2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动：生长规律的描述（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
4.6　函数的应用(二)　4.7　数学建模活动:生长规律的描述
基础过关练
题组一　用已知函数模型解决实际问题
1.(2024黑龙江哈师大附中期中)通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育,某濒危野生动物的数量不断增长,根据调查研究,该野生动物的数量N(t)=(t的单位:年),其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当N(t*)=0.8K时,该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别,此时t*约为(ln 2≈0.7)(　　)
A.7　　　　B.6　　　　C.5　　　　D.4
2.(2024福建福州期中)星等是衡量天体亮度的量.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(又名依巴谷)在公元前2世纪首先提出了星等这个概念,例如,1等星的星等值为1,-0.58等星的星等值为-0.58.已知两个天体的星等值m1,m2和它们对应的亮度E1,E2满足关系式m1-m2=-2.5lg(E1>0,E2>0),则1等星的亮度是6等星亮度的(　　)
A.倍　　　　B.10倍　　　　C.倍　　　　D.100倍
3.(2023辽宁省重点高中协作校期中)在某种流行疾病的防控中,特定的检测是确诊的有效手段,在某医院开展检测工作的第n(n∈N*)天,设每个检测对象从接受检测到检测报告生成的平均耗时为t小时,已知t与n之间的函数关系为t(n)=(t0,N0为常数),已知第4天检测过程平均耗时为12小时,第9天和第10天检测过程平均耗时均为8小时,那么第7天检测过程平均耗时约为(参考数据:≈2.646)(　　)
A.8小时　　　　B.9小时　　　　C.10小时　　　　D.11小时
题组二　构建函数模型解决实际问题
4.(2023江苏常州期末)某种溶液含有杂质,为达到实验要求,杂质含量不能超过0.1%,而这种溶液最初杂质含量为2%,若每过滤一次杂质含量减少,则为使溶液达到实验要求,最少需要过滤的次数为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)(　　)
A.7　　　　B.8　　　　C.9　　　　D.10
5.(2023浙江绍兴期末)某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图1),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注:利润与投资额的单位均为万元)
图1　　图2
(1)设A,B两种产品的利润分别为f(x)万元,g(x)万元,试写出f(x),g(x)关于投资额x(单位:万元)的函数关系式;
(2)该团队已筹集到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问:当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润 最大利润为多少
题组三　建立拟合函数模型解决实际问题
6.(2024安徽安庆期末)某体育用品商店展开促销活动,据统计,该店每天的销售收入不低于2万元时,其纯利润y(单位:万元)随销售收入x(单位:万元)的变化情况如下表所示:
x/万元 2 3 5
y/万元
(1)根据表中数据,分别用模型y=loga(x+m)+b(a>0且a≠1)与y=c+d建立y关于x的函数解析式;
(2)当x=9时,y=3.3,你认为(1)中哪个函数模型更合理 请说明理由.(参考数据:≈7.55)
7.环保生活,低碳出行,电动汽车正成为人们购车的热门选择.某型号电动汽车在一段平坦的国道上进行测试,国道限速80 km/h(不含80 km/h).经多次测试,得到该汽车每小时耗电量M(单位:W·h)与速度v(单位:km/h)的下列数据:
v 0 10 40 60
M 0 1 325 4 400 7 200
为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系,现有以下三种函数模型供选择:M(v)=v3+bv2+cv,M(v)=1 000+a,M(v)=300logav+b(a>0且a≠1,b∈R).
(1)当0≤v<80时,请选出你认为最符合表格所列数据的函数模型,并求出相应的函数解析式;
(2)现有一辆同型号汽车从A地驶到B地,前一段是200 km的国道,后一段是50 km的高速路,已知高速路上该汽车每小时耗电量N(单位:W·h)与速度v(单位:km/h)的关系是N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120),如何行驶才能使得总耗电量最少,最少为多少
答案与分层梯度式解析
4.6　函数的应用(二)
4.7　数学建模活动:生长规律的描述
基础过关练
1.C 2.D 3.B 4.B
1.C　根据题意得=0.8K,所以,所以t*==5.
2.D　当m1=1,m2=6时,m1-m2=-5=-2.5lg,即lg=2,解得=102=100,故选D.
3.B　由已知可得,当n≥N0时,t(n)为定值,当n4,
所以t(4)==12,解得t0=24,所以t(9)==8,解得N0=9,故t(7)=≈9.
故选B.
4.B　若有100单位的溶液,则初始的杂质含量为2单位.开始过滤后,溶液中杂质的含量为:1次后,2×;2次后,2×;……;n次后,2×.
根据题意,得2×≤0.1,可得n≥≈7.4,因为n∈N+,所以为使溶液达到实验要求,最少需要过滤8次.
故选B.
5.解析　(1)因为A产品的利润与投资额成正比,所以可设f(x)=kx(k>0,x≥0),
将(1,0.25)代入,得0.25=1×k,解得k=,故f(x)=x(x≥0).
因为B产品的利润与投资额的算术平方根成正比,所以可设g(x)=m(m>0,x≥0),
将(4,2.5)代入,得2.5=m,解得m=,故g(x)=(x≥0).
(2)设B产品的投资额为x万元,生产A,B两种产品获得的利润为y万元,则A产品的投资额为(10-x)万元,
则y=g(x)+f(10-x)=(10-x)(0≤x≤10).
令=t(0≤t≤),可得h(t)=-.
当t=,即x=6.25时,h(t)取得最大值,为4.062 5.
故当B产品的投资额为6.25万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润,最大利润为4.062 5万元.
6.解析　(1)若选用y=loga(x+m)+b(a>0且a≠1),
则依题意可得
则y=log2(x-1)+(x≥2).
若选用y=c+d,
则依题意可得
则y=(x≥2).
(2)对于函数y=log2(x-1)+(x≥2),当x=9时,y=log2(9-1)+=3.25.
对于函数y=(x≥2),当x=9时,y==3.525.
因为|3.525-3.3|>|3.25-3.3|,
所以选用模型y=log2(x-1)+(x≥2)更合理.
7.解析　(1)对于M(v)=300logav+b(a>0且a≠1,b∈R),当v=0时,无意义,不符合题意;
对于M(v)=1 000+a,其为减函数,与M(40)故应选择M(v)=v3+bv2+cv.
由题表中数据得
解得
所以当0≤v<80时,M(v)=v3-2v2+150v.
(2)设该汽车在国道上行驶所耗电量为f(v) W·h,
则f(v)=
=5(v2-80v+6 000)=5(v-40)2+22 000,
因为0≤v<80,所以当v=40时, f(v)min=22 000.
设该汽车在高速路上行驶所耗电量为g(v) W·h,
则g(v)=×(2v2-10v+200)
=100-500,
易知g(v)在[80,120]上单调递增,
所以g(v)min=g(80)=100×-500=7 625.
又22 000+7 625=29 625(W·h),
所以当这辆汽车在国道上的行驶速度为40 km/h,在高速路上的行驶速度为80 km/h时,从A地到B地的总耗电量最少,最少为29 625 W·h.
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