2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--6.2.3　平面向量的坐标及其运算（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
6.2.3　平面向量的坐标及其运算
基础过关练
题组一　平面向量的坐标表示
1.如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是(　　)
A.(3,4),(2,-2) 　　　　B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)　　　　D.(3,4),(-2,-3)
2.(2023安徽马鞍山二中质检)如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则=(　　)
A.2i+3j　　　　B.4i+2j　　　　C.2i-j　　　　D.-2i+j
3.(2022湖南长沙明德中学期中)已知A(1,2),B(5,4),C(x,3),D(-3,y),且,则x,y的值分别为　　(　　)
A.-7,-5　　　　B.7,-5
C.-7,5　　　　D.7,5
4.已知{a,b}是平面向量的一组基底,若m=xa+yb,则称有序实数对(x,y)为向量m在基底{a,b}下的坐标.给定一个平面向量p,已知p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),那么p在基底{a-b,a+b}下的坐标为　　　　.
题组二　平面向量的坐标运算
5.(2024河北保定期末)已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若正实数m,n满足c=ma+nb,则的值为(　　)
A.
C.
6.(2024广东揭阳期中)已知点O(0,0),向量=(6,-3),点P是线段AB的三等分点,则点P的坐标是(　　)
A.
C.
7.(多选题)(2023河北石家庄期中)已知向量=(-2,4),则(　　)
A.=(-3,2)
B.||
C.
D.与
8.(多选题)(2024河北石家庄期中)如图所示,给出下列四个结论,其中正确的是(　　)
A.a+b　　　　B.a+b
C.a-b　　　　D.a+b
9.(2022江苏南京师范大学附属中学期中)在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).在以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线中,较长的对角线的长为(　　)
A.4
C.2
10.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),a,b,c,d∈R,规定运算“ ”:m n=(ac-bd,bc+ad),运算“※”:m※n=(a+c,b+d).设f=(p,q),若(1,2) f=(5,0),则(1,2)※f等于　　(　　)
A.(4,0)　　　　B.(2,0)
C.(0,2)　　　　D.(0,-4)
11.(2024黑龙江牡丹江期末)已知向量a=(1,x),b=(x-2,x),若|a+b|=|a-b|,则实数x等于　　　　.
12.(2023山东潍坊期中)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,,AC与MN相交于点E.
(1)若(λ,μ∈R),求λ和μ的值;
(2)用向量.
题组三　向量平行的坐标表示
13.(2024陕西宝鸡期末)设向量a=(2,-1),b=(m,2)(m∈R),若向量a与a-b共线,则a+b=(　　)
A.(-2,1)　　　　B.(-2,-1)
C.(-4,2)　　　　D.(-2,-4)
14.(2024安徽合肥期末)已知向量a=(-1,3),b=(1,2),c=(2,m),若b-c与a-c共线,则实数m=　　　　.
15.(2024安徽池州期末)已知向量a=(4,-2),b=(-2,λ)(λ∈R),且a与b共线,则|3a+2b|=　　　　.
16.向量a,b,c在正方形网格(每个小正方形的边长为1)中的位置如图所示,若向量λa+b(λ∈R)与c共线,则|λa-b|=　　　　.
17.(2024辽宁锦州期末)平面内给定两个向量a=(1,2),b=(-3,2).
(1)若(ka+2b)∥(2a-4b),求实数k的值;
(2)若向量c为单位向量,且|c-b|=2,求c的坐标.
能力提升练
题组一　平面向量的坐标运算
1.(多选题)(2024安徽安庆期中)在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各点中能作为平行四边形顶点坐标的是(　　)
A.(-3,1)　　　　B.(4,1)　　　　C.(-2,1)　　　　D.(2,-1)
2.将一圆周的六个等分点分成两组相间的三点,它们所构成的两个正三角形去掉内部六条线段后可以形成一个正六角星,如图所示的正六角星以原点O为中心.若以O为始点,正六角星的12个顶点为终点的有向线段所表示的向量都能写成ax+by(a,b∈R)的形式,则a+b的最大值为　　(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
3.(2024贵州黔西期末)窗花是贴在窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,在正八边形ABCDEFGH中,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)
图1　　图2
A.　　　　D.4
4.已知正方形PQRS的两条对角线交于点M,坐标原点O不在正方形内部,=(4,0),则向量等于　　(　　)
A.
