2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--6.1.4　数乘向量　6.1.5　向量的线性运算（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
6.1.4　数乘向量　　6.1.5　向量的线性运算
基础过关练
题组一　数乘向量的概念
1.(2023安徽马鞍山二中质检)已知m,n是实数,a,b是向量,则下列命题中正确的为(　　)
①m(a-b)=ma-mb;②(m-n)a=ma-na;
③若ma=mb,则a=b;④若ma=na,则m=n.
A.①④　　　　B.①②　　　　C.①③　　　　D.③④
2.已知λ∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.|λa|=λ|a|　　　　B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ||a|　　　　 D.|λa|>0
3.(2023河南郑州中牟一中月考)设a是非零向量,λ是非零实数,则(　　)
A.a与λa的方向相反　　　　B.a与λ2a的方向相同
C.|-λa|≥|a|　　　　D.|-λa|≥|λ|a
题组二　向量的线性运算
4.(多选题)(2024陕西西安期中)下列命题中,正确的是　　(　　)
A.(-5)(6a)=-30a
B.7(a+b)+6b=7a+13b
C.若a=m-n,b=3(m-n),则a,b共线
D.(a-5b)+(a+5b)=2a,则a,b共线
5.(2022辽宁大连期末)在△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的点,且,若=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　　　B.-a+b
C.a-b　　　　D.-a-b
6.(2024河北承德期中)在△ABC中,=a,=b,则=(　　)
A.-a+b　　　　B.a+b
C.-a-b　　　　D.a-b
7.(多选题)(2024黑龙江哈尔滨期中)如图所示,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.
C.
8.(2022浙江宁波镇海中学期末)如图所示,在 ABCD中,=a,=b,,M为BC的中点,则=　　　　.(用a,b表示)
题组三　三点共线问题
9.(2024陕西铜川期中)在△ABC中,若3,则点D(　　)
A.在直线AB上　　　　B.在直线AC上
C.在直线BC上　　　　D.为△ABC的外心
10.如图,在△ABC中,AC的中点为E,AB的中点为F,延长BE至点P,使EP=BE,延长CF至点Q,使FQ=CF.试用向量的方法证明P,A,Q三点共线.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(多选题)(2022辽宁六校协作体期中)已知M为△ABC的重心,D为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.||　　　　
B.=0
C.　　　　
D.
2.(2022山西怀仁第一中学期末)已知O是△ABC内一点,满足,则S△ABC∶S△OBC=(　　)
A.3∶1　　　　B.1∶3
C.2∶1　　　　D.1∶2
3.(多选题)(2024海南直辖县级单位模拟)已知某建筑物的底层玻璃的形状如图所示,其中间为一个正六边形,四周是以正六边形的每条边作为正方形的一条边构造出的六个正方形,则在该图形中,下列说法正确的是(　　)
A.　　　　
B.
C.　　　　
D.
4.(2022北京理工大学附属中学月考)已知O是平面上的一个定点,A,B,C是平面上不共线的三点,动点P满足(λ∈R),则点P的轨迹一定经过△ABC的(　　)
A.重心　　　　B.外心　　　　C.内心　　　　D.垂心
5.(2024湖南邵阳期中)如图,在平行四边形ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F为BE的中点,若,则x+y=　　　　.
6.(2024福建福州适应性考试)若M是△ABC所在平面内的一点,且满足5,则△ABM与△ABC的面积之比为　　　　.
题组二　三点共线问题
7.(2024安徽亳州期中)已知向量a,b不共线,=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,则(　　)
A.A,B,C三点共线　　　　
B.A,C,D三点共线
C.A,B,D三点共线　　　　
D.B,C,D三点共线
8.(多选题)(2023辽宁大连期末)已知P是△ABC所在平面内一点,且=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.向量可能平行
B.点P在线段EF上
C.||=2∶1
D. S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=1∶2∶3
答案与分层梯度式解析
6.1.4　数乘向量
6.1.5　向量的线性运算
基础过关练
1.B 2.C 3.B 4.ABC 5.A 6.A 7.AC 9.A
1.B　①和②属于数乘向量的分配律,命题均正确;③中,若m=0,则不能推出a=b,命题错误;④中,若a=0,则m,n的大小关系无法确定,命题错误.
2.C　当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,B错误;易知C正确;当λ=0或a=0时,|λa|=0,D错误.
故选C.
3.B　当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,A错误;
因为λ为非零实数,所以λ2>0,故a与λ2a的方向相同,B正确;
|-λa|=|-λ||a|,因为|-λ|与1的大小关系不确定,所以|-λa|与|a|的大小关系不确定,C错误;
|λ|a是向量,而|-λa|是实数,两者不能比较大小,D错误.
4.ABC　(-5)(6a)=(-5×6)a=-30a,故A正确;
7(a+b)+6b=7a+7b+6b=7a+13b,故B正确;
因为a=m-n,b=3(m-n),所以b=3a,所以a,b共线,故C正确;
因为(a-5b)+(a+5b)=2a恒成立,所以a,b不一定共线,故D错误.
5.A　如图所示,a+b,故选A.
6.A　如图,由题意得,
所以b-a.
7.AC　,A正确;
,B错误;
,C正确;
,D错误.故选AC.
8.答案　b-a
解析　b-a+a.
9.A　因为3,
所以A,B,D三点共线,所以点D在直线AB上.
10.证明　因为E是AC的中点,F是AB的中点,
所以.
因为BE=EP,CF=FQ,所以,
所以,所以.
又因为向量有公共点A,
所以P,A,Q三点共线.
能力提升练
1.BC 2.A 3.ACD 4.C
1.BC　三角形的重心到三个顶点的距离不一定相等,A错误;
由M为△ABC的重心可得,),
同理,),
所以=0,B正确;
因为,所以,C正确;
,D错误.
2.A　),∴O是△ABC的重心,
∴S△ABC∶S△OBC=3∶1.故选A.
3.ACD　易知,则,故,故A正确;
易知CF=2DE,故,故B错误;
,故C正确;
因为,故,故D正确.
4.C　易知方向上的单位向量,方向上的单位向量,
则表示的有向线段在∠BAC的平分线上,
由,
可得,即,
所以点P的轨迹为∠BAC的平分线所在直线,
故点P的轨迹一定经过△ABC的内心.
故选C.
5.答案　
解析　,
所以x=,故x+y=.
6.答案　3∶5
解析　延长AC至点D,使AD=3AC,延长AM至点E,使AE=5AM,连接DE,BE,BD,如图所示.
∵5,
∴,
∴四边形ABED是平行四边形.
∵,
∴S△ABC=S△ABD,S△ABM=S△ABE,
∵S△ABD=S△ABE=S ABED,
∴S△ABM∶S△ABC=S△ABE∶S△ABD=3∶5.
7.C　因为a,b不共线,=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,所以易得互不共线,所以A,B,C三点不共线,B,C,D三点不共线,故A,D错误;
又=6a+6b,所以易得不共线,则A,C,D三点不共线,故B错误;
因为=2a+6b=2(a+3b)=2,所以A,B,D三点共线,故C正确.
8.BC　因为=0,所以=0,即,所以点P在线段EF上,向量不平行,||=2∶1,故A错误,B,C正确;设AB边上的高为h,因为E,F分别为AC,BC的中点,所以S△PAB=S△ABC,则S△PAC+S△PBC=S△ABC,又P为线段EF上靠近点F的三等分点,S△PAC=·PE·h,S△PBC=·PF·h,所以S△PAC=S△ABC,S△PBC=S△ABC,所以S△PAB∶S△PAC∶S△PBC=3∶2∶1,故D错误.
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