2025人教B版高中数学必修第二册同步练习题--第五章　统计与概率拔高练（含解析）

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2025人教B版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1　统计图表
1.(2022全国乙文,4)分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长(单位:h),得如下茎叶图:
则下列结论中错误的是(　　)
A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
2.(2021全国甲文,2)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是　　(　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
3.(2022全国甲文,2)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则(　　)
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4.(2023新课标Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
考点2　数据的数字特征
5.(多选题)(2023新课标Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　)
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
6.(多选题)(2021新高考Ⅰ,9)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则(　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
7.(2020全国Ⅲ理,3)在一组样本数据中,1,2,3,4出现的频率分别为p1,p2,p3,p4,且pi=1,则下面四种情形中,对应样本的标准差最大的一组是(　　)
A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4
B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1
C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3
D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.2
8.(2023全国乙,17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10).试验结果如下:
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.
考点3　古典概型
9.(2021全国甲文,10)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(　　)
A.0.3　　　　B.0.5　　　　C.0.6　　　　D.0.8
10.(2022新高考Ⅰ,5)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为　　(　　)
A.
11.(2022全国乙理,13)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为　　　　.
考点4　事件的相互独立性
12.(2021新高考Ⅰ,8)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则(　　)
A.甲与丙相互独立　　　　B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立　　　　D.丙与丁相互独立
13.(2020天津,13)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为　　　　;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为　　　　.
14. (2023天津,13)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为　　　　;将三个盒子中的球混合在一起后任取一个球,是白球的概率为　　　　.
15.(2022全国甲理,19节选)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,没有平局.三个项目比赛结束后,总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.求甲学校获得冠军的概率.
16.(2020全国Ⅰ理,19)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率.
考点5　用频率估计概率
17.(2020全国Ⅰ文,17)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务
18.(2020北京,18)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得数据如下表:
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0.假设该校一年级有500名男生和300名女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1.试比较p0与p1的大小.(结论不要求证明)
三年模拟练
应用实践
1.(多选题)(2024山东济宁期中)一个袋子中有5个球,分别标有数字1,2,3,4,5,除数字外没有其他差异.从中有放回地随机取两次,每次取1个球.记事件E=“第一次取出的球的数字是1”,事件F=“第二次取出的球的数字是2”,事件G=“两次取出的球的数字之和是6”,则(　　)
A.事件E和F互斥　　　　
B.事件E和F相互独立
C.事件E和G互斥　　　　
D.事件E和G相互独立
2.(2024河北保定期中)某中学全体学生参加了数学竞赛,随机抽取了400名学生进行成绩统计,发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间(包括边界),进行适当分组后(除最后一组为闭区间外,其他各组均为左闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,每组数据以组中值(组中值=(区间上限+区间下限)/2))为代表,下列说法正确的是(　　)
A.x的值为0.035
B.估计全校学生的平均成绩为83分
C.样本数据的80%分位数约为95
D.在被抽取的学生中,成绩在区间[70,80)内的学生数为30人
3.(2024河南长葛开学考试)已知样本数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,3x4+1,3x5+1,3x6+1的平均数为16,方差为9,则另一组数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,12的方差为(　　)
A.　　　　D.7
4.(2024江西赣州期中)某公司对2023年的营收额进行了统计,并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中,湖北省的营收额最多,河南省的营收额最少,湖南省的营收额约2 156万元.则下列说法错误的是(　　)
A.该公司2023年营收总额约为30 800万元
B.该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多
C.该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多
D.估计该公司在湖南省的营收额占华中地区的营收额的35.6%
5.(多选题)(2024四川绵阳期中)“未来之星”少儿才艺大赛,九位评委现场对某选手打分,分数(单位:分)分别是x1,x2,…,x9,记这组数据的平均数、中位数、标准差、极差分别为,z,s,j,去掉这组数据的一个最大值和一个最小值后,其平均分、中位数、标准差、极差分别为',z',s',j',则下列判断中一定正确的是(　　)
A.'　　　　B.z=z'
C.s≥s'　　　　D.j≥j'
6.(2024天津河东期末)数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,四名同学的部分统计结果如下:
甲同学:中位数为3,方差为2.8;
乙同学:平均数为3.4,方差为1.04;
丙同学:中位数为3,众数为3;
丁同学:平均数为3,中位数为2.
根据统计结果,数据中肯定没有出现点数6的是同学　　　　.
7.(2024江苏南京期中)某商场为了促销,每天会在上午和下午各举办一场演出活动,两场演出活动相互独立.每个时段演出的概率如下表所示:
上午演出时段 9:00~9:30 10:00~10:30 11:00~11:30
下午演出时段 14:00~14:30 15:00~15:30 16:00~16:30
相应的概率
若某顾客打算第二天11:00抵达商场并逛3.5小时后离开,则他当天能观看到演出的概率为　　　　.