C.
5.(2022广东广州期中)如图,在直角梯形OABC中,OA∥CB,OA⊥OC,OA=2BC=2OC,M为线段AB上靠近点B的三等分点,OM交AC于D,P为线段BC上的一个动点(包含端点).
(1)用;
(2)设,求λ,μ的取值范围.
题组二　向量平行的坐标表示
6.(多选题)(2024黑龙江大庆开学考试)已知向量=(t+3,t-8),若以A,B,C为顶点能构成三角形,则实数t可以为(　　)
A.-2　　　　B.　　　　C.1　　　　D.-1
7.(2022山东省实验中学三诊)设向量=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则的最小值为(　　)
A.4　　　　B.6　　　　C.8　　　　D.9
8.(2022浙江宁波北仑中学期中)已知两点P1(2,-1),P2(-1,3),点P在直线P1P2上,且||,则点P的坐标为　　　　.
答案与分层梯度式解析
6.2.3　平面向量的坐标及其运算
基础过关练
1.C 2.C 3.C 5.A 6.C 7.ABD 8.ACD 9.B
10.B 13.A
1.C　根据题中的平面直角坐标系,可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
2.C　记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=2i-j.
3.C　易得=(-3-x,y-3).
∵故选C.
4.答案　
解析　由p在基底{a,b}下的坐标为(1,2),得p=a+2b.
设p在基底{a-b,a+b}下的坐标为(m,n),则p=m(a-b)+n(a+b),
所以p=(m+n)a+(n-m)b,
所以
所以p在基底{a-b,a+b}下的坐标为.
5.A　因为a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),所以c=ma+nb=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),
所以.
6.C　因为=(6,-3),
所以=(4,-6),
又因为点P是线段AB的三等分点,所以,
所以,
即点P的坐标为.
7.ABD　=(-2,4)-(1,2)=(-3,2),A正确;|,
∴||,B正确;因为1×4≠2×(-2),所以不平行,C错误;与,D正确.
8.ACD　设每个小方格的长度为1,
则a=(1,1),b=(-1,1).
对于A,=(0,3),设=m1a+n1b(m1,n1∈R),则(0,3)=(m1-n1,m1+n1),解得m1=n1=,故a+b,A正确;
对于B,=(3,0),设=m2a+n2b(m2,n2∈R),则(3,0)=(m2-n2,m2+n2),解得m2=,故a-b,B错误;
对于C,=(2,1),设=m3a+n3b(m3,n3∈R),则(2,1)=(m3-n3,m3+n3),解得m3=,故a-b,C正确;
对于D,=(1,2),设=m4a+n4b(m4,n4∈R),则(1,2)=(m4-n4,m4+n4),解得m4=,故a+b,D正确.
9.B　以线段AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为||.
因为A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),
所以=(-1,1),
所以=(4,4),
所以|,
因为2,所以较长的对角线的长为2.
10.B　由(1,2) f=(5,0),得
所以f=(1,-2),所以(1,2)※f=(1+1,2-2)=(2,0).
11.答案　1或-2
解析　∵a+b=(x-1,2x),a-b=(3-x,0),∴|a+b|=,|a-b|=,
又∵|a+b|=|a-b|,∴x2+x-2=0,解得x=1或x=-2.
12.解析　如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),D(0,1),B(2,0),C(2,1),M.
(1)易得=(0,1),
因为,即=(2λ,μ),所以所以λ=
.
(2)由题可设,t,m,n∈R.因为=(2,1),
所以(2,1)=,解得m=,
即,所以,
又因为M,E,N三点共线,所以t=1,解得t=,所以.
13.A　由题意得a-b=(2-m,-3),
若向量a与a-b共线,则2×(-3)=-(2-m),解得m=-4,则b=(-4,2),所以a+b=(-2,1).
