2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--6.1.2 向量的加法 6.1.3 向量的减法（含解析）
文档属性
| 名称 | 2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--6.1.2 向量的加法 6.1.3 向量的减法（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 365.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-06-19 20:12:00 | ||
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文档简介
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2025人教B版高中数学必修第二册
6.1.2 向量的加法 6.1.3 向量的减法
基础过关练
题组一 向量的加法运算
1.(2024北京丰台检测)如图,四边形ABCD是菱形,下列结论正确的是( )
A.
C.
2.(2023广东梅州兴宁第一中学期中)=( )
A.
3.(2022天津西青期末)在四边形ABCD中,若,则( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
4.(2024安徽合肥期中)若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
5.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7= .(结果用ai或bj表示)
6.(2024广东佛山期中)如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且=0.求证:.
7.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地北偏东60°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C两地间的距离.
题组二 向量的减法运算
8.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则=( )
A.
9.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则a-b的方向 ( )
A.与向量a的方向相同
B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同
D.无法确定
10.如图,在△ABC中,D是BC上一点,则=( )
A.
11.若△ABC是边长为1的等边三角形,则||=( )
A.1 B.2 C.
题组三 向量加、减法的综合运算
12.(2024辽宁辽阳期中)=( )
A.
13.(多选题)(2024江西赣州期中)下列能化简为的是( )
A.)
C.(
14.(2024四川南充模拟)已知正方形ABCD的边长为1,则||=( )
A.0 B. D.4
15.(多选题)(2023内蒙古包头期末)已知A,B,C,D四点不共线,下列等式能判断四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.
B.(O为平面内任意一点)
C.
D.(O为平面内任意一点)
16.(2024四川成都期中)在△ABC中,||,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
17.已知四边形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=120°,O为平面上一点,且满足,则四边形ABCD的面积为( )
A. D.4
18.(2023山东济南莱芜一中段考)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||,则||= .
19.向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
题组四 向量的三角不等式
20.已知下列式子:
①|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|;
②|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|;
③|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|;
④|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|.
其中,一定不成立的式子的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
21.(2024云南昆明期中)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的取值范围是( )
A.[2,3] B.[2,8] C.[3,5] D.[2,5]
答案与分层梯度式解析
6.1.2 向量的加法
6.1.3 向量的减法
基础过关练
1.C 2.B 3.D 4.D 8.D 9.A 10.C 11.D
12.C 13.ABC 14.C 15.ABC 16.A 17.B 20.A 21.B
1.C 因为向量的方向不同,所以,故A,B错误;
因为四边形ABCD是菱形,所以根据向量加法的三角形法则及平行四边形法则知,,故C正确,D错误.
2.B )=0+0=0.
3.D ∵,
∴,∴AB∥DC且AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.无法判断该四边形其他的边角关系,故四边形ABCD是平行四边形.
4.D 因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,
所以|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
5.答案 b6(或-b2)
解析 由题可知,a2+a5+b2+b5+b7==b6=-b2.
6.证明 因为,
所以.
又因为=0,所以.
7.解析 如图所示,,∠BAC=90°,||=300 km,所以∠ABC=45°,| km,设C地在B地东偏南θ方向,则θ=15°,故飞机从B地到C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.
8.D ,故选D.
9.A 当a,b反向时,a-b的方向与a的方向相同;
当a,b同向时,∵|a|>|b|,∴a-b的方向仍与a的方向相同.
10.C 由题图知.
11.D 如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连接AD,则.在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,作BE⊥AD于点E,则∠ABE=60°,所以AE=AB·sin∠ABE=,所以AD=,所以|.故选D.
12.C 由题意可得.
13.ABC 对于A,;对于B,;对于C,(;对于D,,故D不合题意.故选ABC.
14.C ||,
因为正方形ABCD的边长为1,所以AC=,故|.
15.ABC 对于A,因为,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形,故A正确;
对于B,因为,所以,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形,故B正确;
对于C,因为,即,
所以,所以AD∥BC且AD=BC,
所以四边形ABCD为平行四边形,故C正确;
对于D,因为,所以,所以,所以四边形ABDC为平行四边形,故D错误.
16.A 因为|,所以||,所以△ABC是等边三角形.
17.B ∵,
∴,即,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又||=2,∴四边形ABCD为菱形.
连接AC,BD,易得AC=2,BD=2,
∴四边形ABCD的面积为AC·BD=,故选B.
18.答案 2
解析 以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则.
∵||,
又||=4,M是线段BC的中点,
∴||=2.
19.解析 由题图知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=d+e+a.
(2)=-b-c.
(3)=e+a+b.
(4))=-c-d.
20.A ①当a与b不共线时成立;②当b=0时成立;③当a与b共线,方向相反,且|a|≥|b|时成立;④当a与b共线,且方向相同时成立.故一定不成立的式子的个数是0.
21.B 向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|≤|a|+|b|=8,当且仅当a,b同向时取等号;
|a+b|≥||b|-|a||=2,当且仅当a,b反向时取等号,所以|a+b|的取值范围是[2,8].
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6.1.2 向量的加法 6.1.3 向量的减法
基础过关练
题组一 向量的加法运算
1.(2024北京丰台检测)如图,四边形ABCD是菱形,下列结论正确的是( )
A.
C.
2.(2023广东梅州兴宁第一中学期中)=( )
A.