8.(2023湖北武汉四中月考)为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度,某市针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次知识竞赛,满分100分(95分及以上为认知程度高),其中认知程度高的有m人,将其按年龄分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45],共5组,得到如图所示的频率分布直方图,已知第一组有10人.
(1)根据频率分布直方图估计这m人的平均年龄和其年龄的80%分位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)用分层抽样的方法抽取20人担任本市的“中国梦”宣传使者.
(i)若已确定甲(年龄38)、乙(年龄40)两人入选宣传使者,现计划从第四组和第五组被抽到的使者中再随机抽取2名作为组长,求甲、乙两人至少有一人被选上的概率;
(ii)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和,第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1,估计这m人中年龄在[35,45]内的所有人的年龄的方差.
9.(2022福建福州第一中学期末)《中华人民共和国未成年人保护法》是为保护未成年人身心健康,保障未成年人合法权益,根据宪法制定的法律.某中学为宣传未成年人保护法,特举行了一次未成年人保护法知识竞赛.竞赛规则如下:两人一组,每一轮竞赛中,小组两人分别选答两题,两人答题互不影响.若答对题数合计不小于3,则称这个小组为“优秀小组”.已知甲、乙两位同学组成一组,且甲、乙答对每道题的概率均分别为p1,p2.
(1)若p1=,求在第一轮竞赛中,该组成为“优秀小组”的概率;
(2)当p1+p2=时,求该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值.
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.C 2.C 3.B 5.BD 6.CD 7.B 9.C 10.D
12.B
1.C　对于A选项,甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为=7.4(h),A选项中结论正确.对于B选项,乙同学周课外体育运动时长的样本平均数为
=8.506 25(h),8.506 25>8,B选项中结论正确.
对于C选项,甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为=0.375,0.375<0.4,C选项中结论错误.
对于D选项,乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为=0.812 5,0.812 5>0.6,D选项中结论正确.
2.C　由题图可得,该地农户家庭年收入低于4.5万元和不低于10.5万元的频率分别为0.06和0.1,则农户比率分别为6%和10%,故A、B中结论正确;
家庭年收入的平均值为0.02×3+0.04×4+0.1×5+0.14×6+0.2×7+0.2×8+0.1×9+0.1×10+0.04×11+0.02×12+0.02×13+0.02×14=7.68(万元),因为7.68>6.5,所以估计该地区农户家庭年收入的平均值超过6.5万元,故C中结论不正确;
家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为0.1+0.14+0.2+0.2=0.64,故D中结论正确.故选C.
3.B　讲座前正确率的中位数为=72.5%>70%,所以A错;讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个是85%,剩下的全部大于或等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对;讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错;讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%,35%>20%,所以D错.
4.解析　(1)(100-95)×0.002=0.01>0.005,∴c∈(95,100),∴(c-95)×0.002=0.005,解得c=97.5,
∴q(c)=(100-97.5)×0.01+0.002×5=0.035.
(2)当c∈[95,100)时, f(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82;
当c∈[100,105]时, f(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98,
∴f(c)=
当c∈[95,100)时, f(c)单调递减,
∴f(c)>-0.8+0.82=0.02;
当c∈[100,105]时, f(c)单调递增,∴f(c)≥1-0.98=0.02.
∴当c∈[95,105]时, f(c)min=0.02.
5.BD　对于A,如1,2,2,2,2,4的平均数不等于2,2,2,2的平均数,故A错误;
对于B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,x2,x3,x4,x5的中位数为,x1,x2,…,x6的中位数为,故B正确;
对于C,x1,x2,…,x6的数据波动性更大,故C错误;
对于D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,所以x5-x2≤x6-x1,故D正确.
故选BD.
6.CD　A项,设,则+c,因为c≠0,所以+c,所以,所以A选项错误.
B项,因为yi=xi+c(i=1,2,…,n),所以y1,y2,…,yn的中位数是x1,x2,…,xn的中位数加c,所以B选项错误.
C项,设)2,
所以)2,
所以,所以两组数据的方差相同,从而这两组数据的标准差相同,所以C选项正确.
D项,设x17.B　根据平均数xipi,方差s2=(xi-)2·pi以及方差与标准差的关系,得各选项对应样本的标准差如下表.
选项 平均数 方差s2 标准差s
A 2.5 0.65
B 2.5 1.85
C 2.5 1.05
D 2.5 1.45
由此可知选项B对应样本的标准差最大,故选B.
8.解析　(1)∵zi=xi-yi,∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12,
∴=11.
s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61.
(2)2,
∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
9.C　将3个1和2个0随机排成一行,可以的结果有00111,01011,01101,01110,10011,10101,10110,11001,11010,11100,共10种排法,
其中2个0不相邻的排法有01011,01101,01110,10101,10110,11010,共6种排法,
故2个0不相邻的概率为=0.6.