14.答案　
解析　∵a=(-1,3),b=(1,2),c=(2,m),∴b-c=(-1,2-m),a-c=(-3,3-m),
∵b-c与a-c共线,∴-1·(3-m)-(-3)(2-m)=0,解得m=.
15.答案　4
解析　因为a与b共线,所以4λ-(-2)×(-2)=0,解得λ=1,所以b=(-2,1),
所以3a+2b=(8,-4),
所以|3a+2b|=.
16.答案　
解析　建立如图所示的平面直角坐标系,
则a=(1,1),b=(0,-1),c=(2,1),
∴λa+b=(λ,λ-1).
∵λa+b与c共线,∴λ-2(λ-1)=0,∴λ=2,
∴λa-b=2(1,1)-(0,-1)=(2,3),
∴|λa-b|=.
17.解析　(1)ka+2b=(k-6,2k+4),2a-4b=(14,-4),因为(ka+2b)∥(2a-4b),
所以(k-6)×(-4)-(2k+4)×14=0,解得k=-1.
(2)设向量c=(x,y),因为向量c为单位向量,
所以|c|==1①,
又因为c-b=(x+3,y-2),所以|c-b|=②,
由①②解得
所以c=(1,0)或c=.
能力提升练
1.BCD 2.D 3.A 4.D 6.ABD 7.C
1.BCD　设第四个顶点为C(x,y),
当OA是平行四边形OBAC的对角线时,有,即(1-x,1-y)=(3,0),解得即C(-2,1),
当OB是平行四边形OABC的对角线时,有,即(2,-1)=(x,y),解得即C(2,-1),
当OC是平行四边形OACB的对角线时,有,即(x-1,y-1)=(3,0),解得即C(4,1).
故选BCD.
2.D　建立如图所示的平面直角坐标系.
设x=(1,0),则y=).
由=ax+by得
则a+b=4.
同理,可得对应的a+b的值分别为5,1,由对称性知对应的a+b的值分别为-4,-5,-1,故a+b的最大值为5.故选D.
3.A　不妨设AB=2,以点A为坐标原点,AB,AF所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
因为正八边形内角和为(8-2)×180°=1 080°,
所以∠HAB=×1 080°=135°,
所以D(2+),
所以),
因为,
所以(2,2+2),
所以
解得所以λ+μ=.
4.D　由=(4,0),得P(0,3),S(4,0).根据题意作出如图所示的正方形PQRS,过R作RN⊥x轴,垂足为N,易知Rt△OSP≌Rt△NRS,所以SN=OP=3,RN=OS=4,则ON=7,所以点R的坐标为(7,4),所以.故选D.
5.解析　(1)因为M为线段AB上靠近点B的三等分点,所以),
又CB∥OA,且OA=2BC,故,
则,即.
(2)以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
设OA=2,则A(2,0),C(0,1),B(1,1),O(0,0),
因为点P在线段BC上运动(包含端点),所以可设其坐标为(m,1),0≤m≤1,则=(m,1),由可得1=2λ+μm,1=-λ+μ,
则μ=,λ=μ-1,因为m∈[0,1],所以m+2∈[2,3],故μ∈,λ∈.
6.ABD　由题意得=(t+5,t-9).
若以A,B,C为顶点能构成三角形,则A,B,C三点不共线,则向量不共线,
所以-3(t-9)-4(t+5)≠0,解得t≠1.故选ABD.
7.C　由题意得=(-b-1,2).
∵A,B,C三点共线,∴为共线向量,
∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.
∵a>0,b>0,
∴≥4+2=8,当且仅当,即a=时取等号,故的最小值为8,故选C.
8.答案　(8,-9)或
解析　设P(x,y),则=(-1-x,3-y).
若点P在线段P1P2的反向延长线上,则.
所以即P(8,-9).
若点P在线段P1P2上,则.
所以即P.
若点P在线段P1P2的延长线上,显然不成立.
综上,点P的坐标为(8,-9)或.
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