2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--4.3　指数函数与对数函数的关系（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
4.3　指数函数与对数函数的关系
基础过关练
题组　反函数
1.(2024湖南长沙一中期中)若对数函数f(x)的图象经过点(4,2),则它的反函数g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2x　　　　B.g(x)=
C.g(x)=4x　　　　D.g(x)=x2
2.若函数y=f(x)的图象经过第一、二象限,则它的反函数y=f-1(x)的图象必经过(　　)
A.第一、二象限　　　　B.第三、四象限
C.第二、三象限　　　　D.第一、四象限
3.(2024辽宁丹东期末)已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f-1(x)的大致图象是(　　)
A　　　　B
C　　　　D
4.(2024辽宁营口期末)函数f(x)=log3(3x+9)的反函数y=f-1(x)的定义域为(　　)
A.(1,+∞)　　　　B.(3,+∞)
C.(0,+∞)　　　　D.(2,+∞)
5.(2022北京昌平期中)若函数f(x)的图象向右平移一个单位长度后所得图象与曲线y=ex关于直线y=x对称,则f(x)=(　　)
A.ex-1　　　　B.ex+1
C.ln(x-1)　　　　D.ln(x+1)
6.(2022安徽六安一中期末)已知函数f(x)的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称,函数g(x)是奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则
g(-9)=(　　)
A.-6　　　　B.6　　　　C.-7　　　　D.7
7.已知函数f(x)=ax+k(a>0且a≠1)的图象过点(-1,1),其反函数y=f -1(x)的图象过点(8,2),则a的值为　　　　.
8.(2024上海复旦附中期末)函数y=x2-2x+3(x≤0)的反函数为　　　　　　　　.
9.(2022陕西咸阳泾阳期中)已知函数y=f(x)(x<0)的反函数为y=f -1(x),且函数g(x)=是奇函数,则不等式f -1(x)≥-2的解集为　　　　.
10.已知f(x)=(a∈R),f(0)=0.
(1)求a的值,并判断f(x)的奇偶性;
(2)求f(x)的反函数f -1(x);
(3)若k∈(0,+∞),解不等式f -1(x)>log2.
答案与分层梯度式解析
4.3　指数函数与对数函数的关系
基础过关练
1.A 2.D 3.C 4.D 5.D 6.D
1.A　设f(x)=logax(a>0且a≠1),因为函数f(x)的图象经过点(4,2),所以f(4)=loga4=2,所以a2=4,所以a=2,所以f(x)=log2x,所以它的反函数g(x)=2x.
2.D　原函数与反函数的图象关于直线y=x对称,因为原函数的图象经过第一、二象限,所以其反函数y=f-1(x)的图象必经过第一、四象限.
3.C　令y=f(x),则y=3x-1,y>0,∴x-1=log3y,即x=log3y+1,
∴f-1(x)=log3x+1,
易知f-1(x)在(0,+∞)上单调递增,且f-1+1=0,结合选项知选C.
4.D　∵3x>0,∴3x+9>9,∴log3(3x+9)>log39=2,则f(x)的值域为(2,+∞),
∵反函数的定义域为原函数的值域,∴反函数y=f-1(x)的定义域为(2,+∞),故选D.
5.D　曲线y=ex关于直线y=x对称的曲线的方程为y=ln x,即f(x-1)=ln x,令t=x-1,则x=t+1, f(t)=ln(t+1),所以f(x)=ln(x+1).
6.D　由已知得,函数f(x)与函数y=3x互为反函数,则f(x)=log3x.
由题意知,当x>0时,g(x)=log3x-x,则g(9)=log39-9=2-9=-7.
因为g(x)为奇函数,所以g(-9)=-g(9)=7.
7.答案　2
解析　由反函数y=f-1(x)的图象过点(8,2),可得函数f(x)的图象过点(2,8),又函数f(x)=ax+k(a>0且a≠1)的图象过点(-1,1),所以
8.答案　y=1-(x≥3)
解析　由题意可得y=x2-2x+3=(x-1)2+2在(-∞,0]上单调递减,故y≥3,
则x-1=-,即x=1-(y≥3),
故函数y=x2-2x+3(x≤0)的反函数为y=1-(x≥3).
9.答案　[-log23,0)
解析　令h(x)=log2(x+1),x≥0.
当x<0时,-x>0,则h(-x)=log2(1-x)=-h(x),
所以y=f(x)=h(x)=-log2(1-x),x<0.
令x=-log2(1-y),y<0,得y=1-2-x.
由1-2-x<0,得x<0.
所以f-1(x)=1-2-x,x<0.
不等式f-1(x)≥-2可化为1-2-x≥-2,
解得x≥-log23,又x<0,所以-log23≤x<0.
10.解析　(1)由f(0)=0,得a=1,所以f(x)=.
因为f(x)+f(-x)==0,
所以f(-x)=-f(x),
又f(x)的定义域为R,关于原点对称,
所以f(x)为奇函数.
(2)令y=,则2x=(-1所以f -1(x)=log2(-1(3)f -1(x)>log2即log2,-1所以
所以当0当k≥2时,原不等式的解集为{x|-121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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