2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--6.3　平面向量线性运算的应用（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
6.3　平面向量线性运算的应用
基础过关练
题组一　向量在平面几何中的应用
1.(2024江苏镇江期中)已知△ABC中,点G为△ABC所在平面内一点,则“=0”是“点G为△ABC的重心”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在△ABC中,若 (其中k是非零常数),则△ABC的形状一定是(　　)
A.正三角形　　　　B.钝角三角形
C.等腰三角形　　　　D.直角三角形
3.(2022江苏南通通州金沙中学期末)如图,在正八边形ABCDEFGH中,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　.
4.已知P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点,如图所示.
(1)试用向量法证明PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB.
题组二　向量在物理中的应用
5.(2024湖北武汉检测)若向量=(-3,-2)分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|=(　　)
A.
6.(2022山东临沂第二十四中学月考)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分.某学生做引体向上运动,当他处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)为(参考数据:取g=10 N/kg)(　　)
A.60　　　　B.61　　　　C.75　　　　D.60
7.有一条宽为 km的河,水流速度v1的大小为|v1|=2 km/h,在河两岸分别有码头A,B,已知AB= km,一艘船在水中的航行速度v2的大小为|v2|=4 km/h,问怎样安排行船速度,可使该船从码头A最快到达码头B 此时用时多少
答案与分层梯度式解析
6.3　平面向量线性运算的应用
基础过关练
1.C 2.C 5.C 6.D
1.C　=0,则G是△ABC的重心,即充分性成立;
若G是△ABC的重心,则=0,
而,所以=0,必要性成立,故选C.
2.C　在△ABC中,∵(其中k是非零常数),
∴),
∴,
∴,
又不共线,∴=0,
∴||,∴△ABC是等腰三角形.无法判断其是不是正三角形、钝角三角形、直角三角形.故选C.
3.答案　
解析　设正八边形ABCDEFGH的中心为O,以O为坐标原点,HD,BF所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,
连接OC,设AC交y轴于M点,易得∠AOB=∠COB=∠AOH=
∠EOD==45°,且AC⊥y轴,
则△AOM,△MOC均为等腰直角三角形.
设OD=2,则OC=OF=OE=OA=OD=2,
所以AM=OM=MC=,所以F(0,2),A(-),易知C与E关于x轴对称,所以E(),
所以,0),
由得(2),
即所以λ+μ=2-.
4.解析　(1)证明:连接CQ.
∵Q为BD的中点,∴.
∵P为AC的中点,∴.
∴2.
∵,∴设,λ∈R,
∴2,即2,
∴.又||≠||,∴λ≠-1,
∴,∴PQ∥AB.
(2)∵向量反向,且AB=3CD,
∴,
结合(1)可知,∴PQ∶AB=1∶3.
5.C　F1+F2==(1,1)+(-3,-2)=(-2,-1),所以|F1+F2|=.
6.D　如图,|,∠AOB=60°,
作平行四边形OACB,则四边形OACB是菱形,,且||sin 60°=600,所以|G|=||=600,
因此该学生的体重为=60(kg).
7.解析　如图所示,设=v1,=v2,以AC,AD为邻边作平行四边形ACED.当AE与AB所在直线重合时可使船最快到达码头B.
由题意知AC⊥AE,||=2 km/h,||=4 km/h,∠AED=90°,
∴| km/h,sin∠EAD=,
∴∠EAD=30°.
此时到达码头B用时为=0.5(h).
故当船头与水流成120°角时,可使该船从码头A最快到达码头B,此时用时0.5 h.
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