3.(2022天津西青期末)在四边形ABCD中,若,则( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是正方形
D.四边形ABCD是平行四边形
4.(2024安徽合肥期中)若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是( )
A.正三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
5.如图所示,在中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7= .(结果用ai或bj表示)
6.(2024广东佛山期中)如图所示,P,Q是△ABC的边BC上两点,且=0.求证:.
7.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行,已知C地在A地北偏东60°的方向处,且A,C两地相距300 km,求飞机从B地到C地飞行的方向及B,C两地间的距离.
题组二 向量的减法运算
8.如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则=( )
A.
9.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则a-b的方向 ( )
A.与向量a的方向相同
B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同
D.无法确定
10.如图,在△ABC中,D是BC上一点,则=( )
A.
11.若△ABC是边长为1的等边三角形,则||=( )
A.1 B.2 C.
题组三 向量加、减法的综合运算
12.(2024辽宁辽阳期中)=( )
A.
13.(多选题)(2024江西赣州期中)下列能化简为的是( )
A.)
C.(
14.(2024四川南充模拟)已知正方形ABCD的边长为1,则||=( )
A.0 B. D.4
15.(多选题)(2023内蒙古包头期末)已知A,B,C,D四点不共线,下列等式能判断四边形ABCD为平行四边形的是( )
A.
B.(O为平面内任意一点)
C.
D.(O为平面内任意一点)
16.(2024四川成都期中)在△ABC中,||,则△ABC是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
17.已知四边形ABCD中,AB=AD=2,∠BAD=120°,O为平面上一点,且满足,则四边形ABCD的面积为( )
A. D.4
18.(2023山东济南莱芜一中段考)设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||,则||= .
19.向量a,b,c,d,e如图所示,根据图解答下列问题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
题组四 向量的三角不等式
20.已知下列式子:
①|a|-|b|<|a+b|<|a|+|b|;
②|a|-|b|=|a+b|=|a|+|b|;
③|a|-|b|=|a+b|<|a|+|b|;
④|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|.
其中,一定不成立的式子的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
21.(2024云南昆明期中)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的取值范围是( )
A.[2,3] B.[2,8] C.[3,5] D.[2,5]
答案与分层梯度式解析
6.1.2 向量的加法
6.1.3 向量的减法
基础过关练
1.C 2.B 3.D 4.D 8.D 9.A 10.C 11.D
12.C 13.ABC 14.C 15.ABC 16.A 17.B 20.A 21.B
1.C 因为向量的方向不同,所以,故A,B错误;
因为四边形ABCD是菱形,所以根据向量加法的三角形法则及平行四边形法则知,,故C正确,D错误.
2.B )=0+0=0.
3.D ∵,
∴,∴AB∥DC且AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.无法判断该四边形其他的边角关系,故四边形ABCD是平行四边形.
4.D 因为||=|a|=1,||=|b|=1,||=|a+b|=,
所以|a|2+|b|2=|a+b|2,即||2,所以△ABC为等腰直角三角形.
5.答案 b6(或-b2)
解析 由题可知,a2+a5+b2+b5+b7==b6=-b2.
6.证明 因为,
所以.
又因为=0,所以.
7.解析 如图所示,,∠BAC=90°,||=300 km,所以∠ABC=45°,| km,设C地在B地东偏南θ方向,则θ=15°,故飞机从B地到C地飞行的方向是东偏南15°,B,C两地间的距离为300 km.
8.D ,故选D.
9.A 当a,b反向时,a-b的方向与a的方向相同;
当a,b同向时,∵|a|>|b|,∴a-b的方向仍与a的方向相同.
10.C 由题图知.
11.D 如图所示,延长CB到点D,使BD=1,连接AD,则.在△ABD中,AB=BD=1,∠ABD=120°,作BE⊥AD于点E,则∠ABE=60°,所以AE=AB·sin∠ABE=,所以AD=,所以|.故选D.
12.C 由题意可得.
13.ABC 对于A,;对于B,;对于C,(;对于D,,故D不合题意.故选ABC.
14.C ||,
因为正方形ABCD的边长为1,所以AC=,故|.
15.ABC 对于A,因为,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形,故A正确;
对于B,因为,所以,所以AB∥DC且AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形,故B正确;
对于C,因为,即,
所以,所以AD∥BC且AD=BC,
所以四边形ABCD为平行四边形,故C正确;
对于D,因为,所以,所以,所以四边形ABDC为平行四边形,故D错误.
16.A 因为|,所以||,所以△ABC是等边三角形.
17.B ∵,
∴,即,
∴四边形ABCD是平行四边形,
又||=2,∴四边形ABCD为菱形.
连接AC,BD,易得AC=2,BD=2,
∴四边形ABCD的面积为AC·BD=,故选B.
18.答案 2
解析 以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则.
∵||,
又||=4,M是线段BC的中点,
∴||=2.
19.解析 由题图知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=d+e+a.
(2)=-b-c.
(3)=e+a+b.
(4))=-c-d.
20.A ①当a与b不共线时成立;②当b=0时成立;③当a与b共线,方向相反,且|a|≥|b|时成立;④当a与b共线,且方向相同时成立.故一定不成立的式子的个数是0.
21.B 向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|≤|a|+|b|=8,当且仅当a,b同向时取等号;
|a+b|≥||b|-|a||=2,当且仅当a,b反向时取等号,所以|a+b|的取值范围是[2,8].
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