(a>0且a≠1),则loga=-2,所以,所以a=,所以f(x)=x,
所以f(.
4.A　∵0将y=logbx的图象向左平移a(a>1)个单位长度,得到y=logb(x+a)的图象,故函数y=logb(x+a)的图象不经过第一象限.
5.A　函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
当x<0时,-x+1>1, f(x)==-lg(-x+1)<0;
当0当x>1时, f(x)==lg(x-1),该函数图象可以看成将函数y=lg x的图象向右平移一个单位长度得到的.故选A.
6.D　根据题图得函数f(x)=loga(x-b)为减函数,所以0令loga(x-b)=0,得x=1+b,因为函数图象与x轴的交点在正半轴上,所以x=1+b>0,即b>-1,
又因为函数图象与y轴有交点,
所以b<0,所以-17.答案　(2,1)
解析　令2x-3=1,得x=2,则f(2)=1,所以f(x)的图象过定点(2,1),即P(2,1).
8.答案　
解析　由题意得9.C　依题意得0<4x-3≤1,即3<4x≤4,解得所以f(x)的定义域为,所以+1≤1,
即-≤0,解得-所以函数f .
易错警示　求定义域问题时,需列出满足题意的不等式(组),列不等式(组)的依据:一是分式的分母不为零;二是偶数次方根的被开方数非负;三是对数的真数为正;四是对数的底数大于0且不等于1.解题时防止因错列、漏列不等式而出错.
10.C　由题可得c==c,所以a11.B　因为a>0且a≠1,所以y=4-ax在[1,2]上单调递减,又y=loga(4-ax)在[1,2]上单调递减,所以a>1,又4-2a>0,所以a<2,所以112.AD　因为-x=|x|-x≥0,所以f(x)的定义域为R,因此A正确.
当x>0时, f(x)=ln(+2,
令u=,则g(t)=ln t+2,显然随着x增大,u增大,t减小,从而g(t)减小,
故f(x)在(0,+∞)上单调递减,因此B错误.
由B可知f(x)0时, f(x)<2,因此C错误.
f(x)+f(-x)=ln(-x)·(+x)]+4=ln 1+4=0+4=4,所以f(lg 3)+f=f(lg 3)+f(-lg 3)=4,因此D正确.故选AD.
13.A　∵函数f(x)为偶函数, f(lg x)>f(1),
∴f(|lg x|)>f(1).
又函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,
∴|lg x|<1,即-1故x的取值范围是.
14.BC　因为f(x+1)=loga(x+2)=loga(x+1+1),所以f(x)=loga(x+1),A错误.
令x+1=1,得x=0,则f(0)=0,故f(x)的图象恒过原点,B正确.
当a>1时,u=x+1(x>-1)单调递增,y=logau单调递增,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上单调递增,所以f(x)无最大值;
当0-1)单调递增,y=logau单调递减,由复合函数的单调性可得f(x)=loga(x+1)在(-1,+∞)上单调递减,所以f(x)无最大值,
所以C正确,D错误.
15.D　由题可知函数f(x)在R上为增函数,
则≤a<2.
16.答案　[0,+∞)
解析　f(x)=lg =lg(4x+2x+a).
由题意得4x+2x+a>0,即a>-(4x+2x)在x∈(-∞,1)上恒成立.
令t=2x,则t∈(0,2),g(t)=-t2-t=-.
易知g(t)在(0,2)上单调递减,∴g(t)∈(-6,0),
∴a≥0.
17.答案　[-5,-4]
解析　令g(x)=x2+ax+6,∴y=logg(x).
∵y=log(x2+ax+6)在(-∞,2)上单调递增,
∴g(x)在(-∞,2)上单调递减,且g(x)>0在(-∞,2)上恒成立,
∴
∴实数a的取值范围是[-5,-4].
18.答案　8
解析　当x<0时, f(x)=4-∈(-∞,3).
当x≥0时, f(x)单调递增,
要想f(x)的值域为R,则当x≥0时, f(x)min≤3,
即当x∈[0,+∞)时, f(0)≤3,即log2a≤3,解得019.解析　(1)若a=2,则f(x)=lo(x2-2x+10),
因为x2-2x+10=(x-1)2+9≥9>0,当且仅当x=1时,等号成立,
所以f(x)的定义域为R,且y=lox在定义域内单调递减,所以f(x)≤lo9=-2,
所以f(x)的值域为(-∞,-2].
(2)因为y=lox在定义域内单调递减,
所以y=x2-ax+5a在[1,+∞)上单调递增,且x2-ax+5a>0在[1,+∞)上恒成立,
所以解得-所以a的取值范围为.
20.解析　(1)∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
∵f(1)=1+a+b=2,∴f(-1)=-1-a+b=-2,
∴a=1,b=0.
经检验,a=1,b=0满足题意,∴f(x)=x+.