10.D　从2至8的7个整数中随机取2个不同的数的样本空间Ω={(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(6,8),(7,8)},共21个样本点,
设事件A为“所取的2个数互质”,则A={(2,3),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,7),(3,8),(4,5),(4,7),(5,6),(5,7),(5,8),(6,7),(7,8)},共14个样本点,则P(A)=.故选D.
11.答案　
解析　设另3名同学分别为A,B,C,则从5名同学中随机选3名,样本空间Ω={甲乙A,甲乙B,甲乙C,甲AB,甲AC,甲BC,乙AB,乙AC,乙BC,ABC},共10个样本点.设“甲、乙都入选”为事件M,则M包含的样本点有甲乙A,甲乙B,甲乙C,共3个,所以P(M)=.
12.B　依题意,有放回地随机取两次,共有36种不同结果:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),其中P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,
丁事件包含(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),共6个基本事件,丙事件包含(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),共5个基本事件.
易知“甲、丙同时发生”的基本事件有0个,“丙、丁同时发生”的基本事件有0个,“乙、丙同时发生”的基本事件为(6,2),共1个,
∴P(乙丙)=,
又P(乙)·P(丙)=,
∴乙、丙不相互独立.
“甲、丁同时发生”的基本事件为(1,6),
∴P(甲丁)=,
又P(甲)·P(丁)=,
∴P(甲丁)=P(甲)·P(丁),
∴甲与丁相互独立,
故选B.
13.答案　
解析　设“甲、乙两球都落入盒子”为事件A,
则P(A)=.
设“甲、乙两球至少有一个落入盒子”为事件B,
则P(B)=1-.
14.答案　
解析　设A1=“从甲盒子中取到一个黑球”,A2=“从乙盒子中取到一个黑球”,A3=“从丙盒子中取到一个黑球”,A=“取到的三个球都是黑球”,根据独立事件的概率公式,得P(A)=P(A1)·P(A2)·P(A3)=.
设C=“三个盒子混合在一起后任取一个球,是白球”,B1=“从甲盒子中取一球”,B2=“从乙盒子中取一球”,B3=“从丙盒子中取一球”,则Ω=B1∪B2∪B3,且B1,B2,B3两两互斥,根据题意得P(C)=P(B1)P(C|B1)+P(B2)P(C|B2)+P(B3)P(C|B3)=.
15.解析　设甲学校在三个项目中获胜的事件依次为A,B,C,则甲学校获得冠军的概率P=P(ABC)+P()=0.5×0.4×0.8+0.5×0.4×0.8+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.
16.解析　(1)甲连胜四场的概率为.
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结束,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为;
乙连胜四场的概率为;
丙上场后连胜三场的概率为.
所以需要进行第五场比赛的概率为1-.
(3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜三种情况,概率分别为.
因此丙最终获胜的概率为.
17.解析　(1)由题中试加工产品等级的频数分布表知,甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.4;
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为=0.28.
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润(元)的频数分布表为
利润(元) 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为=15(元).
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润(元)的频数分布表为
利润(元) 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为=10(元).
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
18.解析　(1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.
依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)=;抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,故P(B)=.
(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为;“该校女生支持方案一”的概率估计值为.
设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率为P(C)=.
(3)p1解法一:由样本的频率估计总体概率,该校学生支持方案二的概率估计值为p0=.
该校一年级男生中支持方案二的有×500≈292(人),该校一年级女生中支持方案二的有×300≈113(人),假设一年级学生中支持方案二的概率为p2,则p2=.
因为,所以p2>p0,
故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1解法二:由题表可知,男生支持方案二的概率明显大于女生支持方案二的概率.样本中男、女生的比为3∶2,此时p0=.而一年级的男、女生的比为5∶3,因为,所以该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p1三年模拟练
1.BD 2.C 3.C 4.D 5.BCD
1.BD　记两次取出的球的数字为(i,j)(其中1≤i,j≤5,i,j∈N*),共有25种情况,
对于A,事件E和F可以同时发生,如两次取出的球的数字为(1,2),故A错误;
对于B,由古典概型知,P(E)=,则P(E)·P(F)=P(EF),故事件E和F相互独立,故B正确;
对于C,事件E和G可以同时发生,如两次取出的球的数字为(1,5),故C错误;
对于D,由B知P(G)=,所以P(EG)=P(E)·P(G),故事件E和G相互独立,故D正确.
2.C　对于A,由题意得10×(0.005+0.010+0.015+x+0.040)=1,解得x=0.030,所以A错误;
对于B,估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4=84(分),故B错误;
对于C,样本数据的80%分位数约为90+×10=95,故C正确.
对于D,在被抽取的学生中,成绩在区间[70,80)内的学生数为10×0.015×400=60(人),故D错误.
