2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--第六章　平面向量初步拔高练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教B版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1　平面向量基本定理的应用
1.(2022新高考Ⅰ,3)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　)
A.3m-2n　　　　B.-2m+3n
C.3m+2n　　　　D.2m+3n
2.(2020新高考Ⅱ,3)若D为△ABC的边AB的中点,则=　(　　)
A.2
C.2
3.(2023天津,14节选)在△ABC中,∠A=60°,BC=1,点D为AB的中点,点E为CD的中点,若设=a,=b,则可用a,b表示为　　　　　　.
4.(2022天津,14节选)在△ABC中,点D为AC的中点,点E满足.记=a,=b,用a,b表示=　　　　.
考点2　平面向量的坐标及其运算
5.(2022全国乙文,3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　)
A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5
6.(2021全国乙文,13)已知向量a=(2,5),b=(λ,4),若a∥b,则λ=　　　　.
7.(2021天津,15节选)在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB且交AB于点E,DF∥AB且交AC于点F,则|2|的值为　　　　.
8.(2020北京,13节选)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足),则||=　　　.
9.(2020江苏,13)在△ABC中,AB=4,AC=3,∠BAC=90°,D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若(m为常数),则CD的长度是　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2024四川眉山期中)已知向量a,b满足2a-b=(0,3),a-2b=
(-3,0),λa+μb=(-1,1)(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.25
2.(2024北京顺义期中)如图所示,在△ABC中,点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,则=(　　)
A.
C.-
3.(2023安徽合肥第八中学期中)相传太极八卦图是由古代圣人伏羲氏首创的,图1是一个八卦模型图,其平面图形如图2中的正八边形ABCDEFGH所示,O为此正八边形的中心,给出下列结论:
①=0;
②;
③.
其中正确结论的序号为(　　)
图1　　图2
A.①②　　　　B.②③
C.②　　　　D.③
4.(2024福建漳州期中)已知P为△ABC所在平面内一点,|=3,则△ABC的面积等于(　　)
A.4
5.(多选题)(2024辽宁大连期末)已知O为正方形ABCD所在平面内一点,且,x,y∈R,则下列说法正确的是(　　)
A.可以表示平面内任意一个向量
B.若x+y=1,则O在直线BD上
C.若x=y=,则
D.若=0,则S△ABC=6S△BOC
6.(2024辽宁辽阳期末)在△ABC中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,AD与BC交于点M,则点M的坐标为　　　　.
7.(2023北京丰台期中)已知P在线段P1P2的反向延长线上(不包括端点),且,则实数λ的取值范围是　　　　.
8.(2023广东北京师范大学珠海分校附属外国语学校期中)在△ABC中,AB=AC=12,∠BAC=120°,△ABC内部一点G满足=0,则||=　　　　.
9.(2024山东潍坊检测)如图,当点P,Q三等分线段AB时,设=a,=b,有.如果点A1,A2,…,An-1是线段AB的n(n∈N*,且n≥3)等分点,你能得到什么结论 请证明你的结论.
10.(2024湖南长沙期末)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.
(1)取BD的中点M,试用;
(2)若G是AD上一点,且,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F.若,其中λ,μ均为正实数,求λ+μ的最小值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.B 2.A 5.D
1.B　因为点D在边AB上,BD=2DA,所以,即),所以=3n-2m.
2.A　∵D为△ABC的边AB的中点,∴.故选A.
3.答案　a+b
解析　a+b.
4.答案　-a+b
解析　如图,b-a.
5.D　因为a-b=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),
所以|a-b|==5.
6.答案　
解析　由a∥b得2×4=5λ,∴λ=.
7.答案　1
解析　解法一:如图,在AB上取点M,使得BE=EM,易知△BDM为等边三角形,四边形AFDM为平行四边形,所以,所以有|2|=1.
解法二:如图,以BC 的中点O为原点建立平面直角坐标系,则点A,B,C的坐标分别为,
设D点坐标为(x,0),x∈,则+x,所以BE=BDcos 60°=-x,
可得E-,F,
则,
因为2,
所以|2=1.
8.答案　
解析　解法一:∵),∴P为BC的中点.如图,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,
由题意知D(0,2),P(2,1),
∴|.
解法二:在正方形ABCD中,由)得点P为BC的中点,∴|.
9.答案　或0
解析　如图,以点A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,则C(0,3),B(4,0),
设,λ∈[0,1],则D(4λ,3-3λ),,
点P在AD的延长线上,故可令,μ>1,
而,
∴),
∴,
∴2m,
∴解得μ=3,而AP=9,∴AD=3.
∴(4λ)2+(3-3λ)2=9,解得λ=或λ=0.
则|或||=0.
三年模拟练
1.B 2.A 3.B 4.D 5.ABD
1.B　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),
因为2a-b=(0,3),a-2b=(-3,0),
所以即a=(1,2),b=(2,1).所以λa+μb=λ(1,2)+μ(2,1)=(λ+2μ,2λ+μ)=(-1,1),则故λ+μ=0.
2.A　因为点D是线段AC上靠近A的三等分点,点E是线段AB的中点,
所以.
3.B　对于①,,故①错误;
对于②,因为,且,
所以,即,故②正确;
对于③,易知∠AOC=×2=90°,所以以OA,OC为邻边的平行四边形是正方形,
又因为OB平分∠AOC,所以,故③正确.
4.D　∵||=3,∴点P在线段BC的垂直平分线上,设线段BC的中点为D,则PD⊥BC,
由=0得,∴AB∥PD,,∴AB⊥BC,||=1,如图所示,
∴BC=2BD=2,
∴S△ABC=BC·AB=.
5.ABD　由题意得AB⊥AD,又,x,y∈R,所以根据平面向量基本定理易知可以表示平面内任意一个向量,故A正确;
若x+y=1,则O,B,D三点共线,即O在直线BD上,故B正确;
由题意知),则,所以,故C错误;
由=0,得3(,
若E为BC的中点,则6,即且||,如图所示,
所以S△ABC=6S△BOC,故D正确.
6.答案　
解析　设C(x1,y1),D(x2,y2),因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),所以=(4,3),因为,即(x1,y1)=(4,3),所以C.所以.
设M(x,y),则,因为A,M,D三点共线,所以共线,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.
因为C,M,B三点共线,所以共线,所以=0,即7x-16y=-20.
联立
所以点M的坐标为.
7.答案　(-1,0)
解析　如图.依题意,设(μ<0),
因为,
所以,
则,故=μ<0,所以-1<λ<0.
8.答案　8+4
解析　如图,延长AG,交BC于E点,延长BG,交AC于F点,
由=0知,G为△ABC的重心,于是E为BC的中点,F为AC的中点.
过F作FD垂直于BA,交BA的延长线于D点,易得AF=6,
∠FAD=60°,所以AD=3,DF=3.
在Rt△BDF中,因为BD=AB+AD=15,DF=3,
所以BF=,
故BG=CG=,
又AB=AC,∠BAC=120°,所以∠ABC=∠ACB=30°,
所以AE=AB=6,所以AG=AE=4,
所以|+4.
9.解析　结论=…=.
证明如下:
因为,所以a+b,
同理可得a+b,
所以=a+b=,
又a+b,a+b,
所以=a+b=,
……
综上所述,=…=.
10.解析　(1)由题意得,D为BC的中点,所以,又M为BD的中点,
所以.
(2)由,
得,
所以,
因为E,F,G三点共线,所以=1,
则λ+μ=(λ+μ),当且仅当,即λ=μ=时取等号,
所以λ+μ的最小值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)