2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--5.3.3　古典概型（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
5.3.3　古典概型
基础过关练
题组一　古典概型的特征
1.下列属于古典概型的是(　　)
A.近三天中有一天降雨
B.在平面直角坐标系内,从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个点
C.某射击手射击一次,可能命中0环、1环、2环、…、10环
D.四位同学用抽签的方法选一人去参加一个座谈会
2.下列是古典概型的是(　　)
A.任意抛掷两个均匀的骰子,将向上面的点数之和作为样本点
B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,求甲被选中的概率
D.抛掷一枚均匀的硬币直到出现正面为止,将抛掷的次数作为样本点
题组二　古典概型的概率
3.(2024江苏南京期中)若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)在直线2x-y=6上的概率是(　　)
A.
4.(2022河南南阳期末)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于2的偶数都是两个质数之和”,如8=3+5.在2,3,5,7,11这5个质数中任取2个,其和不是合数的概率是(　　)
A. C.
5.(2022河北承德期末)甲、乙两位同学计划暑假去旅游,他们所搭乘的动车的“3+2”座位车厢如图所示,若这两位同学买到了同一排的座位,则他们的座位正好相邻的概率为(　　)
A.
6.有5根细木棍,长度(单位:cm)分别为1,3,5,7,9,从中任取3根,能搭成三角形的概率为　　(　　)
A.
7.(2022山东潍坊期末)袋子里有6个大小、质地完全相同且带有不同编号的小球,其中有1个红球,2个白球,3个黑球,从中任取2个球.
(1)写出样本空间;
(2)求取出的两球颜色不同的概率;
(3)求取出的两个球中至多有一个黑球的概率.
能力提升练
题组　古典概型的概率
1.一个正方体有一个面为红色,两个面为绿色,三个面为黄色,另一个正方体有两个面为红色,两个面为绿色,两个面为黄色,同时掷这两个正方体,则这两个正方体朝上的面的颜色不同的概率为(　　)
A.
2.(2022广东潮州期中)已知某市出租车已有38%换为了新能源汽车,网约车中更是有51%的车辆为新能源汽车.某人从一广场通过手机软件打车功能,同时呼叫出租车与网约车,该软件平台向附近42辆出租车和21辆网约车推送接单信息(假设平台呼叫范围内新能源汽车的比例与全市区域相同,每位司机接单机会相同),则该乘客被新能源汽车的司机接单的概率为(　　)
A.42.3%　　　　B.44.5%　　　　C.46.7%　　　　D.50%
3.(2022广西玉林期中)某中学举行党史学习教育知识竞赛,甲队有A,B,C,D,E,F共6名选手,其中4名男生,2名女生,按比赛规则,比赛时现场从中随机抽出2名选手答题,则至少有1名女生被选中的概率是(　　)
A.
4.(2024广东佛山期中)某戏曲学院图书馆中藏有《西厢记》《牡丹亭》《长生殿》《桃花扇》这四部戏曲名著各10本,由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲名著产生了浓厚的兴趣,该戏曲学院图书馆决定购买若干本《牡丹亭》(其他三部数量保持不变).若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本,使得能取到一本《牡丹亭》的概率不小于0.6,则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》的本数为(　　)
A.25　　　　B.30　　　　C.35　　　　D.40
5.(多选题)(2022湖北武汉十四中月考)从集合A={-1,-3,2,4}中随机选取一个数记为a,从集合B={-5,1,4}中随机选取一个数记为b,那么　　(　　)
A.ab>0的概率是
B.a+b≥0的概率是
C.直线y=ax+b不经过第三象限的概率是
D.ln a+ln b>1的概率是
6.(2024广东佛山期中)甲、乙两位同学将高一6次物理测试成绩(成绩为整数,满分为100分)记录如下表,其中乙的第5次成绩的个位数被污损.
第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次
甲 95 87 88 92 93 85
乙 85 86 86 99 9 88
则甲的平均成绩高于乙的平均成绩的概率是(　　)
A.
7.(2022山东新泰第一中学期中)在甲、乙两个盒子中均装有标号分别为1,2,3,4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出一个球,已知每个球被取出的可能性相等.
(1)求取出的两个球的标号为相同数字的概率;
(2)若小明、小红两人分别从甲、乙两个盒子中摸出一个球,规定:两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜(若数字相同则为平局),这样的规定公平吗 请说明理由.
答案与分层梯度式解析
5.3.3　古典概型
基础过关练
1.D 2.C 3.C 4.B 5.D 6.A
1.D　A中,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型;B中,横坐标和纵坐标都为整数的点有无数个,不具有有限性,不是古典概型;C中,命中0环、1环、2环、…、10环的概率不一定相等,不是古典概型;D中,符合古典概型的两个特征.故选D.