函数f(x)在区间[2,4]上是增函数.证明如下:
任取x1,x2∈[2,4]且x1∵x1,x2∈[2,4],x1∴x1x2>4,x1x2-1>0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)∴函数f(x)在区间[2,4]上是增函数.
(2)当x∈[2,4]时, f(x)∈,
∴f(x)-.
若0F(x)有最大值logc;
若c>1,则y=logcx单调递增,当f(x)-=2时,F(x)有最大值logc2=2,
∴c=.
综上,c=或c=.
能力提升练
1.B 2.C 3.BD 4.A 5.B
1.B　因为log2a+log2b=0,所以log2(ab)=0,所以ab=1,则a>1,01,0当a>1,0当b>1,02.C　由题图可知,函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),图象关于原点对称,函数f(x)是奇函数,当x>1时, f(x)>0.
f(x)=的定义域为(0,+∞),故排除A;
若 f(x)=则当x>1时, f(x)<0,故排除B;
若f(x)=则当x趋向于0+时, f(x)=趋向于-1,当x趋向于0-时, f(x)=(x+1)·ex趋向于1,故排除D.故选C.
3.BD　对于A,若f(x)的定义域为R,则x2+ax-a>0在R上恒成立,所以Δ=a2+4a<0,所以-4对于B,若f(x)的值域为R,则y=x2+ax-a能取到大于0的所有实数,则a2+4a≥0,所以a≥0或a≤-4,所以B正确;
对于C,若a=2,则f(x)=lg(x2+2x-2),易得函数的定义域为(-∞,-1-)∪(-1+,+∞),设u=x2+2x-2,v=lg u,由复合函数的单调性可得函数f(x)的单调递减区间即为函数u=x2+2x-2(u>0)的单调递减区间,为(-∞,-1-),所以C错误;
对于D,若f(x)在(-2,-1)上单调递减,则(-1)2+a×(-1)-a≥0且-≥-1,所以a≤,所以D正确.
4.A　作出f(x)的图象,如图所示.
由0易知n2-n=n(n-1)<0,所以 0f(n)=f(m),
所以f(x)在[n2,m]上的最大值为 f(n2)=|log3n2|=|2log3n|=-2log3n=2,所以log3n=-1,解得n=,所以 m==3,所以=9.
5.B　因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,
又因为 x1,x2∈(1,+∞),当x1≠x2时都有(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减.由f(x)=f(2-x),得f(log5)=f(2+log25).
因为log24log4324=lo182=log218=1+log29,因为log28因为2+log25=log24+log25=log220,log4324=log218,所以4因为22.5=,所以5<22.5<6,所以4又函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(log4324)6.答案　
解析　根据对数函数的概念得-x2+4x+5>0,解得-1易知二次函数y=-x2+4x+5的图象开口向下,对称轴为直线x=-=2,
由复合函数的单调性得函数f(x)=log(-x2+4x+5)的单调递增区间为(2,5).
要使函数f(x)=log(-x2+4x+5)在区间(3m-2,m+2)内单调递增,
只需≤m<2,
故实数m的取值范围是.
7.解析　(1)∵1≤log2x≤3,
∴当m=1时, f(x)=(2+log2x)(2-log2x)=4-(log2x)2≤3,当log2x=1时,取等号,
故函数f(x)的最大值是3.
(2)f(x)=(2m+log2x)(2-log2x),
令log2x=s,s∈[1,3],
则h(s)=(2m+s)(2-s)=-s2+(2-2m)s+4m=-[s-(1-m)]2+m2+2m+1,
当1-m≤1,即m≥0时,h(s)在[1,3]上单调递减,故h(s)max=h(1)=2m+1;
当1<1-m<3,即-2当1-m≥3,即m≤-2时,h(s)在[1,3]上单调递增,故h(s)max=h(3)=-2m-3.
综上,g(m)=
8.解析　(1)因为函数f(x)=ln为奇函数,
所以f(x)+f(-x)=0,
即ln=0对定义域内任意x均成立,所以k2=1,即k=±1,
显然k≠-1,所以k=1.
经验证,k=1符合题意.
(2)函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数.
证明:由(1)知f(x)=ln ,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),
任取x1,x2∈(1,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=ln -ln =ln ,
因为(x1-1)(x2+1)-(x1+1)(x2-1)=2(x1-x2)<0,且(x1+1)(x2-1)>0,(x1-1)(x2+1)>0,
所以0<<1,
所以f(x1)-f(x2)=ln <0,
即f(x1)同理可得, f(x)在(-∞,-1)上也为增函数.
所以函数f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上是增函数.
(3)由(2)知f(x)在(1,+∞)上为增函数,
因为函数f(x)在[α,β]上的值域为
,
所以m>0,且
所以
即α,β是方程的两个不等实根,
问题等价于方程mx2-=0在(1,+∞)上有两个不等实根,其中m>0,
令h(x)=mx2-,x∈(1,+∞),
则
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