3.C　设数据x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数为,方差为s2,
由3+1=16,9s2=9,得(xi-5)2=1,
则x1,x2,x3,x4,x5,x6,12的平均数为=6,
方差为
=
=
=.
4.D　湖南省的营收额约为2 156万元,占营收总额的7.00%,
所以2023年营收总额约为=30 800万元,故A中说法正确;
华南地区的营收额占营收总额的19.34%,河南省的营收额占营收总额的6.19%,
因为≈3.12,所以华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多,故B中说法正确;
华东地区的营收额占营收总额的35.17%,西南地区的营收额占营收总额的13.41%,东北地区的营收额占营收总额的11.60%,湖北省的营收额占营收总额的7.29%,
而13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%,故C中说法正确;
湖南省的营收额占营收总额的7.00%,华中地区的营收额占营收总额的20.48%,
所以≈34.2%,故D中说法错误.
5.BCD　根据平均数的性质可知'不一定成立,
例如九个数中一个数是90,其他都是80,显然该等式不成立,因此A不一定正确;
根据中位数的定义可知这九个数据从小到大排列,中间的一个数据是中位数,去掉最大值和最小值后不影响中间的数据,所以B一定正确;
根据标准差的意义可知去掉最大值和最小值后,数据有可能会更集中,如9个数都相等时,标准差不变,9个数都不相等时,标准差变小,故C一定正确;
去掉一组数据的最大值和最小值后,极差可能减小或不变,如9个数都相等时,极差不变,9个数都不相等时,极差变小,故D一定正确,
故选BCD.
6.答案　乙
解析　对于甲同学,当抛掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,平均数×(1+2+3+3+6)=3,方差×[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(3-3)2+(6-3)2]=2.8,所以可以出现点数6;
对于乙同学,若平均数为3.4,且出现点数6,则方差×(6-3.4)2=1.352>1.04,
所以当平均数为3.4,方差为1.04时,一定不会出现点数6;
对于丙同学,当抛掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,众数为3,所以可以出现点数6;
对于丁同学,当抛掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6.综上,根据统计结果,数据中肯定没有出现点数6的是同学乙.
7.答案　
解析　由题意,知顾客打算第二天11:00抵达商场并逛3.5小时后离开,即14:30离开,
设11:00~14:30看不到演出的概率为P1,
11:00~14:30看不到演出即上午演出时段为9:00~9:30或10:00~10:30且下午演出时段为15:00~15:30或16:00~16:30,
上午演出时段为9:00~9:30或10:00~10:30的概率P2=;
下午演出时段为15:00~15:30或16:00~16:30的概率P3=,
∴P1=P2P3=,
∴当天能观看到演出的概率P=1-P1=1-.
8.解析　(1)由题图得这m人的平均年龄为22.5×0.01×5+27.5×0.07×5+32.5×0.06×5+37.5×0.04×5+42.5×0.02×5=
32.25.
设这m人年龄的80%分位数为a,则0.01×5+0.07×5+0.06×5+(a-35)×0.04=0.8,解得a=37.5.
(2)(i)由题意得,第四组应抽取4人,分别记为A,B,C,甲,第五组应抽取2人,分别记为D,乙.
从6人中随机抽取2人的样本空间Ω={(A,B),(A,C),(A,甲),(A,D),(A,乙),(B,C),(B,甲),(B,D),(B,乙),(C,甲),(C,D),(C,乙),(甲,D),(甲,乙),(D,乙)},共15个样本点.
设事件M=“甲、乙两人至少有一人被选上”,
则M={(A,甲),(A,乙),(B,甲),(B,乙),(C,甲),(C,乙),(甲,D),(甲,乙),(D,乙)},共9个样本点.
所以P(M)=.
(ii)设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为,方差分别为,则=1.
设第四组和第五组的所有宣传使者的年龄的平均数为,方差为s2,则=39,
s2==10,
所以估计这m人中年龄在[35,45]内的所有人的年龄的方差为10.
9.解析　(1)记“该组成为‘优秀小组’”为事件A,“甲答对两题,乙答对一题”为事件B,“甲答对一题,乙答对两题”为事件C,“甲、乙都答对两题”为事件D,则事件B、C、D互斥,且A=B∪C∪D,则P(A)=P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=,
所以在第一轮竞赛中,该组成为“优秀小组”的概率为.
(2)由题知甲、乙小组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率P=·2p2(1-p2)+2p1(1-p1)p2],
因为p1+p2=,所以p2=-p1,又因为0≤p1≤1,0≤p2≤1,所以≤p1≤1,
因此p1p2=p1,
令t=p1p2∈,则P=-3t2+,当且仅当t=时等号成立,
所以该组在每轮竞赛中成为“优秀小组”的概率的最大值为.
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