2.C　A选项中由于点数之和出现的可能性不相等,故不是古典概型;B选项中的样本点有无数个,故不是古典概型;C选项满足古典概型的有限性和等可能性,故是古典概型;D选项中样本点既不是有限个,也不具有等可能性,故不是古典概型.
3.C　由题意可知抛掷两次骰子得出的点数有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),
(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36种结果,即点P(m,n)有36个,而满足点P在直线2x-y=6上的有(4,2),(5,4),(6,6),共3种结果,故其概率为.
4.B　在2,3,5,7,11这5个质数中任取2个,有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10种取法,其中和不是合数的取法有(2,3),(2,5),(2,11),共3种,所以在这5个质数中任取2个,其和不是合数的概率为.
5.D　设“他们的座位正好相邻”为事件M,甲、乙两人买到同一排A,B,C,D,F五个座位中的两个形成的样本空间为Ω,则Ω={AB,AC,AD,AF,BC,BD,BF,CD,CF,DF},共10个样本点,而事件M包含AB,BC,DF,共3个样本点,故P(M)=.
6.A　根据题意,从5根细木棍中任取3根,有(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9),共10种情况,其中能搭成三角形的有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共3种情况,则能搭成三角形的概率为.故选A.
7.解析　(1)将1个红球记为a,2个白球分别记为b1,b2,3个黑球分别记为c1,c2,c3,则样本空间Ω={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)}.
(2)记事件A为“取出的两球颜色不同”,
由(1)可得,A={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3)},共11个样本点,所以P(A)=.
(3)记事件B为“取出的两个球中至多有一个黑球”,
由(1)可得,B={(a,b1),(a,b2),(a,c1),(a,c2),(a,c3),(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3)},共12个样本点,所以P(B)=.
能力提升练
1.C 2.A 3.D 4.C 5.AC 6.B
1.C　记第一个正方体红色的面为a,绿色的面分别为b1,b2,黄色的面分别为c1,c2,c3,第二个正方体红色的面分别为A1,A2,绿色的面分别为B1,B2,黄色的面分别为C1,C2.同时掷这两个正方体,则这两个正方体朝上的面的颜色的情况种数为62=36,其中两个正方体朝上的面的颜色相同的情况有(a,A1),(a,A2),(b1,B1),(b1,B2),(b2,B1),(b2,B2),(c1,C1),(c1,C2),(c2,C1),(c2,C2),(c3,C1),(c3,C2),共12种,所以两个正方体朝上的面的颜色不同的概率P=1-.
2.A　车辆总数为42+21=63,其中新能源汽车数为42×38%+21×51%,所以该乘客被新能源汽车的司机接单的概率为≈42.3%.
3.D　不妨设A,B,C,D为男生,E,F为女生.
从6名选手中任选2名选手,样本点有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15个,其中至少有1名女生被选中的样本点有(A,E),(A,F),(B,E),(B,F),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共9个,则至少有1名女生被选中的概率为.
4.C　设购买x(x∈N*)本《牡丹亭》,
则购买后该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共(40+x)本,其中《牡丹亭》有(10+x)本,
从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本,
能取到一本《牡丹亭》的概率P=,
根据题意可得P=≥0.6,所以x≥35,x∈N*,
故该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》的本数为35.
5.AC　由题意可得(a,b)的所有可能情况有(-1,-5),(-1,1),(-1,4),(-3,-5),(-3,1),(-3,4),(2,-5),(2,1),(2,4),(4,-5),(4,1),(4,4),共12种.
满足ab>0的情况有(-1,-5),(-3,-5),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共6种,则ab>0的概率为,因此A正确;
满足a+b≥0的情况有(-1,1),(-1,4),(-3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共7种,则a+b≥0的概率为,因此B错误;
因为直线y=ax+b不经过第三象限,所以a<0,b≥0,满足的情况有(-1,1),(-1,4),(-3,1),(-3,4),共4种,则直线y=ax+b不经过第三象限的概率为,因此C正确;
因为ln a+ln b=ln(ab)>1,所以a>0,b>0,ab>e,满足的情况有(2,4),(4,1),(4,4),共3种,故ln a+ln b>1的概率为,因此D错误.故选AC.
6.B　由题意可得甲的平均成绩=90(分),
设被污损的数字为x,x∈[0,9],x∈N,
则乙的平均成绩(分).
令,即90>89+,所以0≤x<6,x∈N,即x可能的取值为0,1,2,3,4,5,
所以满足题意的概率P=.
7.解析　设从甲、乙两个盒子中各取出的一个球的标号分别为x,y.
用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共有16种.
(1)设“取出的两个球的标号为相同数字”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)},
事件A由4个基本事件组成,故P(A)=.
(2)设“小明获胜”为事件B,“小红获胜”为事件C,
则B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)},共6个样本点,C={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,
所以P(B)=P(C)=,即小明获胜的概率是,小红获胜的概率也是,所以这样的规定公平.
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